高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间两点间的距离公式练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间两点间的距离公式练习题，共5页。

1．已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A．－3 B．3
C．－3或3 D．1或3
2．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( )
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2，－5) D．(4，－3)
3．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为( )
A．(1,2)或(2，－1) B．(3，－4)
C．(2，－1) D．(1,2)
4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A.eq \r(7) B.eq \r(6)
C．2eq \r(2) D.eq \r(5)
5．已知两直线2x＋3y－3＝0与mx＋6y＋1＝0平行，则它们间的距离等于( )
A.eq \f(2\r(13),13) B.eq \f(5\r(13),26)
C.eq \f(7\r(13),26) D．4
6．[多选题]直线l过点P(1,2)，且A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是( )
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0
C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
7．直线2x－y－1＝0与直线6x－3y＋10＝0的距离是________．
8．过点(－1,2)且到原点距离最大的直线方程为________．
9．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
10．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
[提能力]
11．[多选题]已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可以为( )
A.eq \f(7,9) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(7,9)
12．[多选题]已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝eq \f(4,3)x D．y＝2x＋1
13．若直线l经过点A(5,10)，且坐标原点到直线l的距离为10，则直线l的方程是________________．
14．直线l经过点A(2,4)，且被平行直线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋y－3＝0上，则直线l的方程为________________．
15．点P在直线l：3x－y－1＝0上，当P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大时，求点P的坐标．
[培优生]
16．已知点P(x，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4
C．8eq \r(2) D．4eq \r(2)
课时作业(八)
1．解析：由题意得eq \f(|－2a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|a＋5＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－3或3.
答案：C
2．解析：设对称点坐标为(a，b)，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a－3,2)＋\f(b＋4,2)－2＝0，,\f(b－4,a＋3)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝5，))即Q(－2，5).故选B.
答案：B
3．解析：设点P的坐标为(a，5－3a)，由题意，得eq \f(|a－（5－3a）－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2)，解得a＝1或2，∴点P的坐标为(1，2)或(2，－1).故选A.
答案：A
4．解析：|OP|最小即OP⊥l时，∴|OP|min＝eq \f(|0＋0－4|,\r(2))＝2eq \r(2).故选C.
答案：C
5．解析：∵直线2x＋3y－3＝0的斜率k1＝－eq \f(2,3)，直线mx＋6y＋1＝0的斜率k2＝－eq \f(m,6)，∴－eq \f(2,3)＝－eq \f(m,6)，得m＝4，∴它们间的距离d＝eq \f(|－6－1|,\r(42＋62))＝eq \f(7\r(13),26).故选C.
答案：C
6．解析：设所求直线为l由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，
(1)AB的斜率为eq \f(3＋5,2－4)＝－4，当直线l∥AB时，l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；
(2)当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，l的斜率为eq \f(2＋1,1－3)＝－eq \f(3,2)，
l的方程是y－2＝－eq \f(3,2)(x－1)，即3x＋2y－7＝0.
故选AC.
答案：AC
7．解析：直线2x－y－1＝0可化为6x－3y－3＝0，则所求距离为eq \f(|－3－10|,\r(62＋32))＝eq \f(13,3\r(5))＝eq \f(13\r(5),15).
答案：eq \f(13\r(5),15)
8．解析：设点P的坐标为(－1，2)，则过点P且到原点距离最大的直线方程为与OP垂直的直线，因为kOP＝－2，所以所求直线的斜率为eq \f(1,2).所以所求的直线方程为y－2＝eq \f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
答案：x－2y＋5＝0
9．解析：直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝eq \f(|－12－3|,\r(32＋42))＝3，
∴|PQ|min＝3.
答案：3
10．解析：由直线方程的两点式得直线BC的方程为eq \f(y,2－0)＝eq \f(x＋3,1＋3)，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得
|BC|＝eq \r(（－3－1）2＋（0－2）2)＝2eq \r(5)，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝eq \f(|－1－2×3＋3|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(4\r(5),5)，
所以S＝eq \f(1,2)|BC|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(4\r(5),5)＝4，
即△ABC的面积为4.
11．解析：由点到直线的距离公式可得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－eq \f(7,9)或－eq \f(1,3).故选BD.
答案：BD
12．解析：A中，点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离为：d＝eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2)>4，故错误；B中，点M(5，0)到直线y＝2的距离为：d＝3<4，故正确；C中，点M(5，0)到直线y＝eq \f(4,3)x的距离为：d＝eq \f(\f(4,3)×5,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))\s\up12(2)))＝4，故正确；D中，点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离为：d＝eq \f(2×5＋1,\r(1＋22))＝eq \f(11\r(5),5)>4，故错误；故选BC.
答案：BC
13．解析：①斜率存在时，设直线方程为y－10＝k(x－5)
∴10＝eq \f(|10－5k|,\r(1＋k2)).
∴k＝－eq \f(4,3)或k＝0.
∴y－10＝－eq \f(4,3)(x－5)或y＝10.
②斜率不存在时，x＝5不符合题意．
综上所述，4x＋3y－50＝0或y＝10为所求．
答案：4x＋3y－50＝0或y＝10
14．解析：方法一 设所求的直线的斜率为k，直线l和平行直线x－y＋1＝0，x－y－1＝0的交点分别为P，B.则所求直线l的方程为y－4＝k(x－2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－4＝k（x－2），,x－y＋1＝0，))可解得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－3,k－1)，\f(3k－4,k－1)))；
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－4＝k（x－2），,x－y－1＝0，))可解得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－5,k－1)，\f(k－4,k－1))).
∴P，B的中点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－4,k－1)，\f(2k－4,k－1))).
又∵D在直线x＋y－3＝0上，
∴eq \f(2k－4,k－1)＋eq \f(2k－4,k－1)－3＝0，解得k＝5.
所以，所求直线的方程为y－4＝5(x－2)，即5x－y－6＝0.
方法二 与x－y－1＝0及x－y＋1＝0等距离的直线必定与它们是平行的，所以设x－y＋c＝0，从而eq \f(|c＋1|,\r(1＋1))＝eq \f(|c－1|,\r(1＋1))，
解之得，c＝0，
∴x－y＝0，又截得的线段的中点在x＋y－3＝0上，
∴由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,x＋y－3＝0，))可解得中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,2)))，
所以直线l过点(2，4)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,2)))，∴eq \f(y－4,4－\f(3,2))＝eq \f(x－2,2－\f(3,2)).
从而得l的方程为5x－y－6＝0.
15．解析：因为3×4－1－1>0和3×0－4－1<0，所以A(4，1)和B(0，4)在直线l的两侧，设点A′(m，n)是点A(4，1)关于直线l对称的对称点，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3×\f(m＋4,2)－\f(n＋1,2)－1＝0,\f(n－1,m－4)×3＝－1))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－2,n＝3))，所以点A′(－2，3)，根据题意作图如右：
所以PA＝PA′，由图可知，|PA－PB|＝|PA′－PB|≤|A′B|，
当A′、B、P三点共线时，差值最大，且最大值为|A′B|，
因为A′(－2，3)和B(0，4)，所以直线A′B的方程为：x－2y＋8＝0
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋8＝0,3x－y－1＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝5))，所以P(2，5).
所以当P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大时，点P的坐标为P(2，5).
16．解析：因为点P(x，y)到A(0，4)和B(－2，0)的距离相等，
所以点P(x，y)在线段AB的垂直平分线上，且过AB的中点(－1，2)，kAB＝eq \f(4－0,0－（－2）)＝2，垂直平分线的斜率为－eq \f(1,2)，由点斜式得y－2＝－eq \f(1,2)(x＋1)，
所以垂直平分线的方程为：x＋2y－3＝0即x＋2y＝3，
因为2x＋4y＝2x＋22y，且2x>0，22y>0，
所以2x＋4y＝2x＋22y≥2eq \r(2x＋2y)＝2eq \r(23)＝4eq \r(2).
当2x＝22y，即x＝2y＝eq \f(3,2)时取等号，
所以2x＋4y的最小值为4eq \r(2)，
故选D.
答案：D