北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间两点间的距离公式课文配套ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
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知识点1　空间直角坐标系的建立过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上分别建立数轴:x轴、y轴和z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴,通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.一般是将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正方向,我们也称这样的坐标系为右手系. 在z轴的正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在空间直角坐标系O-xyz中,只要满足x轴、y轴、z轴互相垂直,它们的顺序可以互相交换.(　　)(2)在空间直角坐标系O-xyz中,三个坐标平面互相垂直.(　　)
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,那么x轴、y轴、z轴应如何选取?
知识点2　空间直角坐标系中点的坐标的确定方法如果点P是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点,那么如何刻画它的位置呢?类比平面上点的坐标的确定方式,可以先作出点P在三条坐标轴上的投影,再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可.
如图,当点P不在任何坐标平面上时,过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点A、点B和点C,则点A,B,C分别是点P在x轴、y轴和z轴上的投影.设点A在x轴上、点B在y轴上、点C在z轴上的坐标依次为a,b,c,那么点P就对应唯一的三元有序实数组(a,b,c).
点P与三元有序实数组是一一对应关系.P↔(a,b,c)
在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序实数组(x,y,z)来表示;反之,对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P.三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z),其中x叫作点P的横坐标,y叫作点P的纵坐标,z叫作点P的竖坐标.
名师点睛与平面直角坐标系内点的坐标的确定过程进行比较,讨论空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.
过关自诊1.[人教A版教材习题]在空间直角坐标系中标出下列各点:A(0,2,4),B(1,0,5),C(0,2,0),D(1,3,4).
2.[人教A版教材习题]在空间直角坐标系O-xyz中,(1)哪个坐标平面与x轴垂直?哪个坐标平面与y轴垂直?哪个坐标平面与z轴垂直?(2)写出点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标.
提示 (1)与x轴垂直的坐标平面是yOz平面,与y轴垂直的坐标平面是zOx平面,与z轴垂直的坐标平面是xOy平面.(2)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标为(-1,-3,-5).
3.[人教A版教材习题]在空间直角坐标系O-xyz中,三个非零向量a,b,c分别平行于x轴、y轴、z轴,它们的坐标各有什么特点?
提示 平行于x轴的向量a与yOz平面垂直,其横坐标不为0,其纵坐标和竖坐标为0.平行于y轴的向量b与zOx平面垂直,其纵坐标不为0,其横坐标和竖坐标为0.平行于z轴的向量c与xOy平面垂直,其竖坐标不为0,其横坐标和纵坐标为0.
知识点3　空间两点间的距离公式1.在空间中,点P(x,y,z)到坐标原点O的距离 　　　　　　可转化为长方体对角线的长度2.已知空间中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)两点,则P,Q两点间的距离为 .这就是空间两点间的距离公式.
名师点睛在空间直角坐标系中,若点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则线段AB的中点坐标是
过关自诊1.类比平面直角坐标系中,三角形的重心坐标公式,在空间直角坐标系中,三角形的重心坐标公式是什么?
2.[人教A版教材习题]先在空间直角坐标系中标出A,B两点,再求它们之间的距离:(1)A(2,3,5),B(3,1,4);(2)A(6,0,1),B(3,5,7).
提示 (1)如图所示,标出A(2,3,5).在x轴上取OC=2,在y轴上取OD=3,在z轴上取OE=5,分别以OC,OD,OE为相邻的三条棱,作长方体OCA1D-EC1AD1,则点A(2,3,5).同理可标出B(3,1,4).
3.[人教A版教材习题]已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),求 ,线段AB的中点坐标及线段AB的长.
设AB的中点为C,C的坐标为(x0,y0,z0),
探究点一　　求空间点的坐标
【例1】 如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的中点,试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标.
解 如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,E点在平面xDy中,且|EA|= .
规律方法　空间中点的坐标与空间直角坐标系是相对的,要根据立体图形的特点尽可能建立简便的空间直角坐标系.尽可能方便地将点的坐标表示出来.同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用.
变式训练1(1)正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,点P在线段BD'上,且|BP|= |BD'|,建立如图所示的空间直角坐标系,则点P的坐标为(　　)
解析 如图所示,过点P分别作平面xOy和z轴的垂线,垂足分别为点E,H,过E分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为点F,G,
(2)点 为空间直角坐标系中的点,过点P作平面xOy的垂线,垂足为Q,则点Q 的坐标为　　　　　. 
解析 由空间直角坐标系中点的坐标的定义,可知点Q的坐标为(1, ,0).
探究点二　　已知点的坐标确定点的位置
【例2】 在空间直角坐标系O-xyz中,作出点M(2,-6,4).
解 要作出点M(2,-6,4),只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面α,过y轴上坐标为-6的点D作垂直于y轴的平面β,根据几何知识可以得出:这两个平面的交线就是经过点M'(2,-6,0)且与z轴平行的直线l.再过z轴上坐标为4的点A'作垂直于z轴的平面γ,那么直线l与平面γ的交点也是三个平面α,β,γ的交点,就是点M,图略.
变式探究在空间直角坐标系O-xyz中作出点M(2,3,4).
解 如图,在xOy平面内确定点M1(2,3,0),作M1M平行于z轴,在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|=4,则点M的坐标为(2,3,4).
规律方法　1.先确定点(x0,y0,0)在xOy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置.2.以原点O为一个顶点,构造棱长分别为 的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与O相对的顶点即为所求的点.
探究点三　　求空间某对称点的坐标
【例3】 求点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.
解 如图所示,过点A作AM⊥平面xOy于M,并延长到C,使|AM|=|CM|,则点A关于坐标平面xOy的对称点为C(1,2,1).过点A作AN⊥x轴于点N,并延长到点B,使|AN|=|NB|,则点A关于x轴的对称点为B(1,-2,1),∴A(1,2,-1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,1);A(1,2,-1)关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,1).
规律方法　空间直角坐标系O-xyz中一点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点:
变式训练2求点M(x0,y0,z0)关于点(a,b,c)的对称点的坐标.
解 由中点坐标公式得,点M(x0,y0,z0)关于点(a,b,c)的对称点的坐标为M'(2a-x0,2b-y0,2c-z0).
探究点四　　两点间的距离
【例4】 如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2, AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求线段DE,EF的长度.
解 以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.∵|C1C|=|CB|=|CA|=2,∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2).由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),
变式探究空间直角坐标系O-xyz中,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为 ,求点P 的坐标.
解 设点P的坐标为(x,0,0),(x-4)2=25,解得x=9或x=-1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).
规律方法　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为:
1.知识清单:(1)空间直角坐标系的建立.(2)点在空间直角坐标系中的坐标.(3)空间中两点的距离公式及中点公式.2.方法归纳:数形结合法.3.常见误区:空间直角坐标系的建立不符合右手系,空间中点的坐标易忽视其所在平面,距离公式与中点公式混淆.
1.(多选题)以下空间直角坐标系的建立不符合右手螺旋法则的是(　　)
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点P(x,y,z)在直线DB1上,则x,y,z所满足的条件是(　　)
3.[2023四川成都高二期中]已知空间点P(-3,1,-4),则点P关于y轴对称的点的坐标为(　　)A.(-3,-1,-4)B.(-3,-1,4)C.(-3,1,4)D.(3,1,4)
解析 依题意,点P(-3,1,-4)关于y轴对称的点的坐标为(3,1,4).故选D.
4.已知A(4,-7,1),B(6,2,z),若|AB|=10,则z=　　　　　. 
5.(1)在z轴上求与点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点的坐标;