河南省南阳市唐河县2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含解析)

这是一份河南省南阳市唐河县2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在四个实数﹣2，0，，﹣1中，最小的实数是（ ）
A．﹣2B．0C．D．﹣1
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+5b＝8abB．（m+n）2＝m2+n2
C．（﹣x3y）2＝x6y2D．a2•a3＝a6
3．（3分）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）
4．（3分）下列命题中的假命题是（ ）
A．若x2＝y2，则x＝y
B．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形
D．等腰三角形底边上的高平分它的顶角
5．（3分）如图，点A，E，F，C在同一直线上，BF∥DE，BF＝DE，AC＝8，则EF的长为（ ）
A．4B．3.5C．2D．2.5
6．（3分）将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4米2B．（a2+4）米2C．（2a+4）米2D．（4a+4）米2
7．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，交AB于点D，交AC于点E．若AB＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
8．（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC，C为圆心，以AC长为半径画弧，连结BD，下列结论中错误的是（ ）
A．BD⊥AC
B．∠ABD＝∠CBD
C．∠BAD＝∠BCD
D．四边形ABCD的面积为AC•BD
9．（3分）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有（ ）
A．25人B．35人C．40人D．100人
10．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在数据，，，π，﹣2中，出现无理数的频率为 ．
12．（3分）若2m+n＝4，2m﹣n＝3，直接写出4m2﹣n2＝ ．
13．（3分）多项式1+9x2加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是 （填上一个你认为正确的即可）．
14．（3分）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，则橡皮筋被拉长了 cm．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝5，DC＝6 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）（1）计算：+|﹣2|﹣；
（2）运用公式进行简便计算：10.22﹣10.2×2.4+1.44；
（3）计算：（﹣2a2b）2•（3b2﹣5a2b）÷（﹣ab）3．
17．（9分）下面是小华同学分解因式9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）的过程，请认真阅读，并回答下列问题．
解：原式＝9a2（x﹣y）+4b2（x﹣y）①
＝（x﹣y）（9a2+4b2）②
＝（x﹣y）（3a+2b）2③
任务一：以上解答过程从第 步开始出现错误．
任务二：请你写出正确的解答过程．
18．（8分）先化简，再求值：（2x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝﹣．
19．（8分）如今很多人都是“手机不离手”．疫情发生以来，有的人手机使用时间比以前更长了，也有人养成了健康有节律的手机使用习惯．近日，记者李斌把调查结果绘制成如下统计图：
每天使用手机时长情况统计图（1），每天使用手机时长情况统计图（2）
（1）结合两个统计图中的数据，可算出接受调查的一共有 人．
（2）每天使用手机5小时以上的占全部接受调查人数的 %，是 人．
（3）88.5%的受调查者坦言：最近手机使用时间增长了，主要用手机刷短视频、上网课和沟通工作．由于长时间观看手机屏幕会使眼睛疲劳、干涩，引发视力下降（至少写出两条）
20．（9分）如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，CE、BF交于点P．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求∠BPC的度数．
21．（9分）（1）已知△ABC三边长分别为2，，，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积；
（2）若△DEF三边长分别为，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF ．
22．（10分）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4•an，所以an＝5．
（1）若am＝2，a2m+n＝24，请你也利用逆向思考的方法求出an的值．
（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：
小贤的作业
计算：89×（﹣0.125）9．
解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．
①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式： ．
②计算：52023×（﹣0.2）2022．
23．（10分）（1）感知：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连结AD，则可证△CBE≌△CAD，依据 ；进而得到线段BE＝AD，依据 ．
（2）探究：如图2，AC＝BC，CD＝CE，AD、BE相交于点M，连接CM．
①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明，请直接写出BE与AD之间的数量关系；
②∠AMB的度数＝ ．（用含α的式子表示）
（3）应用：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，如图3，取AD，连接CP，CQ，如果PC＝，直接写出PQ的长．
2022-2023学年河南省南阳市唐河县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在四个实数﹣2，0，，﹣1中，最小的实数是（ ）
A．﹣2B．0C．D．﹣1
【分析】先根据实数的大小比较法则比较定理，再得出答案即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣＜﹣4＜0，
∴最小的数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+5b＝8abB．（m+n）2＝m2+n2
C．（﹣x3y）2＝x6y2D．a2•a3＝a6
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则计算即可得出答案．
【解答】解：A．3a与5b不是同类项，故此选项不符合题意；
B．（m+n）5＝m2+2mn+n2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C．（﹣x3y）2＝x6y2，原计算正确，故此选项符合题意；
D．a2•a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
3．（3分）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）
【分析】根据平方差公式是对（a+b）（a﹣b）结构特点算式进行计算的方法进行逐一辨别即可．
【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；
∴选项A符合题意；
∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，
∴选项B不符合题意；
∵（x+2）（5+x）＝（x+2）2，
∴选项C不符合题意；
∵（6x+3）（3x﹣6）不是（a+b）（a﹣b）的形式，
∴选项D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了平方差公式的应用能力，关键是能正确理解并运用平方差公式．
4．（3分）下列命题中的假命题是（ ）
A．若x2＝y2，则x＝y
B．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形
D．等腰三角形底边上的高平分它的顶角
【分析】根据有理数的乘方、等边三角形的判定定理、等腰三角形的概念和性质判断即可．
【解答】解：A、若x2＝y2，则x＝±y，故本选项命题是假命题；
B、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
C、若一个三角形有两个角相等，是真命题；
D、根据等腰三角形的三线合一可知，是真命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（3分）如图，点A，E，F，C在同一直线上，BF∥DE，BF＝DE，AC＝8，则EF的长为（ ）
A．4B．3.5C．2D．2.5
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠C，∠DEC＝∠BFA，进而利用AAS证明△ABF与△CDE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，BF∥DE，
∴∠A＝∠C，∠DEC＝∠BFA，
在△ABF与△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AE＝CF，
∵AE＝2，AC＝8，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝4﹣2﹣2＝3，
故选：A．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS证明△ABF与△CDE全等解答．
6．（3分）将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4米2B．（a2+4）米2C．（2a+4）米2D．（4a+4）米2
【分析】用扩大后的面积减去原来的面积，即可求出答案．
【解答】解：（a+2）2﹣a5＝a2+4a+2﹣a2＝4a+6，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，注意完全平方公式的使用．
7．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，交AB于点D，交AC于点E．若AB＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【分析】先由平行线的性质与角平分线的定义证得∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，再由等腰三角形的判定即可得出BD＝FD，CE＝FE，然后根据三角形周长公式求解即可．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，
∵DE∥BC，
∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，
∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，
∴BD＝FD，CE＝FE，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+FD+FE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝6+5＝11．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证得BD＝FD，CE＝FE是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC，C为圆心，以AC长为半径画弧，连结BD，下列结论中错误的是（ ）
A．BD⊥AC
B．∠ABD＝∠CBD
C．∠BAD＝∠BCD
D．四边形ABCD的面积为AC•BD
【分析】根据作图方法可得AD＝AC＝CD，进而可得△ACD是等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得BD垂直平分AC，利用等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，利用面积公式可计算四边形ABDC的面积．
【解答】解：根据作图方法可得AD＝AC＝CD，
∵BA＝BC，
∴点B在BC的垂直平分线上，
∵AD＝CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴BD是AC的垂直平分线，故A结论正确；
∴O为BC中点，
∵BA＝BC，
∴∠BAD＝∠BCD，故C结论正确；
∵BD⊥AC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABD＝∠CBD，故B结论正确；
∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝AC•BD，
故选：D．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．
9．（3分）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有（ ）
A．25人B．35人C．40人D．100人
【分析】根据参加足球的人数除以参加足球所长的百分比，可得参加兴趣小组的总人数，参加兴趣小组的总人数乘以参加乒乓球所占的百分比，可得答案．
【解答】解：参加兴趣小组的总人数25÷25%＝100（人），
参加乒乓球小组的人数100×（1﹣25%﹣35%）＝40（人），
故选：C．
【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
10．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝2.4米，
∴AB3＝0.75+2.45＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，BD2+A′D7＝A′B2，
∴BD2+42＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝6.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.4+1.5＝7.2米．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在数据，，，π，﹣2中，出现无理数的频率为 0.4 ．
【分析】频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数．
【解答】解：在数据，，，π，﹣3中，π，共2个，
则出现无理数的频率为＝0.3；
故答案为：0.4．
【点评】本题考查了频率，熟练运用频率公式计算是解题的关键．
12．（3分）若2m+n＝4，2m﹣n＝3，直接写出4m2﹣n2＝ 12 ．
【分析】根据平方差公式因式分解得4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），代入已知求值即可．
【解答】解：∵2m+n＝4，6m﹣n＝3，
∴4m5﹣n2
＝（2m+n）（7m﹣n）
＝4×3
＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了代数式求值，解题的关键是运用平方差公式正确进行因式分解．
13．（3分）多项式1+9x2加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是 6x或﹣6x或x4或﹣1或﹣9x2 （填上一个你认为正确的即可）．
【分析】分9x2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解．
【解答】解：①当9x2是平方项时，6±6x+9x7＝（1±3x）8，
∴可添加的项是6x或﹣6x，
②当4x2是乘积二倍项时，1+5x2+x8＝（1+x2）2，
∴可添加的项是x4．
③添加﹣1或﹣6x2．
故答案为：6x或﹣2x或x4或﹣8或﹣9x2．
【点评】本题考查了完全平方式，熟记完全平方公式的结构特征是解题的关键，注意要分情况讨论．
14．（3分）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝，CD＝5cm；
根据勾股定理，得：AD＝；
∴AD+BD﹣AB＝5AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
故橡皮筋被拉长了4cm．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝5，DC＝6 15 ．
【分析】过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝6，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，
∴DE＝DC，
∵DC＝6，
∴DE＝6，
∵AB＝2，
∴△ABD的面积是＝×5×6＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE＝DC＝6是解此题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）（1）计算：+|﹣2|﹣；
（2）运用公式进行简便计算：10.22﹣10.2×2.4+1.44；
（3）计算：（﹣2a2b）2•（3b2﹣5a2b）÷（﹣ab）3．
【分析】（1）根据立方根的定义、绝对值的性质、二次根式的性质即可求出答案．
（2）根据完全平方公式即可求出答案．
（3）根据积的乘方运算、整式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣﹣
＝8﹣﹣
＝﹣．
（2）原式＝（10.2﹣1.2）2
＝81．
（3）原式＝（4a3b2）•（3ab7﹣5a2b）÷（﹣a3b3）
＝12a3b3﹣20a4b3÷（﹣a6b3）
＝﹣12b+20a
＝20a﹣12b．
【点评】本题考查立方根的定义、绝对值的性质、二次根式的性质、完全平方公式、积的乘方运算、整式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
17．（9分）下面是小华同学分解因式9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）的过程，请认真阅读，并回答下列问题．
解：原式＝9a2（x﹣y）+4b2（x﹣y）①
＝（x﹣y）（9a2+4b2）②
＝（x﹣y）（3a+2b）2③
任务一：以上解答过程从第 ① 步开始出现错误．
任务二：请你写出正确的解答过程．
【分析】任务一：从相反数的意义考虑可得结论；
任务二：先变形整式提取公因式，再套用平方差公式因式分解．
【解答】解：任务一：∵x﹣y与y﹣x互为相反数，
∴y﹣x＝﹣（x﹣y）．
∴4b2（y﹣x）＝﹣8b2（x﹣y）．
任务二：9a5（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝8a2（x﹣y）﹣4b6（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+6b）（3a﹣2b）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提取公因式法和公式法是解决本题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：（2x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝﹣．
【分析】直接利用乘法公式、单项式乘多项式运算法则分别化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝4x2﹣12x+4+x2﹣16+10x﹣5x5
＝﹣2x﹣7，
当时，
原式＝﹣2x﹣7
＝﹣2×（﹣）﹣7
＝1﹣3
＝﹣6．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
19．（8分）如今很多人都是“手机不离手”．疫情发生以来，有的人手机使用时间比以前更长了，也有人养成了健康有节律的手机使用习惯．近日，记者李斌把调查结果绘制成如下统计图：
每天使用手机时长情况统计图（1），每天使用手机时长情况统计图（2）
（1）结合两个统计图中的数据，可算出接受调查的一共有 2000 人．
（2）每天使用手机5小时以上的占全部接受调查人数的 45 %，是 900 人．
（3）88.5%的受调查者坦言：最近手机使用时间增长了，主要用手机刷短视频、上网课和沟通工作．由于长时间观看手机屏幕会使眼睛疲劳、干涩，引发视力下降（至少写出两条）
【分析】（1）根据样本容量＝频数÷所占百分比计算即可．
（2）根据各频数之和等于样本容量，计算出人数，根据频数÷样本容量＝百分比计算即可．
（3）答案不唯一，只要合理即可．
【解答】解：（1）接受调查的一共有：700÷35%＝2000（人）．
故答案为：2000；
（2）每天使用手机5小时以上的人数为：2000﹣40﹣360﹣700＝900（人），
占全部接受调查人数的百分比为：900÷2000＝45%，
故答案为：45，900．
（3）①尽量少使用手机；②控制手机使用的时长等．
【点评】本题考查了样本容量，扇形统计图，条形统计图，熟练掌握统计图的意义是解题的关键．
20．（9分）如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，CE、BF交于点P．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求∠BPC的度数．
【分析】（1）欲证明CE＝BF，只需证得△BCE≌△ABF；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE＝∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC＝120°．
【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE＝BF；
（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．
即：∠BPC＝120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
21．（9分）（1）已知△ABC三边长分别为2，，，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积；
（2）若△DEF三边长分别为，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF a2 ．
【分析】（1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（2）构造网格图，利用分割法求解即可．
【解答】解：（1）△ABC如图所示：
△ABC的面积为3×4﹣×3×5﹣×2×7＝5．
（2）如图，△DEF即为所求．
△DEF的面积为3a×3a﹣×3a×2a﹣×8a×a＝．
故答案为：a8．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积．
22．（10分）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4•an，所以an＝5．
（1）若am＝2，a2m+n＝24，请你也利用逆向思考的方法求出an的值．
（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：
小贤的作业
计算：89×（﹣0.125）9．
解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．
①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式： an•bn＝（ab）n ．
②计算：52023×（﹣0.2）2022．
【分析】（1）根据所给的解答方式进行求解即可；
（2）①根据解答过程进行分析即可；
②利用所给的方式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵am＝2，
∴a2m+n＝24，
∴a7m×an＝24，
（am）2×an＝24，
26×an＝24，
∴4an＝24，
∴an＝6；
（2）①逆用积的乘方，其公式为：an•bn＝（ab）n，
故答案为：an•bn＝（ab）n；
②72023×（﹣0.2）2022
＝8×52022×（﹣0.7）2022
＝5×（﹣0.7×5）2022
＝5×（﹣2）2022
＝5×1
＝7．
【点评】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．（10分）（1）感知：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连结AD，则可证△CBE≌△CAD，依据 SAS ；进而得到线段BE＝AD，依据 全等三角形的对应边相等 ．
（2）探究：如图2，AC＝BC，CD＝CE，AD、BE相交于点M，连接CM．
①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明，请直接写出BE与AD之间的数量关系；
②∠AMB的度数＝ α ．（用含α的式子表示）
（3）应用：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，如图3，取AD，连接CP，CQ，如果PC＝，直接写出PQ的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到CB＝CA，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，利用SAS定理证明△CBE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到BE＝AD；
（2）①证明△CBE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到BE＝AD；
②根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算即可；
（3）证明△ACP≌△BCQ，得到∠PCQ＝90°，经过勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CB＝CA，CE＝CD，
∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ECA，∠ACD＝∠DCE﹣∠ECA，
∴∠ECB＝∠DCA，
在△CBE和△CAD中，
，
∴△CBE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD（全等三角形的对应边相等），
故答案为：SAS；全等三角形的对应边相等；
（2）①BE＝AD，
证明如下：∵∠ACB＝∠DCE＝α，∠ACD＝α+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CBE和△CAD中，
，
∴△CBE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE
∵∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α，
故答案为：α；
（3）如图3，由（1）可得，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，
∵∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠BCQ+∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∵PC＝，
∴PQ5＝PC2+CQ2＝2+2＝4，
∴PQ＝3．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．