河南省南阳市唐河县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份河南省南阳市唐河县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省南阳市唐河县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列关于的说法中，错误的是（　　）
A．是无理数 B．
C． D．5的平方根是
2．下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
3．已知，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，AC边的长为（　　）
A．3 B． C．3或 D．
4．观察图中的两个图形，利用它们之间的关系可以验证的等式是（　　）

A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
5．如图，点D在AB上．点E在AC上，AB＝AC．增加下列一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠AEB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．AE＝AD D．BE＝CD
6．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
7．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果x＝y，那么，x2＝y2
B．如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除
8．如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，则∠1与∠2的关系是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180°
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（　　）

A．1 B． C．2 D．
10．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）

A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．无理数的小数部分是 　 　．
12．如果二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是　 　．
13．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是　 　度．

14．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为　 　．

15．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数．
我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：
①32+42＝52，
②52+122＝132，
③72+242＝252，
④92+402＝412，
…
根据规律写出第⑥个等式为 　 　．
三、解答题（满分75分）
16．按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）化简：ab﹣4b•（﹣ab2）2÷ab4．
（3）已知4x+3y﹣5＝0，求16x•8y的值．
17．分解因式：
（1）a2b﹣2ab+b；
（2）（2m+3）2﹣m2．
18．先化简，再求值：[2（x﹣y）]2﹣（12x3y2﹣18x2y3）÷（3xy2），其中x＝﹣3，y＝﹣．
19．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD．若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．

20．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连接AE，当BC＝5，AB＝12时，求AD的长．

21．如图，在△ABC中：
（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是　 　（将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；
②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N；
③画射线BP，交AC于点D．
（2）连接MP、NP，通过证明△BMP≌△BNP，得到∠ABD＝∠CBD，从而得到BD是∠ABC的平分线，其中证明△BMP≌△BNP的依据是　 　（填序号）．
①SAS．②ASA．③AAS． ④SSS．
（3）若AB＝16，BC＝14，S△ABC＝75，过点D作DE⊥AB于E，求DE的长．

22．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于　 　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为　 　．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
23．感知：如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明．
探究：如图②，将△AED绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE．
①∠ACE的度数为 　 　度；
②线段BC、CD、CE之间的数量关系是 　 　；
③若AB＝AC＝，CD＝1，则线段DE的长为 　 　．




参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列关于的说法中，错误的是（　　）
A．是无理数 B．
C． D．5的平方根是
【分析】根据无理数、绝对值、平方根的定义以及无理数大小的估算法则解答．
解：A、是无理数，本选项不符合题意；
B、2＜＜3，本选项不符合题意；
C、＞2，故|﹣2|＝﹣2，本选项不符合题意；
D、5的平方根是±，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数、绝对值、平方根以及无理数大小的估算，关键是熟练掌握各知识点．
2．下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．已知，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，AC边的长为（　　）
A．3 B． C．3或 D．
【分析】根据勾股定理直接计算即可．
解：∵∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，
∴AC边为直角边，
由勾股定理得AC＝＝＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．观察图中的两个图形，利用它们之间的关系可以验证的等式是（　　）

A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】先用两种方法表示阴影部分的面积，再根据面积相等得到代数恒等式．
解：S阴影＝4×ab＝2ab，还可以表示成：S阴影＝（a+b）2﹣（a2+b2）．
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
5．如图，点D在AB上．点E在AC上，AB＝AC．增加下列一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠AEB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．AE＝AD D．BE＝CD
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
B．∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
C．AE＝AD，∠A＝∠A，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
D．BE＝CD，AB＝AC，∠A＝∠A，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
6．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．

【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理SSS．
7．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果x＝y，那么，x2＝y2
B．如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除
【分析】先找到各命题的逆命题，再判断逆命题是否为真命题．
解：A、本选项逆命题为：如果x2＝y2，那么x＝y，是假命题，例如：32＝（﹣3）2，而3≠﹣3，故本选项错误；
B、本选项的逆命题为：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的另外一个角是钝角，是假命题：例如三角形有两锐角分别为70°，80°，而第三个角为30°，不是钝角，故本选项错误；
C、本选项逆命题为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上；是角平分线的判定定理，是真命题，故本选项正确；
D、本选项逆命题为：如果一个整数能被5整除，那么这个整数数的个位数字是5，是假命题；例如：10能被5整除，但10的个位数字是0不是5，故本选项错误．
故答案为：C．
【点评】本题考查了命题与定理，熟悉命题、逆命题、真命题、假命题的概念是解题的关键．
8．如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，则∠1与∠2的关系是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180°
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：如图，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠1＝∠ABC．
∵∠ABC+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（　　）

A．1 B． C．2 D．
【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝×4×1＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质．
10．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）

A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．无理数的小数部分是 　﹣3　．
【分析】先求出的范围，即可得出无理数的小数部分．
解：∵3＜＜4，
∴无理数的小数部分是：﹣3；
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
12．如果二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是　±8　．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
解：∵x2﹣mx+16＝x2﹣mx+42，
∴﹣mx＝±2•x•4，
解得m＝±8．
故答案为：±8．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
13．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是　18　度．

【分析】由∠C＝90°，∠A＝36°，求得∠ABC＝54°，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线
∴AE＝BE
∵∠C＝90°，∠A＝36°
∴∠EBA＝∠A＝36°
∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；得到∠EBA＝∠A＝36°是正确解答本题的关键．
14．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为　　．

【分析】根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．
解：根据勾股定理得：AC＝＝5，
由网格得：S△ABC＝×2×4＝4，且S△ABC＝AC•BD＝×5BD，
∴×5BD＝4，
解得：BD＝．
故答案为：
【点评】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
15．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数．
我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：
①32+42＝52，
②52+122＝132，
③72+242＝252，
④92+402＝412，
…
根据规律写出第⑥个等式为 　132+842＝852　．
【分析】通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑥个等式．
解：∵3＝2×1+1，5＝2×2+1，7＝2×3+1，9＝2×4+1，
∴第一个数的底数是2n+1，指数是2，
∵4＝2×12+2×1，8＝2×22+2×2，24＝2×32+2×3，40＝2×42+2×4，
∴第二个数的底数是2n2+2n，指数是2，
∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2，
∴第n个等式为（2n+1）2+（2n2+2n）2＝（2n2+2n+1）2，
∴第⑥个等式为132+842＝852，
故答案为：132+842＝852．
【点评】本题考查了一些常用的勾股数，通过分析各个等式，找出规律是解决本题的关键．
三、解答题（满分75分）
16．按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）化简：ab﹣4b•（﹣ab2）2÷ab4．
（3）已知4x+3y﹣5＝0，求16x•8y的值．
【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用立方根定义计算，第四项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式先计算积的乘法，再计算乘除，最后合并同类项即可．
（3）根据4x+3y﹣5＝0可得4x+3y＝5，由16x•8y＝24x•23y＝24x+3y，将4x+3y＝5代入即可求解．
解：（1）原式＝3﹣4++4
＝3﹣4﹣1+4
＝2；
（2）原式＝ab﹣4b•a2b4÷ab4
＝ab﹣4a2b5÷ab4
＝ab﹣4ab
＝﹣3ab；
（3）∵4x+3y﹣5＝0，
∴4x+3y＝5，
∵16x•8y＝24x•23y＝24x+3y，
∴16x•8y＝25＝32．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17．分解因式：
（1）a2b﹣2ab+b；
（2）（2m+3）2﹣m2．
【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解；
（2）根据平方差公式分解因式．
解：（1）a2b﹣2ab+b
＝b（a2﹣2a+1）
＝b（a﹣1）2；
（2）（2m+3）2﹣m2
＝（2m+3+m）（2m+3﹣m）
＝3（m+1）（m+3）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
18．先化简，再求值：[2（x﹣y）]2﹣（12x3y2﹣18x2y3）÷（3xy2），其中x＝﹣3，y＝﹣．
【分析】原式利用完全平方公式，以及多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
解：原式＝4x2﹣8xy+4y2﹣4x2+6xy
＝﹣2xy+4y2，
当x＝﹣3，y＝﹣时，
原式＝﹣2×（﹣3）×（﹣）+4×（﹣）2
＝﹣3+1
＝﹣2．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD．若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．

【分析】（1）根据AB＝10，BD＝6，AD＝8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形；
（2）利用勾股定理求出CD的长，即可得出答案．
解：（1）∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°；

（2）在Rt△ACD中，CD＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21，
答：BC的长是21．
【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
20．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连接AE，当BC＝5，AB＝12时，求AD的长．

【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；

（2）解：△ABC≌△DCE，
在Rt△ABC中，AB＝12，BC＝5，
∴，
∴AD＝AC+CD＝13+12＝25．
答：AD的长是25．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
21．如图，在△ABC中：
（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是　②①③　（将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；
②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N；
③画射线BP，交AC于点D．
（2）连接MP、NP，通过证明△BMP≌△BNP，得到∠ABD＝∠CBD，从而得到BD是∠ABC的平分线，其中证明△BMP≌△BNP的依据是　④　（填序号）．
①SAS．②ASA．③AAS． ④SSS．
（3）若AB＝16，BC＝14，S△ABC＝75，过点D作DE⊥AB于E，求DE的长．

【分析】（1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答；
（2）根据全等三角形的判定定理和性质定理解答；
（3）过点D作DF⊥BC与F，根据角平分线的性质定理得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可．
解：（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③，
故答案为：②①③；
（2）在△MBP和△NBP中，
，
∴△MBP≌△NBP（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD，
故答案为：④；
（3）过点D作DF⊥BC于F，
∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝．
即．
∴DE＝5．
故答案为：（1）②①③；
（2）④．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的作法，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
22．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于　4a﹣4b　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab　．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）用代数式表示阴影部分正方形的边长即可求周长；
（2）结合图2表示大正方形面积，利用等面积法可得答案；
（3）利用（2）结论，先计算（m+n）2即可得到答案；
（4）设AC＝a，BC＝b，根据已知求出ab即可得到结果．
解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b；
故答案为：4a﹣4b；
（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b）2，
大正方形边长为a+b，故面积也可表达为：（a+b）2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）由（2）知：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
∵m﹣n＝4，mn＝﹣3；
∴（m+n）2＝42+4×（﹣3）＝16﹣12＝4；
∴m+n＝2或﹣2；
（4）设AC＝a，BC＝b；
∵AB＝8，S1+S2＝26；
∴a+b＝8，a2+b2＝26；
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴64＝26+2ab，解得ab＝19，
由题意：∠ACF＝90°，
∴＝．
【点评】本题考查完全平方公式及应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积．
23．感知：如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明．
探究：如图②，将△AED绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE．
①∠ACE的度数为 　45　度；
②线段BC、CD、CE之间的数量关系是 　CE＝BC+CD　；
③若AB＝AC＝，CD＝1，则线段DE的长为 　　．


【分析】探究：利用SAS证明△ABD≌△CAE（SAS），得BD＝CE；
应用：①同理证明△ACE≌△ABD，得∠ACE＝∠B＝45°；
②由全等三角形的性质得BD＝CE即可；
③首先证明∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，再利用勾股定理即可得出答案．
解：探究：成立，证明如下：
∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵将△AED绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
应用：①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
在△ACE与△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，
故答案为：45；
②∵△ACE≌△ABD，
∴BD＝CE，
∴BC+CD＝CE，
故答案为：BC+CD＝CE；
③∵△ACE≌△ABD，
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
在Rt△BAC中，
∵AB＝AC＝，
∴BC＝＝2，
又∵CD＝1，CE＝BC+CD＝3，
在Rt△CDE中，DE＝＝，
故答案为：．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ACE≌△ABD是解题的关键．