精品解析：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（一）

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一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数f(x)＝ex－ex，x∈的单调递增区间是（ ）
A. (0，＋∞)B. (－∞，0)
C. (－∞，1)D. (1，＋∞)
【答案】D
【解析】
【分析】求得，令，即可求得单调增区间.
详解】由题意知，f′(x)＝ex－e，
令f′(x)>0，解得x>1，
故的单调增区间为.
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，属简单题.
2. 已知函数在处取得极大值，则a的值为（ ）
A. 或B. 1或2C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由三次函数的图像特征和极值定义，即可得出结果.
【详解】由题意可知，，
令，可得或,
当，，可得,
此时的单调递增区间是，
单调递减区间是时取得极大值，满足题意；
当，，可得（舍），
故.
故选：C.
3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 182B. 128C. 56D. 42
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的通项及求和公式，列出不等式组，求得的值，代入公式，即可求得；
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，
由，，得，
解得，所以；
故选:D.
4. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是（ ）
A. [0，1)B. (0，1)
C. (－1，1)D.
【答案】B
【解析】
【分析】对f(x)求导，然后对a分a≤0和a>0两种情况讨论函数的单调性，由单调性确定函数的最值.
【详解】由题意，＝3x2－3a＝3(x2－a),
当a≤0时，＞0，
∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.
当a＞0时，＝3(x－)( x＋),不妨只讨论时
当x＞，，f(x)为增函数，当0＜x＜时，, f(x)为减函数，
∴f(x)在x＝处取得最小值，
∴＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最小值.
故选：B.
5. 函数的大致图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得函数的定义域为，设，由导数求得函数的单调性，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，
设，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，且.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数图象与性质，其中解答中根据函数的解析式求得函数的定义域，以及利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.
6. 过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为，，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出，确定动点的轨迹方程，从而结合表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知圆：半径为，
因为，分别为两条切线，的切点，且，则，所以，所以动点在圆上且，
表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，
设，则直线与圆有公共点，
由点到直线的距离公式可得，解得或，
即的取值范围是，
故选：D
7. 已知数列的前项和为，，当时，，则等于（ ）
A. 1008B. 1009C. 1010D. 1011
【答案】D
【解析】
【分析】由时，得到，两式作差，整理可得：，结合并项求和，即可求解.
【详解】解：由题意可得，当时，，，
两式作差可得，
即，
即当时，数列任意连续两项之和为1，又因为，
所以，
故选：．
8. 已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆和双曲线的定义以及余弦定理解得，再由“1”的代换和基本不等式求得结果.
【详解】设P为第一象限的交点，
则由椭圆和双曲线的定义可知，
∴在△中由余弦定理得：
即：
∴，即：
∴
当且仅当，即时，取得最小值为3.
故选：B.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是（ ）
A. ；
B. 函数在处取得极小值，在处取得极大值；
C. 函数在处取得极大值，在处取得极小值；
D. 函数的最小值为.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由的图像可得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，再利用极值和最值的定义逐个判断即可.
【详解】由的图像可得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
对于A，由题意可得，所以A不正确．
对于B，由题意得函数在处取得极大值，在处取得极小值，故B不正确．
对于C，由B的分析可得C正确．
对于D，由题意可得不是最小值，故D不正确．
综上可得ABD不正确．
故选：ABD．
10. 已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A. B.
C. 的值是中最大的D. 使成立的最大正整数数的值为198
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】∵，∴，∴.
∵，∴，
又，∴.故A正确.
由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.
∴，
，
∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数的定义域为，其导函数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
详解】构造函数，其中，则，
所以，函数为上的增函数，则，即，所以，，A错B对；
因，则，即，所以，，C对D错.
故选：BC.
12. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右焦点分别为，点，在椭圆上，且，则（ ）
A. 当不在轴上时，的周长为6
B. 使是直角三角形的点有4个
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据椭圆的焦点三角形即可判断AB，根据坐标运算以及两点间距离公式即可判断D,由D的结论，结合不等式以及坐标运算即可判断C.
【详解】中,
对于A,的周长为，故A正确，
对于B，当点在椭圆的上下顶点时，此时故,因此当点在椭圆上时，不可能为直角，故当为直角三角形时，此时或，故满足条件的有4个，故B正确，
设,由于,则由于,，进而得，即可，化简得，
，故为定值，故D正确，
对于C,由D可知，故,当且仅当,即时取等号，故，又
，故当有一个为0时，取最大值为，故,故C错误，
故选：ABD
【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量垂直得坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________.
【答案】
【解析】
【详解】由题意知f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，f ′(1)＝0，f (1)＝10，
即解得或
经检验满足题意，故.填．
【点睛】用f ′(1)＝0是用必要条件做题，所以需要检验．即在区间D上的可导函数f(x),是函数f(x)在取极值的必要条件．
14. 设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可求得切线方程，得到，令，利用导数可求得，由此可得结果.
【详解】设与曲线相切的切点坐标为，
，切线斜率，
切线方程为：，即，
又切线方程为，，
，
令，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查最值问题的求解，解题关键是能够利用导数的几何意义表示出切线方程，从而将转化为关于的函数的形式，从而利用导数求得最值.
15. 已知抛物线上一点到焦点的距离为4，准线为，若与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由给定条件求出抛物线的准线l的方程，再求出准线与双曲线的两条渐近线的交点即可作答.
【详解】依题意，抛物线准线：，由抛物线定义知，解得，则准线：，
双曲线的两条渐近线为，于是得准线与二渐近线交点为，
原点为O，则面积，解得，
双曲线的半焦距为c，离心率为e，则有，解得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
16. 已知不等式恒成立，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数的最大值即得.
【详解】当时，不等式，令，，
依题意，恒成立，由，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，则，
从而，即，所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题常用分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤
17. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最值，并指出取得最值时x的值．
【答案】(1) ;(2) 当时，，当时，.
【解析】
【分析】(1)由题意求出导函数，进而求解出，即可求出切线的斜率，由直线的点斜式方程即可求出切线方程.
(2)利用导数求函数在的单调性，结合区间端点处的函数值，即可求出函数的最值及取最值时的x的值.
【详解】解：(1)因为，则定义域为，则，
所以，又 ，所以，
即切线方程为.
(2)令，解得，当时，，递增；
当时，，递减，所以当时，，
又，，所以当时，.
【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了利用导数求函数的最值，属于基础题.
18. 已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）对求导，根据极值点列方程组求参数即可.
（2）由（1）有，进而判断的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围.
【详解】（1）由题设，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
当时，，随的变化情况如下表：
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，
要使对任意恒成立，则只需，解得或，
∴实数的取值范围为．
19. 随着国家改革的深入推进，对新能源的补贴正在逐年降低，在2020年全面结束在这一领域的补助.某企业为了保证正常发展，计划从今年起对每件投入相应的资金进行新技术的开发和应用.若某产品的成本为40元/件，其市场价格为元/件（），且该产品每月的生产数量（万件）与成反比例，若每件商品的投入为元，当产品的市场价格为50元/件时，生产销售量为20万件.（，）
（1）若，则为何值时，该工厂每月的利润最大，并求的最大值；
（2）每件产品投入的资金最多为多少元时，可使工厂每月利润至少达到20万元？（精确到0.1万元）
【答案】（1）当元时利润最大54.7万元.（2）5.9元
【解析】
【分析】(1)当时，可得出该工厂每月的利润，然后求出导数，得出单调区间，得到答案.
(2)由题意有该工厂每月的利润，则恒成立，即恒成立，设，即求出的最大值，对求导，得出单调区间，可得出其最大值,从而得到答案.
【详解】设每月的生产数量，
当时，，则，∴，
（1）当时，，，
，则.
∴当元时利润最大即万元.
（2）恒成立，
即，∴恒成立.
设，.
∴，即，∴.
答：每件产品投入的资金最多为5.9元时，可使工厂每月利润至少达到20万元.
【点睛】本题考查利用函数导数解决实际生产中的问题，考查恒成立求参数问题，属于中档题.
20. 设正项数列的前项和为，且满足：，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若正项等比数列满足，，且，数列的前项和为，若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）[，+∞）．
【解析】
【分析】（Ⅰ）对递推关系再递推一步，两式相减，最后结合等差数列的定义进行求解即可；
（Ⅱ）根据等差数列的通项公式结合已知求出等比数列的通项公式，最后利用错位相减法、判断数列的单调性进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）因为，所以（n≥2），
两式相减得：an+12﹣an2＝4an+4，即an+12＝（an+2）2（n≥2），
又因为数列{an}的各项均为正数，所以an+1＝an+2（n≥2），
又因为a2＝4，16＝a12+4+4，可得a1＝2，
所以当n＝1时上式成立，即数列{an}是首项为2、公差为2的等差数列，
所以；
（Ⅱ）由（1）可知b1＝a1＝2，b3＝a4＝8，
所以正项等比数列的公比为：，
因此bn＝；cn＝．
①
②
① —②得：
恒成立，等价于恒成立，
所以恒成立，
设kn＝，则kn+1﹣kn＝﹣＝，
所以当n≤4时kn+1＞kn，当n＞4时kn+1＜kn，
所以
所以当kn的最大值为k5＝，故m≥，
即实数m的取值范围是：[，+∞）．
【点睛】本题考查了由递推关系求等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列恒成立问题，考查了数列的单调性，考查了数学运算能力.
21. 在①离心率，②椭圆过点，③面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，已知椭圆的短轴长为，________.
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与x轴交于点N，求证：为定值.
【答案】（1）选①，；选②; 选③（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）选①，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（1）选②，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（1）选③，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（2）线段的中垂线与x轴交于点N，
讨论（i）当时，易得，，求得
（ii）当时，设直线的方程为，联解得：，求得，，
；利用中垂线方程求得，得到，从而得解.
【详解】（1）选①，由题意可得：，解得，所以所求椭圆C的方程为；
（1）选②，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（1）选③，由题可得：，解得，得到椭圆C的方程；
（2）（i）当时，，，
（ii）当时，由题意可得：.
设直线的方程为，设，，
由整理得：
显然，且，，
所以
所以线段的中点，
则线段的中垂线方程为，
令，可得，即，又，
所以，所以，即.
【点睛】本题属于开放性题，任选一个条件补充完整题干再作答，考查椭圆的标准方程及直线与椭圆关系求定值问题，属于中档题.
22. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.
【答案】（1）当时， 的递增区间为；
当时，的递增区间为，，递减区间为；
当时，的递增区间为，，递减区间为；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间即可.
（2）问题转化为，令 ，根据函数单调性证明即可.
【详解】（1）由题意，函数的定义域为,

当时，恒成立，故的递增区间为；
当时，在区间，时，时，
所以的递增区间为，，递减区间为；
当时，在区间，时，时，
所以的递增区间为，，递减区间为；
综上所述，当时， 的递增区间为；
当时，的递增区间为，，递减区间为；
当时，的递增区间为，，递减区间为；
（2）当时，由,只需证明.
令 ，.
设，则.
当时，，单调递减;
当时，，单调递增,
∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.
的最小值是 成立.
故成立.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，导函数在证明不等式中的应用，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.1
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
46
49
51
+
0
46
50
51
+
0
-