[数学][期末]江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期期末试题(解析版)

这是一份[数学][期末]江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期期末试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】，故复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2. 正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，，，，
因为，分别为棱，中点，所以，所以为与所成角，
因为在正方体中，，
所以为等边三角形，所以.
故选：C.
3. 已知向量，满足：，，，则（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以.
故选：B.
4. 如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为，
新几何体的表面积为，
故，原圆柱的侧面积为.
故选：B.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，
得.
故选：A.
6. 已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】因为，所以是三角形的重心，
又因为，所以是三角形的外心，
所以三角形是等边三角形.
故选：D.
7. 设为锐角，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由为锐角，得，而，
因此，
所以
.
故选：B.
8. 在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，在中，设，
因为，则M为BC中点，两边平方得到，
，
即，化简，
因为，则AN为角平分线，，
即，条件代入化简得，
，则，且，
联立解得，解得(负值舍去)，
所以.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是（ ）
A. ，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】BC
【解析】对于A，由，，则，可能相交，可能异面，可能平行，故A错误；
对于B，由线面平行的性质定理可知，，，则，B正确；
对于C，若，，，则，C正确；
对于D，若，，，则，异面或者平行，D错误.
故选：BC.
10. 已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是（ ）
A. 的虚部为4B.
C. D. 是的一个平方根
【答案】ABD
【解析】A选项，的虚部为4，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，，
，故，C错误；
D选项，，故是的一个平方根，D正确.
故选：ABD.
11. 设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”.若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则的“仿射坐标”为
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】根据“仿射坐标”定义，，
对于A，，即，
因此，故A正确；
对于B，，则，根据“仿射坐标”定义，
的“仿射坐标”为，故B正确；
对于C，若，则，
化简，
即，解得，故C错误；
对于D，若，，
则，联立得出，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.
12. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.
【答案】
【解析】正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，
底面正方形的对角线长度为，
所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，
所以球的半径为，所以球的表面积为．
故答案为：.
13. 将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是_____________.
【答案】
【解析】如图，取中点，连接，，则，，
所以是二面角的平面角，所以，
不妨设正方形的边长为2，
，，故，
因为，，，，平面，所以平面，
所以是与平面所成的角．所以与平面所成的角是．
故答案为：．
14. 某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为_________米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为_________千米/小时.
（参考数据：，，，）
【答案】1000 72
【解析】在中，，，
米，，
由正弦定理得，即，
得米；
在中，米，，
，
，
由正弦定理得，即，
得米，
在中，，米，米，
由余弦定理得，
即，所以米千米，
秒小时，所以速度为千米/小时.
故答案为：1000 72.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正方体中.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
解：（1）在正方体中，
又平面，平面，所以平面.
（2）连接、，在正方体中为正方形，
所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以.
16. 在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点.
（1）若，，三点共线，求的值；
（2）若向量与的夹角为，求的值；
（3）若四边形为矩形，求点坐标.
解：（1）向量，，，
所以，，
由，，三点共线知，，
即，解得.
（2），
解得.
（3）设，由，，，
，
若四边形为矩形，则，
即，解得；
由，得，
解得，故.
17. 已知角，满足，，且，.
（1）求的值；
（2）求的大小.
解：（1）因为，，所以，
所以，；
因为，所以；
所以.
（2）因为，，所以；
因为，所以，故，
所以；
又因为，所以，；
所以，
又因为，所以.
18. 在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.
①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分）
问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 .
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围.
解：（1）若选①：由正弦定理得，
则，
，，
．
若选②：，切化弦，得到，
则由正弦定理得，，即，，
.
若选③：，则，
由正弦定理得，
，
.
（2）由余弦定理得，，
则，当且仅当“”时，取“＝”号，即，
，则，当且仅当“”时取得最大值．
（3）由正弦定理得，
则，
，由于为锐角三角形，
则，
，
.
19. 已知在多面体中，，，.
（1）若，，，四点共面，求证：多面体为棱台；
（2）在（1）的条件下，平面平面，，，，且.
①求多面体的体积；
②求二面角正切值.
解：（1）因为，平面，平面，
所以平面，
同理可证：平面，
又因为，平面，平面，
所以平面平面，而，故共面，
因为，设，
而，且平面，
所以平面，同理可证平面，
所以面面，
又因平面平面，所以，
则交于同一点，又因为平面平面，
所以多面体为棱台.
（2）三棱台中，由(1)知侧棱交于同一个点，连结，
在侧面梯形中，有，，
所以梯形为直角梯形，
又因为，，
所以，所以，故，
又因面面，面面，面，
所以平面，即的长度等于点到平面的距离，
在三棱台中，有，即，所以，
侧面梯形中，，，，，
所以侧面梯形的面积，
又，解得，
故，
所以，
因为，
故，
所以所求棱台的体积为
②在内，过点作，记垂足为，连接，
由①知平面，又平面，所以，，
又因为，，所以平面，
又因为平面，所以，
又，所以的值等于二面角的值，
在中，，，，
所以，
故，
解得，故由即知，
所以二面角的正切值为.