2023-2024学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线l经过点A(，－1)，B(，2)，则l的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】结合已知条件，利用两点求斜率和斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为l经过点A(2－1)，B(，2)，
所以由两点求斜率和斜率与倾斜角关系得，，
故.
故选：C.
2．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】得出焦点位置和即可得出.
【详解】由化为，抛物线焦点在轴正半轴，且，
则准线方程为.
故选：A.
3．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（ ）
A．58B．60C．61D．62
【答案】C
【分析】由百分位数定义可得答案.
【详解】注意到，则该地区的月降水量75%分位数为第9，第10个数据的平均数，为.
故选：C
4．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求得双曲线的焦点和顶点坐标求解.
【详解】双曲线的焦点坐标为，
顶点坐标为，
由题意得：椭圆的焦点为，
顶点坐标为，
所以椭圆的方程是，
故选：C.
5．直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出.
【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（），
点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去），
所以直线的方程是.
故选：A.
6．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】将代入双曲线得到，当得到，得到答案.
【详解】根据题意：，，故，解得，即，
当水面宽度为米时，即时，，
拱顶M到水面的距离为.
故选：D
7．过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当最小时，和垂直，求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程．
【详解】
圆：的圆心为，
当最小时，圆心到直线的距离最长，此时，和垂直，
∵
∴直线的斜率等于，
用点斜式写出直线的方程为，即，
故选：B.
8．如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点，由两点间斜率公式求出直线的斜率与直线的斜率，由题意，直线的斜率与直线的斜率的积为，联立椭圆中，即可求出椭圆的离心率．
【详解】解：设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点
则直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，解得，
因为，所以，
故选：B．
二、多选题
9．已知直线，和直线，下列说法正确的是（ ）
A．当时B．当时，
C．直线过定点，直线定点D．当平行时，两直线的距离为
【答案】AD
【分析】A选项：把的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为，直接判断即可；
B选项，把的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可；
C选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；
D选项，由直线平行时，斜率相等，可求得得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.
【详解】对于A，当时，那么直线为，直线为，
此时两直线的斜率分别为和，所以有，所以，故A选项正确；
对于B，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误；
对于C，由直线：，整理可得： ，故直线过定点，
直线：，整理可得：，故直线过定点，故C选项错误；
对于D，当，平行时，两直线的斜率相等，即，解得：或，
当时，两直线重合，舍去；
当时，直线为，为，
此时两直线的距离，故D选项正确.
故选：AD.
10．已知圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线与圆C的相交弦长为
B．圆C关于直线对称的圆的方程为
C．若点是圆C上的动点，则的最大值为
D．若圆C上有且仅有三个点到直线的距离等于，则或
【答案】ABD
【分析】对于A，求出直线到圆心距离，再利用垂径定理结合勾股定理可得答案.
对于B，相当于求以点C关于直线对称点为圆心，半径不变的圆的方程.
对于C，注意到，结合范围可得答案.
对于D，题目等价于直线到圆心距离为，进而可得答案.
【详解】圆
对于选项A，设到圆心距离为.又圆C半径为.
所以直线与圆C的相交弦长.故A正确.
对于选项B，点C关于对称点为，又关于直线对称的圆半径不变.
则圆C关于直线对称的圆的方程为.故B正确.
对于选项C，由圆C：，可得.
又，得，故C错误.
对于选项D，圆C上有且仅有三个点到直线的距离等于等价于
直线到圆心距离.
则，得或.故D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：本题A，B，C选项所涉知识较为基础，选项D涉及的结论为：
设直线l与圆O相交，l到O距离为d，圆O半径为r，圆上一点P到l距离为.
（1）若，满足条件的点P有2个.
（2）若，满足条件的点P有4个
（3）若，满足条件的点P有3个
（4）若，满足条件的点P有2个
（5）若，满足条件的点P有1个
11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为B．该双曲线的渐近线方程为
C．若，则的面积为D．点到两渐近线的距离乘积为
【答案】BD
【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A选项；求出双曲线的渐近线方程可判断B选项；利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，，，该双曲线的离心率为，A错；
对于B选项，该双曲线的渐近线方程为，B对；
对于C选项，若，则，
所以，，可得，
故，C错；
对于D选项，设点，则，
双曲线的两渐近线方程分别为、，
所以，点到两渐近线的距离乘积为，D对.
故选：BD.
12．已知是左右焦点分别为的椭圆上的动点， ,下列说法正确的有（ ）
A．B．的最大值为
C．存在点，使D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于选项 由椭圆的定义可得选项正确；
对于选项由椭圆的性质可知，故选项正确；
对于选项，又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，所以，即，故选项错误；
对于选项设，则，当时，，故选项正确，
【详解】对于选项由题设可得：，，
由椭圆的定义可得：，故选项正确；
对于选项由椭圆的性质可知：（当为椭圆的右顶点时取““，故选项正确；
对于选项，又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，此时，所以，即，故选项错误；
对于选项设，则，当时，，故选项正确，
故选：ABD
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.
（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.
（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.
（5）利用数形结合分析解答.
三、填空题
13．若方程表示椭圆，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据方程的形式可得关于的不等式组，从而可得的取值范围.
【详解】由题设可得，解得.
故答案为：.
14．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .
【答案】
【详解】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.
【解析】椭圆的几何性质；圆的标准方程
15．已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线过坐标原点且与双曲线交于点，．若，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】由双曲线的对称性可知四边形是矩形，结合双曲线定义即可求出与，从而得出面积．
【详解】由双曲线的对称性可知，四边形的对角线互相平分且相等，
所以四边形是矩形．
设，，
则．
因为，
所以，
化简得，
所以四边形的面积为．
故答案为：
16．设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【详解】分析：设直线与轴的交点为，连接．由线段的中垂线过点，可得，所以．因为，由因为，所以．变形可得，进而可得，所以．根据椭圆的离心率，可得．
详解：
设直线与轴的交点为，连接，
∵的中垂线过点，
∴，可得，
又∵，且，
∴，即，
∴，，结合椭圆的离心率，得，
故离心率的取值范围是．
点睛：求圆锥曲线的离心率，应从条件得到关于的关系式．解题过程注意的关系．
（1）直接根据题意建立的等式求解；
（2）借助平面几何关系建立的等式求解；
（3）利用圆锥曲线的相关细则建立的等式求解；
（4）运用数形结合建立的等式求解．
四、解答题
17．（1）直线经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
（2）已知直线经过点，且原点到直线的距离等于，求直线的方程.
【答案】（1）或；
（2）或.
【分析】（1）根据已知条件联立方程组，求出交点坐标，再利用直线的截距式方程即可求解；
（2）利用直线的点斜式方程和点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，解得，
所以直线与的交点坐标为.
当直线经过坐标原点时，直线的方程为，即.
当直线不经过原点时，设直线的方程为，则
因为直线经过点，所以，解得,
所以直线的方程为，即.
综上，所求直线的方程为或.
（2）当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为，满足题意；
当直线的斜率不时，设直线的方程为，即，
因为原点到直线的距离等于，所以，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，所求直线的方程为或.
18．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．
(1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率．
【答案】(1)，平均分为；
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可计算出值，然后用每组区间的中点值乘以相应频率再相加可得平均值；
（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数，并编号，用列举法写出随机抽取的2人的所有基本事件，由概率公式计算概率．
【详解】（1）由频率分布直方图，，，
平均分为；
（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为，
抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为，
从这6人中任取2人的基本事件有：共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有共9个，所以所求概率为．
19．已知抛物线C：的焦点F与双曲线E：的一个焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段AB的中点M到准线的距离．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）先由双曲线的焦点，可得，解出即可求解;
（2）根据抛物线的定义可得，从而可得点M的横坐标，再根据抛物线的定义可求解.
【详解】（1）∵双曲线E：的焦点坐标为，
又抛物线（）的焦点，
∴，即.
∴抛物线C的方程为.
（2）设，，由抛物线定义，
知，
∴，于是线段的中点M的横坐标是1，
又准线方程是，
∴点M到准线的距离等于.
20．如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，．

（1）求椭圆的离心率；
（2）已知的面积为，求a，b的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用，求椭圆的离心率；
（2）设，则，利用余弦定理以及已知的面积为，直接求， 的值．
【详解】解：（1）
；
（2）设；则，在中， ，
面积
．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
21．已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切．
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于不同的两点，且为坐标原点，求三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆心在轴正半轴注设圆心坐标为，根据直线与圆相切得到，解方程得到，然后写圆的方程即可；
（2）设直线：，联立直线和圆的方程，根据韦达定理和列方程得到，然后利用几何法求弦长，利用点到直线的距离公式得到点到直线的距离，最后根据三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去），
所以圆的方程为.
（2）
设，，直线：，
联立得，
，解得，
所以，，，
因为，，，
所以，解得或（舍去），
所以直线：，圆心到直线的距离，
，点到直线的距离，
所以.
22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）设出椭圆方程，根据题意得出关于的方程组，从而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）根据题意设出直线方程，并与椭圆方程联立消元，根据直线与椭圆方程有两个不同交点，利用即可求出m的取值范围；
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，根据题意把所证问题转化为证明k1+k2=0即可.
【详解】（1）设椭圆方程为，由题意可得 ，解得， ∴椭圆方程为；
（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，，
所以设直线的方程为，
由消元，得
∵直线l与椭圆交于A，B两个不同点，
所以，解得，
所以m的取值范围为.
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可，
设，由（Ⅱ）可知，
则，
由，
而
，，
故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.