2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高二上学期期末模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高二上学期期末模拟数学试题

一、单选题

1．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．

【解析】等差数列与等比数列的性质．

2．已知等差数列的前n项和为，若，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】方法一：∵∴

∴

∴

，

方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，

故选:B

3．若曲线与曲线在交点处有公切线，则

A． B．0

C．2 D．1

【答案】D

【详解】分析：由曲线与曲线在交点出有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解．

详解：由曲线，得，则，

由曲线，得，则，

因为曲线与曲线在交点出有公切线，

所以，解得，

又由，即交点为，

将代入曲线，得，所以，故选D．

点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．

4．过抛物线焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段为直径的圆与直线相切，则直线l的方程为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【解析】当直线l垂直与x轴时，解得，以为直径的圆为与直线相离不符题意，当直线l的斜率存在时，设，

直线l的方程为，联立圆的方程，结合直线和圆的位置关系，即可得解；

另解：过A，B分别作准线的垂线．垂足分别为，，

则，所以以为直径的圆与直线相切，又以为直径的圆与相切，故圆的直径为17，所以．设直线，与抛物线方程联立，结合焦点弦公式以及直线和圆的位置关系，即可得解.

【详解】当直线l垂直与x轴时，解得，

以为直径的圆为与直线相离，

故直线不满足题意；

当直线l的斜率存在时，设，

直线l的方程为，

则化简得．

圆的半径为，

圆心到直线的距离为，

解得，故直线l的方程为或．

故选：B．

另解：过A，B分别作准线的垂线．垂足分别为，，

则，

所以以为直径的圆与直线相切，

又以为直径的圆与相切，

故圆的直径为17，所以．

设直线与抛物线联立得．

记，则，

∴．

又．

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了焦点弦公式，考查了直线和圆的位置关系，同时考查了利用韦达定理构建基本量之间的关系，有一定的计算量，属于较难题.

5．设，分别为双曲线C：的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M是的中点，且，，则双曲线的离心率为（    ）

A．5 B． C． D．4

【答案】A

【分析】根据几何关系，可知，再结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率.

【详解】点分别是线段和的中点，所以，因为，

所以，

因为，，解得：，，

，即，

解得：.

故选：A

6．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不妨设，由题意，可得，构造函数，则在上单调递增，从而有在上恒成立，分离参数转化为最值即可求解.

【详解】解：由题意，不妨设，

因为对任意两个不等的正实数，，都有，

所以，即，

构造函数，则，

所以在上单调递增，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

当时，因为，所以，

所以，实数的最小值为.

故选：B.

7．已知函数，函数，函数，函数，四个函数的图象如图所示，则的图象依次为（  ）

A．①②③④ B．①②④③ C．②①③④ D．②①④③

【答案】A

【分析】根据定义域、对称性与奇偶性，结合三角函数的图象性质判断即可.

【详解】由定义域中可知，图②为​.

由可知为奇函数，图③为​.

可得为偶函数，图④为​.

故而图①为​．

故选：A

8．2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，．

设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．均构成等比数列 D．

【答案】B

【分析】根据已知写出、、的通项公式且时，应用累加法求通项，进而判断各选项的正误.

【详解】据题意知：，

∴，A错误；

，

当时，，D错误；

∴，

由也满足上式，则，

所以不构成等比数列，C错误；

由上，，则，B正确.

故选：B．

二、多选题

9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间

C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值

【答案】ABC

【分析】利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断．

【详解】解：由函数导函数的图象可知：

当及时，，即在和上单调递减；

当及时，，即在和上单调递增．

所以的单调减区间为，，单调增区间为，，

在，处取得极小值，在处取得极大值，

故选：ABC．

10．下列说法中正确的有（   ）

A．设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线

B．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

C．双曲线与椭圆有相同的焦点

D．过作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有2条

【答案】BC

【分析】对于A，根据双曲线定义判断即可；对于B，解方程，根据椭圆和双曲线离心率范围判断即可；对于C，根据椭圆和双曲线焦点求法判断即可；对于D，画图判断即可.

【详解】对于A，设为两个定点，为非零常数，，且，则动点的轨迹为双曲线，故A错误；

对于B，方程，即的两根解得或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故B正确；

对于C，双曲线的焦点在轴上，，所以焦点为，

椭圆的焦点在轴上，，所以焦点为，故C正确；

对于D，抛物线开口向右，，过作直线，如图

过作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点的直线有和三条直线；故D错误；

故选：BC

11．下列结论正确的是（    ）

A．已知点在圆上，则的最小值是

B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数k的取值范围为

C．已知点是圆外一点，直线l的方程是，则l与圆相交

D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是

【答案】CD

【分析】A. 令，即，根据题意，由圆心到直线的距离求解判断；B.根据直线恒过定点（1,-1），求得判断；C.由点是圆外一点，得到判断；D.由圆与圆相交求解判断.

【详解】A. 令，即，因为点在圆上，则圆心到直线的距离，即，解得或，所以无最小值，故错误；

B.因为直线恒过定点（1,-1），则，因为 以为端点的线段相交，所以或，故错误；

C.因为点是圆外一点，所以，圆心到直线l的，则l与圆相交，故正确；

D. 圆，圆，圆心距为，因为圆上恰有两点到点的距离为1，所以两圆相交，则，解得，故正确；

故选：AC

12．数列满足，则下列说法正确的是（    ）

A．数列是等差数列 B．数列的前n项和

C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列

【答案】ABD

【解析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.

【详解】对选项A，因为，，

所以，即

所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.

对选项B，由A知：

数列的前n项和，故B正确.

对选项C，因为，所以，故C错误.

对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题.

三、填空题

13．两平行直线与间的距离为3，则___________.

【答案】或48

【分析】根据两条直线平行求出b,进而通过两条平行线间的距离求出c，最后求出答案.

【详解】∵，∴，

∴.

∴，解得或.

∴或.

故答案为：-12或48.

14．已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________．

【答案】

【分析】设,利用焦半径公式得到,设，写出垂直平分线方程，代入，化简得到值，最终求出的值.

【详解】取椭圆方程为，，直线方程为（椭圆右准线），

椭圆上点，右焦点，设点到直线的距离为d，

则

，

所以，

因为本题椭圆离心率:，设

由焦半径公式:得:,

即中点，，则垂直平分线斜率为

根据点在椭圆上，则有，，作差化简得，

则线段的垂直平分线方程为,代入得:

,即,则.

故答案为：.

【点睛】椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，，，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤.

15．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则的最小值为_____．

【答案】

【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来列方程组，得到与满足的关系式，将原式中的替换，再利用基本不等式求最小值即可.

【详解】曲线在点A处的切线可写作

设该切线在曲线上的切点为，

则有，消去t得

则

当且仅当，即时取得该最小值.

故答案为：.

四、双空题

16．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.

【答案】         

【分析】由题分析设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，进而求得等差数列基本量，最后带入前n项和求和公式求得九节总容量.

【详解】设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，即，，所以，，故

故答案为：；

【点睛】本题考查在数学文化中的等差数列求通项公式的基本量与前n项和，属于基础题.

五、解答题

17．在中，已知，，，，分别为边，的中点，于点.

(1)求直线的方程；

(2)求直线的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据给定条件求出点D，E坐标，再求出直线DE方程作答.

(2)求出直线AH的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.

【详解】（1）在中，，，，则边中点，边的中点，

直线DE的斜率，于是得，即，

所以直线的方程是：.

（2）依题意，，则直线BC的斜率为，又，因此，直线的斜率为，

所以直线的方程为：，即.

18．已知函数．

(1)求函数的图象在处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值与最小值．

【答案】(1)；

(2)最大值是，最小值是.

【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出在处的切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；

（2）利用导数求出函数的单调区间，从而得到函数的极值，再与区间端点处的函数值比较，即可得到函数在闭区间上的最值.

【详解】（1），

．

函数的图象在处的切线方程为：，

即．

（2）令，得与，

当x变化时，的变化如下表：

所以，与是函数在上的两个极值点，

而．

函数在上的最大值是，最小值是.

19．已知等差数列前项和为，，；数列是等比数列，且，，，成等差数列.

(1)求数列，的通项公式；

(2)若数列的前项和为，求的表达式.

【答案】(1)；；

(2)为偶数时，；为奇数时，．

【分析】(1)设公差为，设公比为，根据已知条件列出方程求出d、和q即可得到两个数列的通项公式；

(2)分n为偶数和奇数时，利用错位相减法求出数列的前项和为，从而求出的表达式．

【详解】（1）设公差为，

，

，

联立解得：，，；

设公比为，

、、成等差数列，

．

故，．

（2）令，则，

当为偶数时，

，

，①

，②

①－②得：，

，

当为奇数时，，

为偶数时，

，

为奇数时，

．

20．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．

(1)若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；

(2)求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．

【答案】(1)或

(2)证明见解析，

【分析】(1)根据条件得出圆心到直线的距离，设出直线的方程，解出的值即可求出直线方程；

(2)由题意可知过点、、三点的圆即以为直径的圆，利用得出圆的方程，将其与圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，整理解出定点坐标即可.

【详解】（1）因为，由垂径定理可知：圆心到直线的距离，

直线的斜率必存在，设方程为，即，

由点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离为，

解得或

所以直线的方程为或.

（2）因为点在直线上，设，，

过、、三点的圆即以为直径的圆，，则，

因为，，

所以

整理得，

所以经过、、三点的圆方程为：，

将方程与相减得两圆的公共弦方程：

，即，

由，解得： ，

所以两圆的公共弦过定点.

21．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.

【解析】（1）求出函数的导数，分为和两种情形，得出导数与0的关系，进而可得单调性；

（2）由（1）知显然不满足，当时，可得，分为和两种情形，判断其与0的关系，结合零点存在性定理可得结果.

【详解】解：（1）的定义域为，且，

当时，，此时，在上单调递增，

当时，，，

即在上单调递增，在上单调递减，

综上可知：当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）知当时，在上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意，

当时，在上单调递增，在上单调递减，

，

当时，，

函数至多有一个零点，不合题意；

当时，

由于，且，

由零点存在性定理知：在上存在唯一零点，

由于，且（由于）

由零点存在性定理知：在上存在唯一零点，

所以实数的取值范围是.

【点睛】利用导数研究函数的零点常见方法：

（1）求出函数的导数，结合单调性得到函数的大致图象，研究其与轴的交点；

（2）利用分离参数思想，分离参数研究函数的单调性.

22．如图所示，椭圆的左､右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，且定直线方程为.

【分析】（1）由题意可得出关于、的方程组，求得、的值，可求得的值，由此可求得椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出交点的纵坐标，进而可得出结论.

【详解】（1）由题意可得，解得，，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，

联立，消去并整理得，

，

由韦达定理得，.

易知点、，

直线的斜率为，直线的方程为，

直线的斜率为，直线的方程为，

由，可得，

其中，

，解得.

因此，点在定直线上.

【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了定直线的问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.