2024届上海市五爱高级中学高三上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市五爱高级中学高三上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，，则 ．
【答案】/
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
2．在复平面内，复数对应的点位于第 象限．
【答案】四
【分析】先根据复数的除法运算化简，再利用复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
故答案为：四
3．设，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】变形后用基本不等式即可求解
【详解】，
当且仅当即时取等
故答案为：
4．设等差数列的前项和为，若，，则 ．
【答案】/
【分析】设等差数列的公差为，进而根据题意列方程组求解，进而求通项公式即可.
【详解】解：设等差数列的公差为，因为，
所以，解得
所以
故答案为:
5．母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 ．
【答案】/
【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为，根据底面周长等于侧面展开图的弧长计算可得.
【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为，
又母线，底面半径
则，即，解得.
故答案为：
6．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是 .
【答案】
【分析】根据空间对称的知识求得正确答案.
【详解】点关于平面对称点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标相反，
所以点关于平面对称的点的坐标是.
故答案为：
7．在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
【答案】
【详解】①男女，种；
②男女，种；
③男女，种；
∴一共有种．
故答案为120.
点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
8．已知，直线，若，则与之间的距离为 .
【答案】
【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解即可.
【详解】由得，解得，
则直线，即
与之间的距离为
故答案为：
9．已知常数.在的二项展开式中，项的系数是项的系数的4倍，则 .
【答案】/0.5
【分析】通过展开式得出项和项的系数，利用等量关系建立方程，解方程组即可得出的值.
【详解】解：由题意，
在的二项展开式中，展开式为，
当即时，，
∴项的系数为
当即时，，
∴项的系数为
∵项的系数是项的系数的4倍
∴解得：
故答案为：.
10．已知A、B、C是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设的外接圆半径为，，由条件列关系式确定的关系，由此可求的最大值，由此确定的最大值.
【详解】因为A、B、C是半径为1的球面上的三点，过点A、B、C作球的截面，设截面圆的圆心为，半径为，设的中点为，则，因为，所以，设，则，，又，所以，所以，因为球的半径为1，所以，所以当时，取最大值，最大值为，所以的最大值为，
故答案为：.
11．若集合，，且，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析出集合的几何意义，利用圆与圆的位置关系列不等式，即可求解.
【详解】记圆，则集合表示圆及其内部；
记圆，则集合表示圆及其内部.
因为，所以圆与圆内切或内含，
所以，即，解得：.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
12．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 .
【答案】
【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.
【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，在区间递减，；
在区间递增，.
所以的解集.
故答案为：
二、单选题
13．如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（ ）
A．21B．21.5C．22D．22.5
【答案】B
【分析】根据中位数的知识求得正确答案.
【详解】个数据为，
所以中位数为.
故选：B
14．下面四个条件中，使成立的充分而不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】对于A：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立，故A错误；
对于B：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立，故B错误；
对于C：由，则，即由推得出，故充分性成立，
当，时满足，但是、均无意义，故必要性不成立，
所以是的充分而不必要条件，故C正确；
对于D：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立，故D错误；
故选：C
15．设，则用表示（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将转化为以5为底数的对数，然后结合换底公式计算即可.
【详解】由，所以
故选：B
16．已知函数，若函数恰有三个零点时，（其中，为正实数），则的最小值为（ ）
A．3B．7C．D．9
【答案】D
【分析】将函数写成分段函数的形式，利用导数判断出函数的单调性，根据函数的图象与零点的关系可得的值，最后由基本不等式即可得结果.
【详解】，
当时，恒成立，
∴在上单调递减，
∴，
当时，为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，
∴，即，
当时，恒成立，∴在上单调递增，
∴，
由此作出函数的草图如下所示，
由函数恰有三个零点，即与恰有三个交点，
所以，即，
又，，
所以
，
即的最小值为9，当且仅当，时，等号成立，
故选：D.
三、解答题
17．如图，已知四棱锥的底面是梯形，平面，
(1)求四棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用棱锥的体积公式求体积即可.
（2）构建空间直角坐标系，求直线的方向向量和面的一个法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求线面角.
【详解】（1）由题设，，又平面，
所以，即四棱锥的体积为.
（2）以为原点，射线分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，
则.
设是平面的一个法向量，则由，
得，取，得.
设直线与平面所成的角为，向量与所成的角为，
则，故
所以直线与平面所成角的大小为.
18．位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东
的C处，．在离观测站A的正南方某处E，.
(1)求；
(2)求该船的行驶速度（海里/小时）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据同角三角函数关系得，再根据，并利用两角差余弦公式即可求解；
（2）根据余弦定理求BC，再除以时间即可求解.
【详解】（1）解：由题意，，
，，
；
（2）解：利用余弦定理，解得，
所以该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，
所以该船的行驶速度（海里/小时）.
19．在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
(1)求，；
(2)若，，求．
【答案】(1)时，时
(2)
【分析】（1）根据等比中项的性质得到方程求出，从而求出通项公式；
（2）由（1）可得，令，分、两种情况分别求出，再解方程即可.
【详解】（1）公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
所以，即
解得或，
①当时，．
②当时，．
（2）因为，所以，
令，
①当时，，
所以，
所以．
②当时，，
所以，
，
，
．
故．
又，
且当时，
所以，则，
解得或（舍去）.
所以.
20．已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于A、B两点.
(1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；
(2)若直线过点且与圆相切，求弦长的值；
(3)若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交于P、Q两点，证明：直线PQ平行于.
【答案】(1)左焦点、右焦点，离心率；
(2)2；
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据椭圆方程求，结合焦点坐标和离心率的定义求解；(2)由直线与圆相切列方程求切线斜率，再利用设而不求法结合弦长公式求解，(3)由条件利用待定系数法求双曲线方程，联立方程组求交点，求出的坐标，再求方程，联立求坐标，求直线斜率，由此证明直线PQ平行于.
【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，因为椭圆的方程为，所以，
所以左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，离心率.
（2）圆的圆心为原点，半径为1，
当直线AB的斜率不存在时，因为直线AB过点，所以其方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆不相切，与条件矛盾，故直线AB斜率存在，因而设直线方程为，则.
联列方程：
，化简得，方程的判别式，设，，则，
所以，
即弦长的值为2；
（3）设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的
左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，
由题可知，所以，，故，
因而双曲线方程：，双曲线的渐近线方程为，
设，直线，
联立，，
同理，，
所以，，
设，
则，化简得，
所以
同理
所以
，所以
所以
，所以
因而
因而直线直线PQ.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21．已知定义域为的函数．当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”．
(1)判断函数是否为函数；
(2)是否存在实数，使得函数是函数？若存在，求实数的取值范围；否则，证明你的结论；
(3)已知，其中，证明：若是上的严格增函数，则对任意，都是函数．
【答案】(1)不是
(2)存在，；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到，根据单调性得到结论；
（2）令，分与两种情况，先得到时，严格增，根据时，要想严格增，得到，验证后得到函数为函数；
（3）根据是R上的严格增函数求出，再证明时，得到时，从而为函数.
【详解】（1）当时，不是严格增函数，
故不是函数；
（2）令，
当时，由，得，
令，，
则在上恒成立，故在上单调递增，
所以，
故此时，得，从而严格增.
当时，，后者严格增，
当且仅当，即，
又因为当时，，
从而上，严格增，
故为所求.
（3），
令，，
若“严格增”等同于（或），
当时，恒成立，故符合要求，
当时，，解得：，
当时，，等号成立当且仅当，
故在与上分别严格增，且当时，；
当时，.故此时也是R上的严格增函数.
综上：，
下设.则对任意，.
令，则.
当时，，等号成立当且仅当.
因，故同上可知，为上的严格增函数，且.
因而，当时，从而为函数.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.