2024届上海市上南中学高三上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市上南中学高三上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，，则等于 ．
【答案】
【分析】找出集合A和B中x范围的公共部分，即可确定出两集合的交集．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：
2．复数的实部为 ．
【答案】
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．
【详解】解：，
∴复数的实部为，
故答案为．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】解含绝对值符号的不等式即可得解.
【详解】不等式等价于，即，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
4．设向量，且，则 ．
【答案】/
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】，解得．
故答案为：.
5．已知复数是关于的实系数方程的一个根，则
【答案】4
【分析】由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解的值，由此即可求出结果．
【详解】因为复数是关于的实系数方程的一个根，
所以复数是关于的实系数方程的一个根，
所以，即，所以.
故答案为：.
6．已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，则 .
【答案】
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，进而根据二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【详解】因为角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，
所以，
所以．
故答案为：．
7．已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的性质求解．
【详解】由题意，解得，
故答案为：．
8．函数的极小值是 .
【答案】0
【分析】求出导函数，由其确定单调性得极小值．
【详解】由已知，得或，
当或时，，当时，，
所以在和上递增，在递减，
所以的极小值为．
故答案为：0.
9．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】构造函数，根据函数的单调性即可求出解集.
【详解】令，显然为严格增函数，
又，
故解集为．
故答案为：
10．设函数是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，并求出与的关系，列出不等式求解即得.
【详解】由函数是上的奇函数，且，得，
因此函数是以6为周期的周期函数，，
而，于是，又，则，解得或，
所以实数的取值范围是或.
故答案为：或
11．已知平面上两定点和，点为函数图象上的动点，为坐标原点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用三角换元，结合向量数量积的坐标表示与辅助角公式，将转化为关于的关系式，从而得解.
【详解】因为点为函数图象上的动点，，，
所以设 ，，则，且，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是．
故答案为：
12．正数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】变形给定不等式，构造函数求出的关系，再借助基本不等式求解即得.
【详解】由正数，满足，得，
于是，而函数在上单调递增，
显然不等式为，因此，即，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
二、单选题
13．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可.
【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误；
对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误；
对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得，
又，则，因为，所以，故D正确.
故选：D.
14．已知都是非零实数，集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据，进行赋值说明此时A≠B，然后根据“M⇒N，M是N的充分不必要条件，N是M的必要不充分条件”，进行判定即可．
【详解】解：∵
∴取a1＝1，a2＝﹣1，b1＝﹣1，b2＝1，A≠B
而A＝B⇒
∴“”是“”的的充分不必要条件
故选A．
【点睛】本题主要考查了以不等式为载体考查两集合相等的充要条件，以及赋值法的运用，属于基础题．
15．若函数是定义在上的偶函数，在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得.
【详解】函数是上的偶函数，在上是严格减函数，则在上是严格增函数，，
不等式化为：或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B
16．已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且B．且C．且D．且
【答案】C
【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.
【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，
当时，，，而，，
因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；
对于C，若，则，
若，则区间的长度，并且且，
即且与矛盾，所以C不可能.
故选：C
【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.
三、解答题
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点．
(1)证明：平面ACM
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，通过中位线性质得到，从而根据线面平行的判定定理得到平面；
（2）取中点,连接,，利用线面垂直的性质得平面，从而将题目转化为求的大小，再利用勾股定理求出，则得到，最后利用反三角即可表示出角的大小.
【详解】（1）连接，在平行四边形中，
因为为与的交点，
所以为的中点，
又为的中点,所以.
因为平面平面，
所以平面.
（2）取中点,连接,，
因为为的中点,所以,且,
由平面，得平面，
所以是直线与平面所成的角.
因为底面为平行四边形，且，，
所以，则，
在Rt中,,所以,从而，
因为平面,平面,，
所以在Rt中，，，
所以直线与平面所成角大小为.
18．在中，角，，所对的边分别为，，，，.
(1)若，求的值；
(2)的面积等于，求的值.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解即得.
（2）利用三角形面积公式、余弦定理列出方程组求解即得.
【详解】（1）在中，由正弦定理，得，
所以的值是.
（2）由的面积等于，得，解得，
由余弦定理，得，即，
解得或，
所以或.
19．为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：.
(1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？
(2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【答案】(1)车辆的平均速度为35千米/小时，最大车流量为12000辆/小时；
(2).
【分析】（1）利用函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最大值即得.
（2）利用给定条件，列出不等式并求解即得.
【详解】（1）当时，函数在上单调递增，当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，而，
所以车辆的平均速度为35千米/小时时，公路段的车流量最大，最大车流量为12000辆/小时.
（2）当时，，整理得，解得，则，
当时，，不等式化为：
，整理得，解得或，则，
所以汽车的平均速度应在范围内.
20．已知函数.
(1)当时，确定是否存在，使得的图象关于原点中心对称；
(2)对于任意给定的非零常数，的图象与轴负半轴总有公共点，求的取值范围；
(3)当时，函数的图象与图象关于点对称，若对任意：，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)存在，使得的图象关于原点中心对称；
(2)时，，时，；
(3)
【分析】（1）由求得值，然后检验其满足题意；
（2）总有负数解可得；
（3）转化为时，恒成立，再转化为新函数的取值范围，从而得参数范围．
【详解】（1）时，，若的图象关于原点中心对称，则，，
此时 ，
,是奇函数，图象关于原点对称，满足题意．
所以存在，使得的图象关于原点中心对称；
（2）由，因为，所以，
由题意，则，即，
所以时，，时，；
（3）当时，，
函数的图象与图象关于点对称，若对任意，恒成立，则对任意，恒成立，
时，，，
，则，所以．
21．设函数.
(1)当时，求在点处的切线方壁；
(2)当时，求的最大值；
(3)若存在两个零点，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）由题意利用导数的几何意义可求解；
（2）利用导数判断函数的单调性，结合单调性可求得的最大值；
（3）由（2）知为分类讨论的分界点，在各种情况下利用零点存在性定理找到零点所在的区间即可得解.
【详解】（1），，
，
当时，，
，
，，
所以在处的切线方程为：.
（2）当时，，，
，
令，，，
，函数在上单调递减，由，
，，即，
，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为.
（3），，
当时，有，即函数在上单调递减，所以函数至多一个零点，不合题意；
当时，令，即，
令，，在上单调递增，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，即函数单调递增，
当时，，即单调递减，
，
由（2）知，当时，此时，而，函数只有一个零点，不合题意；
当时，则，又，单调递增，所以，
取，，有，
先来证明，，
设，则，
当时，，即单调递减，则，即，
所以可得，则，故在上存在一个零点，1为函数的另一个零点，
即当时，函数存在两个零点；
当时，即，则，又，单调递减，
所以，取，，，
先来证明，当时，，
由上面， ，则，即单调递增，
则，即，等价于，
即，即，，则，
故函数在上存在一个零点，又1为函数的另一个零点，即当时，函数存在两个零点；
综上可知，当时，存在两个零点.
【点睛】思路点睛：本题第三小问属于利用导数研究函数的零点问题.
利用导数讨论函数的单调性，可得当时，存在隐零点，使得，根据单调性可得，由第二问得时，不合题意，由此分，讨论，除了满足，同时结合零点存在性定理找到零点所在的区间即可.