上海市上海财经大学附属北郊高级中学2023-2024学年高三下学期期中考试数学试题

这是一份上海市上海财经大学附属北郊高级中学2023-2024学年高三下学期期中考试数学试题，共17页。试卷主要包含了05，设为双曲线， 设平面向量、、满足， 给出下列结论等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．不等式的解集为 .
2. 若是直线的一个法向量，则的倾斜角为 .
3. 已知复数，则的值等于 .
4. 在中，角的对边分别为，若，则 .
5. 已知圆的面积为，则实数的值为 .
6.设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则 .
7. 已知，且，则函数的零点为 ．
8. 设平面向量、、满足：，，，，则的取值范围
为 ．
9. 给出下列结论： = 1 \* GB3 ①一组数据的第百分位数为； = 2 \* GB3 ②若随机变量，且，则； = 3 \* GB3 ③若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化．其中正确说法的序号为 .
10. 已知等差数列的前项的和为，且，，则正整数的值为 .
11. 已知，函数的图像关于直线对称，若由实数组成的集合有且仅有两个元素，则正整数 .
12. 棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 .
二、选择题（本大题共4题，满分18分.第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.）
13. 下左图是我国年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（ ）
A.我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B.这六年销量的第60百分位数为536.5万辆
C. 2020年销量高于这六年销量的平均值 D. 这六年增长率最大的为2019年至2020年
14．如上右图所示，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ）
A. B. C. D.
15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且在上的投影为，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. 3 C. 4 D.
16. 已知函数是定义为，给出下列两个结论：①当时，都有，则函数是上的增函数；②若函数满足，则该函数为奇函数或偶函数．则（ ）
A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知数列满足：，且，.
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求的值.
18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，
，是等边三角形，为线段的中点，．
（1）求证：；
（2）若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的
直播中有超过万人次的观看．
（1）已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率；
（2）若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为．
（ = 1 \* rman i）比较与的大小，其中；
（ = 2 \* rman ii）记，求.
20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为.
（1）若直线与轴相交于点，到直线的距离为，求；
（2）若，点为椭圆上的任意一点，设椭圆的上、下顶点分别为 ,记的面积为，的面积为,若,求的取值范围；
（3）若，过点的直线与椭圆交于两点（在的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．
21. （本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
定义 如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系.
（1）若，试判断函数和是否具有关系；
（2）若函数和不具有关系，求实数的取值范围；
（3）若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围.
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5. ６. 7.3.
8. 9. = 2 \* GB3 ② 10.
11. 已知，函数的图像关于直线对称，若由实数组成的集合有且仅有两个元素，则正整数 .
【答案】
【解析】由已知，所以，，
若，则，这时；若，则，这时；
若，则满足条件的整数大于等于，所以.
12. 棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 .

【答案】【解析】点的轨迹是以的中点为端点的线段，当三棱锥体积的最大时，点位于的中点，建立空间直角坐标系（如图所示），
则，设球心为，
于是 ，
所以.（也可以确定圆心后，再计算）
二、选择题
13.C 14.D 15.D 16. B
三、解答题
17. 【答案】（1） （2）
【解析】（1）由已知可得，
又，所以，所以，所以数列是等比数列，公比，
所以，，所以；
（2）
，
由，得，即，所以，所以.
18. 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）因为为等边三角形，为线段的中点，所以，又，因为四边形为直角梯形，，所以是平面上的两条相交直线，
所以，，所以；
（2）因为四边形为直角梯形，，
所以，过作，垂足为，
由，得，所以，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则 取，则，
，又，设直线与平面所成角为，
则，解得，即.
19. 【答案】（1）
（2）（ = 1 \* rman i）当时，；当时，.
（ = 2 \* rman ii）.
【解析】（1）由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为
；
所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为；
（2）（ = 1 \* rman i）由已知服从二项分布，所以，
当时，，所以，即；
当时，，所以，即.
（也可以用作差法比较大小）
（ = 2 \* rman ii）因为，所以或，当时，，
当时，，
.
20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为.
（1）若直线与轴相交于点，到直线的距离为，求；
（2）若，点为椭圆上的任意一点，设椭圆的上、下顶点分别为 ,记的面积为，的面积为,若,求的取值范围；
（3）若，过点的直线与椭圆交于两点（在的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由已知，因为，
所以到直线的距离，所以，所以，
又因为，所以，；
（2）当时，，则，
设，则，，
因为，所以，即，又因为，所以，
所以，所以，,
所以的范围是；
（3）显然点在椭圆外，设，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立消去，化简得，
则 由，
得，所以或，由，可得，
解得，
消去可得，
当直线的斜率不存在时，，
由，可得满足方程，
所以点直线，且位于椭圆的内部，设关于直线的对称点为，则 ，
又，所以，
当在椭圆内部，满足要求，所以的最小值为．
21. （本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
定义 如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系.
（1）若，试判断函数和是否具有关系；
（2）若函数和不具有关系，求实数的取值范围；
（3）若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围.
【答案】（1）具有 （2） （3）
【解析】（1）当时，由，
得，，
，
所以函数和图像上分别存在点和关于轴对称，故和具有关系.
（2）由，得，，
，，，
其中，因为可取一切实数，所以，
所以方程有解的充要条件为，
即，，所以，
所以函数和不具有关系时，
实数的取值范围为；
（3）令，则.
函数和在上具有关系，等价于 在上存在零点；
函数和在上不具有关系，等价于在上不存在零点.
1°当，且时，因为，所以，
所以在上是严格增函数，且；此时在上不存在零点，
即函数和在上不具有关系.
2°当时，显然当时，，当时，因为在是严格增函数，且，，故在存在唯一零点，
设为，即；且当，；当，，
所以在上存在唯一极小值点，所以在上是严格减函数，在上是严格增函数， 因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点，所以函数和在上具有关系.
综上所述，若函数和在上具有关系，
则实数的取值范围为.