【期中真题】上海市上海中学2023届高三上学期期中数学试题.zip

上海中学 2022-2023 学年度第一学期

高三年级期中考试数学试卷

2022． 11

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．

2．本试卷共有道题，满分分，考试时间分钟

一、填空题

1. 函数的单调递增区间是__．

【答案】

【解析】

【分析】根据复合函数定义域，单调性进行求解.

【详解】由题知，

所以，

所以 或

因为在上单调递减，在 上单调递增，

又因为 在 上单调递增，

所以由复合函数单调性可知的单调递增区间是.

故答案为：.

2. 若，则          ．

【答案】

【解析】

【详解】∵，∴，∴.

考点：对数的计算

3. 设，，，，求的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】把用和表示，然后由不等式的性质得出结论．

【详解】令，

则，解得.

∵，，

∴．

即，

所以的取值范围是

故答案为：.

4. 设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：．

考点：导数的运算．

5. 已知实数、、满足，，则的最大值为_______.

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：因为，所以，

所以，

所以，

由，解得，

故实数的最大值为.

考点：一元二次方程的根的判别式，容易题.

6. 已知函数的图象关于垂直于轴的直线对称，则实数的值是__．

【答案】或7或

【解析】

【分析】利用绝对值不等式以及对称性求解.

【详解】考虑每个绝对值的端点，分别为，则这三个端点必关于垂直于轴的直线对称，所以或或，所以或7或．

故答案为：或7或.

7. 已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__．

【答案】9

【解析】

【分析】由已知，的最小值为0，可得到的关系.由的解集为，可得对应一元二次方程的两根之差为6，根据韦达定理可得关系式，两式联立，即可求得的值.

【详解】因为函数的值域为，

所以的最小值为0，

即，则，

不等式的解集为，即解集为，

则的两个根、分别为、，

所以两根之差为，

由韦达定理得，，

因为，

将代入得， ，解得．

故答案为：9.

8. 下列命题中错误的是__．

①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；

②在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；

③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病．

【答案】①②③

【解析】

【分析】根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以①错误；

对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，所以②错误；

对于③，由独立性检验得，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误，所以③错误．

综上，错误命题序号是①②③．

故答案为：①②③.

9. 已知，，则的最小值_________.

【答案】20

【解析】

【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值.

【详解】令，则，

去分母化简得：，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立．

故答案为：20

10. 已知函数，，若对任意的实数，均有，则实数的取值范围是__．

【答案】

【解析】

【分析】由已知可得，需满足，即需求出的最大值和的最小值，得到不等式，即可解出的取值范围.

【详解】由于对任意的，均有，因此，

当时，，而，当且仅当时，等号成立，

因此，

当时，，，当且仅当时，等号成立，此时，，

所以，.

对，由已知，在上最大值为；在时单调递减，所以有满足.

所以要使成立，只需满足

所以，则实数的取值范围是．

故答案为：.

11. 已知集合，其中且，记，且对任意，都有，则的值是___________.

【答案】或

【解析】

【分析】根据两端区间和的关系分三种情况讨论：在左边，在和之间，在右边三种情况，根据单调性可得的值域，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可.

【详解】①当时，区间在的右侧，且在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故，代入可得，此时

②当，即时，在和之间.因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，即，因为，故.因为此时在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，满足，此时

③当，即时，在右边.此时在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故，代入可得，不满足.

综上所述，有或

故答案为：或

【点睛】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题.

12. 已知函数，若关于方程在上有解，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】设函数在上的零点为，则由，则在直线上，则可看作是到直线的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案

【详解】解：设函数在上的零点为，则，

所以点在直线上，

设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方，

所以，，

设，设，

则，所以在上单调递减，

所以，

所以即，所以的最小值为，

故答案为：

二、选择题

13. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再根据指数函数的性质求出集合，再根据交集的定义计算可得；

【详解】解：由，即，解得，

所以，

由，即，解得，

所以，

所以；

故选：C

14. 已知实数、，那么是的（    ）条件．

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充要 D. 既不充分也不必要

【答案】D

【解析】

【分析】等式两边平方结合反例即可判断.

【详解】因为，

所以必要性不成立；

当时，满足，但，所以充分性不成立；

所以是的既不充分也不必要条件.

故选:D．

15. 已知与之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【详解】b′＝2，a′＝－2，由公式 ＝求得．

＝，＝－＝－×＝－，∴ <b′，>a′

16. 对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是（    ）

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，推出为破晓集相矛盾，再证满足要求，当时，，可以分成2个破晓集的并集去证明，当时，去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案.

【详解】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，

假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，使．不妨设，则由于，所以，即，

同理可得，，．又推出，但，这与为破晓集相矛盾，

再证满足要求，当时，，

可以分成2个破晓集的并集，

事实上，只要取，，

则和都是破晓集，且．当时，集合中，除整数外，

剩下的数组成集合，可以分为下列2个破晓集的并：，

当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，

可以分为下列2个破晓集的并：，

最后，集合中的数的分母都是无理数，

它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，，

则和是不相交的破晓集，且．

综上，的最大值为14.

故选：B．

【点睛】思路点睛：先证当时，不能分成两个不相交破晓集的并集，利用反证法推出为破晓集相矛盾，再证满足要求去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题..

三、解答题

17. 已知函数f(x)＝3x＋k·3－x奇函数．

(1)求实数k的值；

(2)若关于x的不等式f()＋f()<0只有一个整数解，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据题意奇函数，从而可知对任意恒成立，从而即可求得的值；（2）利用（1）中的结论以及的单调性，可将不等式等价转化为，再有题意只有一个整数解，即可得到关于的不等式，从而求解．

试题解析：（1）显然的定义域为，又∵是奇函数，

∴对一切实数都成立， ∴；

（2）易得为上的单调递增函数，又由是奇函数，∴

，

当时，显然不符合题意，当时，由题意不等式的解只有一个整数，从而可知不等式的解为，∴该整数解为1，∴，即实数的取值范围是．

考点：1．奇函数的性质；2．不等式的性质．

【思路点睛】若已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值，此外将函数的单调性、奇偶性、周期性等性质放在几个函数中进行综合考查，是近几年高考中对函数考查的新特点，本题涉及了二次函数、指数函数等．只要能够熟练掌握基本初等函数的性质、图象特征，此类问题就很容易解决．

18. 已知关于的不等式的解集为，集合．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）；

【解析】

【分析】(1)(2)由集合的包含关系转化为一元二次方程根的分布问题进行讨论即可.

【小问1详解】

由题意得，同时注意，

所以或，解得；

【小问2详解】

在上恒成立；

同时注意当时，对称轴，

所以或或，

解得．

19. 1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．

（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；

（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．

【答案】（1）当时血液中药物的浓度最高，最大值为6   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；

（2）讨论和两种情况，

【小问1详解】

当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为

①当时，．

②当时，因为（当且仅当时，等号成立），

所以．

故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．

【小问2详解】

由题意得

①当时，，

设，则，，则，故；

②当时，，

由，得，

令，则，，则，故．

综上，．

20. 如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”．

（1）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的函数解析式；

（2）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图象与直线有2023个公共点，求实数的值；

（3）已知函数具有“性质”，当时，，若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）

【解析】

【分析】（1）设，则，由题意可得，代入即可得解；

（2）利用数形结合，函数的图象与过原点的直线有2023个公共点，结合周期性求解即可；

（3）根据分析可得，令，若有8个不同的实数解，则，两个大于3的根，利用一元二次方程结合根的判别式即可得解.

【小问1详解】

因为函数具有“性质”，所以恒成立，

所以，设，则，

所以；

【小问2详解】

既具有“性质”，即，所以函数偶函数，

又既具有“性质”，即，

所以函数是以2为周期的函数．作出函数的图象如图所示：

由图象得当时，函数与直线交于点，

即有无数个交点，不合题意．

当时，在区间上，函数有1011个周期，

要使函数的图象与直线有2023个交点，

则直线在每个周期内都有2个交点，且第2023个交点恰好为，

所以．同理，当时，．

综上，；

【小问3详解】

当时，，

当且仅当时取等号，

函数具有“性质，则，

所以当时，，

则，当且仅当时取等号，

若有8个不同的实数解，令，

则有两个大于3的根，所以，

所以．所以的取值范围为.

21 已知实数，函数．

（1）当时，过原点的直线与函数相切，求直线的方程；

（2）讨论方程的实根的个数；

（3）若有两个不等的实根，求证：．

【答案】（1）；   

（2）答案见解析；    （3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求曲线过某点处的切线方程，设切点，根据导数的几何意义表示出关系即可解出；

（2）方程等价于，通过变换构造函数，对函数进行分析，转化为分析函数的零点情况；

（3）根据（2）的结果，知，设两根为，解决指对有关题目时，常借助构造函数.

【小问1详解】

当时，，设切点为，，

因为切线过原点，所以，得，所以直线的方程为.

【小问2详解】

即讨论的实根的个数，，

即，所以，

设，则，

时 ，；时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

由题意得，即，

当时，，当时，；当时，

此时，

设，

在上单调递增，上单调递减，，

当时，，无解，即无解；

当时，，有1解，即有1解；

当时，则，

令，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

，所以，

由零点存在定理，有2个零点，即有2个解；

综上，当时，有1个零点；

当时，有2个零点；当时，有0个零点.

【小问3详解】

由已知可得，有两个不等的实根，由（2）得，

由于单调递增，所以的两个不等的实根，

即等价于的两个不等的实根，所以，

不妨设，令，则，所以，

所以，要证，

即证，

即证，

即证，

即证，

令，则，

所以在单调递增，所以，证毕．

【点睛】用导数解决复杂的函数零点问题时，常用到同构函数，即将原式等号两端构造为相同的形式，然后进行多次求导简化函数，另外要注意对参数进行分类讨论，从而解决问题.