2024届上海市曹杨中学高三上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市曹杨中学高三上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．若集合，，则
【答案】
【分析】计算出，从而求出交集.
【详解】，故.
故答案为：
2．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】把分式不等式等价转化为一元二次不等式，由此求得原不等式的解集．
【详解】解：不等式等价于，解得，
故答案为：．
3．二项式的展开式中的常数项是 .
【答案】
【分析】利用二项式的通项公式，即可求出结果.
【详解】二项式的通项公式为，
由，得到，所以二项式的展开式中的常数项是，
故答案为：.
4．若，则 .
【答案】/-0.8
【分析】根据诱导公式化简求值即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
5．某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为 ．
【答案】1
【分析】设圆柱底面半径为，高为，求出底面积的侧面积，即可得结论．
【详解】设圆柱底面半径为，高为，
由题意，所以，即．
故答案为：1．
6．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：）
56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 67 68 70 73 74 83
据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为 .
【答案】68
【分析】利用百分位数求法即可求出结果.
【详解】因为，又数据从小到大第13个数是68，
所以第75百分位数为68，
故答案为：68.
7．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用通项和前n项和的关系可求的通项公式.
【详解】，整理得到，
故答案为：.
8．已知，，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据条件，利用重要不等式即可求出，从而得出结果.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
所以，
故答案为：.
9．若过点的直线与抛物线恰有一个公共点，则直线的方程为 .
【答案】或或
【分析】根据图像易知直线的斜率不存在或为0时，满足题意，当斜率不存在时，设出直线程，联立，消得到，再利用即可求出结果.
【详解】如图，当直线的斜率不存在或为0时，显然满足题意，此时直线的方程为或，
当直线斜率存且不为0时，设直线的方程为，
由，消得到，整理得到，
由，得到，即，此时直线方程为，即，
故答案为：或或.
10．已知，实数，，函数的部分图像如图所示，若该函数的最小正零点是，则 .
【答案】2
【分析】根据函数图象得到，再根据该函数的最小正零点是，由求解.
【详解】解：由图象知：，因为该函数的最小正零点是，
所以，则，即.
故答案为：2
11．已知关于的方程的两个根为、，且在区间内恰好有两个正整数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，对称轴为，先通过大概确定的范围，进而可确定对称轴的位置，再通过可得实数的取值范围.
【详解】解：设，对称轴为，
由已知有：，则，
则y＝f（x）的对称轴方程为：∈，
由在区间上恰好有两个正整数，
则，解得：，
即实数a的取值范围是，
故答案为：.
12．已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立如图所示坐标系，不妨设，由题意，可知，记，，则，求出点的轨迹方程，由的几何意义可得即为点的轨迹上的点到点的轨迹上的点的距离，从而可得出答案．
【详解】解：建立如图所示坐标系，
不妨设，
由知，点在直线或上，
由题意，可知，
记，，则，
由定弦所对的角为顶角可知点的轨迹是两个关于轴对称的圆弧，
设，则，
因为，
即，
整理得或，
由对称性不妨只考虑第一象限的情况，
因为的几何意义为：圆弧的点到直线上的点的距离，
所以最小值为，
故．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，利用坐标法求出动点的轨迹，再结合解析几何的知识求出向量模的取值范围.
二、单选题
13．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过变形得到，，，再利用集合间包含关系的判断方法即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以，
因为，则，而为奇数，所以，
故选：C.
14．设、，若（为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】分析可知实系数一元二次方程的两个虚根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，即可得解.
【详解】因为是实系数一元二次方程的一个虚根，则该方程的另一个虚根为，
由韦达定理可得，所以.
故选：C.
15．折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则､d和所满足的恒等关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先用表示出d和，进而求得的值.
【详解】过点O作于D，则，
则，
则
故选：A
16．已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）
【答案】C
【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.
【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；
如图（2），直线到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；
如图（3），直线所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，
综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.
【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.
三、解答题
17．在中，角 的对边分别是 ，．
(1)求C；
(2)若，的面积是，求的周长．
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）将化为，由余弦定理即可求得角C.
（2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案.
【详解】（1）由题意在中，，
即，故 ，
由于，所以.
（2）由题意的面积是，，即 ，
由，得，
故的周长为.
18．如图，在直三棱柱中，点，分别为和的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】(1) 取的中点，连结，,可得四边形为平行四边形，所以，从而得证.
（2）先求出，由条件可得平面，进而可得，求出，由等体积法有，求出答案.
【详解】（1）证明：取的中点，连结，(如图)
∵，
∴，
由棱柱的性质知：，
又
∴，
∴四边形为平行四边形，所以
∵平面，平面
∴平面
（2）设点到平面的距离为
∵是的中点，且，
∴
由平面及直棱柱的性质知，到平面的距离为
∴
由直棱柱的性质知：，
又，且
∴平面
又平面故
∴
∵
∴
【点睛】本题考查线面平行的证明和点到面的距离，考查逻辑思维能力，属于中档题.
19．某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报后立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁森林损失费为60元.
(1)设派名消防员前去救火，用分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式，并求出的取值范围；
(2)问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）
【答案】(1)与的函数关系式为，的取值范围为
(2)27
【分析】（1）根据题意可直接得出，从而可求出的取值范围；
（2）根据题意得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）由题意知，，即，
易知，所以与的函数关系式为，的取值范围为.
（2）设总损失为，则，
当且仅当，即时，有最小值,
所以应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少.
20．已知椭圆：的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于不同的两点.
（1）若直线经过，求的周长；
（2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）.
【分析】（1）由椭圆定义知所求周长，由此得到结果；
（2）当直线斜率不存在时，易知；当直线斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由，利用平面向量数量积的坐标运算可构造方程求得，得到直线方程；综合两种情况可得结果；
（3）当直线斜率不存在时，可得坐标，由此可确定的取值；当直线斜率存在时，由得，利用可得与的关系，借助的范围可得的范围，解不等式可求得的取值范围；综合两种情况可得结果.
【详解】（1）由椭圆定义知：，
则的周长.
（2）当直线斜率不存在时，直线，设，，
则，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，，，
联立直线与椭圆得：，
，解得：，
则，，
又，，
，
即，
，解得：，满足，
直线的方程为：或；
（3）①当直线斜率不存在时， 直线，
若，，则，，，此时；
若，，则，，，此时；
②当直线斜率存在时，设直线，，，
又，即，故，
由（2）知：，即
，
又，故，，，
即，或；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
④化简所得函数式，利用函数值域的求解方法求得取值范围.
21．已知函数，函数是区间上的减函数.
(1)求的最大值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围；
(3)讨论关于的方程的根的个数.
【答案】（1） （2） （3）见解析
【详解】【试题分析】（1）运用导数与函数的单调性之间的关系，将问题单调性问题进行等价转化为不等式恒成立问题进行求解；（2）先求函数再构造函数进行求解；（3）先构造函数，再将问题 转化为求函数的最大值与函数的最小值，借助题设条件建立不等式进行分析求解：
解：
(1)
又 在 上单调递减 在恒成立
故 的最大值为
(2)
只需 在上恒成立，
令 ，则需
又恒成立 所以
(3) 令 ，

所以当 时， ， 单调递增； 当时，，即单调递减.所以
又
当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个解；当，即时，方程有两个解.