上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共6页。试卷主要包含了10，设a∈R，设ω>0，，已知m为非零常数，求动态平衡时，两企业各自的产量等内容，欢迎下载使用。
一.填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1.设a∈R.若(a-2i)(1+i)为纯虚数(i为虚数单位)，则a=__________
2.函数的定义域为__________
3.某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为__________
4.设m∈R，若圆.x2+y2-4y+m=0的面积为π，则m=__________
5.在无穷等比数列中，首项(a1=1，公比.记，则.
6.设ω>0，.若函数，的最大值为1，但最小值不为-1，则ω的取值范围是__________
7.已知m为非零常数.若在的二项展开式中，x3的系数是的系数的8倍，则m=__________
8.设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为__________
9.设， ，则不等式的解集为__________
10.已知△ABC是边长为6的等边三角形，M是△ABC的内切圆上一动点，则的最小值为__________
11.若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”.在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有__________个
12.设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线l经过点F2，且与Γ交于P、Q两点.若PF1⊥PF2，且|F2Q|=1，则Γ的长轴长的最小值为__________
二.选择题(本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)
13.已知x∈R，则“ (k∈Z)，是“csx=0”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
14.若、，且αsinα>βsinβ，则()
A.α>βB.αβ2D.α20，上式即.
由于A为三角形内角，解得.
(2)在△ADC中，由余弦定理得，故.
再由余弦定理，得.
因此.
19.(1)设甲企业的产量为x万台，利润为万元，
则.
故当且仅当x=45时，取最大值1965.
因此当甲企业的产量为45万台时，其获得的利润取最大值1965万元.
(2)设乙企业的产量为x万台，利润为万元，
则
故当且仅当时，取最大值.
因此当乙企业的产量为万台时，其获得的利润取最大值万元.
(3)设甲、乙两企业的产量分别为a万台和b万台，利润分别为P1万元和P2万元，则，
当P1最大时，有. ，
当P2最大时，有，由于达到动态平衡，故，∴.
因此动态平衡时，甲、乙两企业的产量均为30万台.
20.(1)设双曲线的半焦距为c.由题意知a=1，c=ea=2.
故b2=c2-a2=3，因此.
(2)由题意知.设直线，
与双曲线方程联立得.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则，
故直线AP、AQ的斜率之积为
=.
(3)由题意知，得.
设，则.
即.
由于，上式即，解得.
利用(*)式，得，
因此存在定点满足题目要求.
21.(1)由题意知函数的定义域.，且.
对任意的.x1、x2∈D，都有，因此.
(2)设“正交点”是曲线在x=x1与x=x2处切线的交点.
由于，故曲线在x=x1与x=x2处的切线方程
分别为与.
将两直线方程联立，解得.
由于曲线在x=x1与x=x2处的切线互相垂直，有2x1⋅2x2=-1，即.
因此为定值，即点P在定直线上.
(3)即过曲线上任意一点
均无法作曲线的两条互相垂直的切线.
设曲线在x=t处的切线经过点P，则有.
将代入上式，并移项整理、因式分解得，
解得t=x0或.当两条切线垂直时，有，
整理得，题目条件即上述关于x0的方程无解.
令，则，
且关于m的方程m2-a2m+4=0在区间上无解.
令，则的对称轴为，
因此在区间上无零点即Δ=a⁴-16