2024届上海交通大学附属中学高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届上海交通大学附属中学高三上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知，则 ．
【答案】
【分析】解一元一次不等式得，再由集合交运算求集合.
【详解】由题设，故.
故答案为：
2．等差数列的前n项和为，若，，则公差 ．
【答案】
【分析】利用等差数列前n项和公式及等差中项、通项公式得，即可求公差.
【详解】由，则.
故答案为：
3．复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则 ．
【答案】
【分析】应用复数的加减运算求、，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求目标复数的模即可.
【详解】由题设为实数，故，
，故，
所以.
故答案为：
4．已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是： ．
【答案】
【分析】根据题意便知，从而根据条件进行数量积的运算便可得出，解该不等式，剔除夹角为零的情况，便可得出的取值范围.
【详解】解：与夹角为锐角时，；
解得；
当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去；
∴实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式，此题容易漏掉考虑向量同向的情况.
5．已知，函数的定义域为．若为奇函数，则的严格增区间为 ．
【答案】和
【分析】由奇函数的性质求出，则，对求导，令，解方程即可得出答案.
【详解】因为为奇函数，
所以，
所以，
即，所以，
因为，所以，则，
，
令，则或，
解得：或.
故答案为：和
6．已知（是的导函数），则 ．
【答案】
【分析】对原函数求导，代入求得，即得函数解析式，最后求函数值即可.
【详解】由题设，则，
所以，则.
故答案为：
7．有一个空心钢球，质量为，测得外直径为5，则它的内直径是 （钢的密度为7.9，精确到0.1）
【答案】4.5
【解析】直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果．
【详解】解：设钢球的内半径为，
所以，
解得．
故内直径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
8．已知直角坐标平面内有三个定点，，，动点满足．若，则点横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据定义判断动点在椭圆上，并求出椭圆方程，然后利用两点间距离即可求解.
【详解】由题知，点在椭圆上，
设椭圆方程为，
则，，
所以椭圆方程为，
设点，
则
，
因为，
所以，
解得，
又点在椭圆上，
所以.
故答案为：
9．过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线的倾斜角为 ．
【答案】或
【分析】根据题意画出图形，根据抛物线的定义和相似三角形列出比例式，再利用直角三角形的边角关系求出直线的倾斜角.
【详解】如图所示，
由抛物线的焦点为，准线方程为，
分别过A，B作准线的垂线，垂足为，，直线l交准线于，如图所示：
则，，，
所以，，
所以，即直线l的倾斜角等于，
同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为.
故答案为：或
10．若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】原不等式等价于，，设，，然后转化为函数图象的交点结合图象可求．
【详解】原不等式等价于，，
设，
所以，
令，得．
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
又，时，，
因此与的图象如下，
当时，显然不满足条件，当时，只需满足，
解可得，．
故答案为：．
11．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，集合，在中任取两个元素、，则的概率为
【答案】
【分析】先以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，得到各顶点坐标，列举出集合中所有元素，以及满足条件的组合，根据古典概型的概率计算公式，即可求出结果.
【详解】以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正六边形的边长为，
所以易得：、、、、、，
因此，，，，，，，，，，，，，，，，，；
共个向量.
因此中含有个不同的元素.
又在中任取两个元素、，满足的有：与或；与或； 与或；与或；与或；与或； 与或；与或；与或；与或；与或；与或；共种选法，又由、的任意性，因此满足的情况共有：种；
又在中任取两个元素、，共有种情况；
因此，满足的概率为：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.
12．已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点P为空间一点，满足且，则最大值为 ．
【答案】/
【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴,建立空间直角坐标系，由坐标表示得，结合不等式的性质进行求解.
【详解】因为、，，平面，
所以平面，以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为、、为空间中三个单位向量，与夹角为，即，则，，，即，，，
设，则，
因为，
所以，
所以且，
所以，即，
当时，解得；当时，解得；
所以，即，
，解得，
故，
则最大值为.
故答案为：.
【点睛】空间向量数量积的最值问题，可以根据所给向量的关系，直接列出方程或不等式关系，也可以建立适当的空间直角坐标系，利用坐标运算找到代数关系，借助基本不等式或函数思想解决；
二、单选题
13．“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据二项展开式通项依次判断充分性和必要性即可.
【详解】展开式的通项为：；
当时，取，则，故充分性成立；
当时，展开式中存在常数项，如，故必要性不成立；
所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件.
故选：A.
14．若且a、b均不为1，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对应的指对幂函数在上单调性判断A、B、C；由对数函数的性质研究时的大小判断D.
【详解】由，则在上递增，而，故，A错；
在上递减，而，故，B对；
在上递减，而，故，C错；
当时，，D错；
故选：B
15．等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据题意结合等比数列求和公式可得，再结合无穷等比数列和公式运算求解.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，不合题意；
若，则，解得；
综上所述：.
所以.
故选：D.
16．已知点在函数的图像上，若过点A的切线与函数的图像有n个公共点（含切点），称a是的“n关键点”．研究归纳得到了下面的命题：
①全体“1关键点”构成的集合是．
②集合中的元素都是2关键点．
③若是“关键点”，则也是“关键点”
④若，则一定是“关键点”．（其中表示不超过x的最大整数）
其中，真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】求得全体“1关键点”构成的集合判断①；验证法判断②；利用正弦曲线的性质判断③；利用导数和正弦曲线的性质判断④.
【详解】① “1关键点”指的是过点的切线与函数的图像有
1个公共点（含切点），则称a是“1关键点”.因此点A是函数
与x轴的交点，因此全体“1关键点”构成的集合是.判断正确；
②作出过点的切线，
则该切线与有2个公共点（含切点），
因此2是的2关键点“2关键点”.
由正弦函数的周期为，对称轴为，则集合中的
元素都是2关键点．判断正确；
③若是“关键点”，由为奇函数可得，也是“关键点”，
又的最小正周期为，且每个周期内都有两条对称轴，
则也是“关键点”.判断正确；
④当，
若，则，符合要求，
过点的切线与函数的图像有
1个公共点（含切点），则0是“1关键点”.
此时，判断正确；
若，则为第一或第三象限角，
位于的图像的递增区间，且，

由，可得，则处切线斜率为，
又，则,
则切线斜率与过与原点两点的斜率相等，则该切线过原点，
则该切线与的公共点的个数为，
（其中表示不超过x的最大整数）.
同理可得时，判断正确.
故 一定是“关键点”．（其中表示不超过x的最大整数）.
故选：D
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与函数，解析几何相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)考查数形结合思想的应用．
三、解答题
17．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30分钟从该生产线上随机抽取一个零件并测量其尺寸（单位：毫米）下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
(1)绘制此次抽样测量的零件尺寸茎叶图；
(2)监控手册规定，如果抽样的产品的尺寸均落在区间中，则判定当日产品全部合格；否则需从当日的全部产品中重新抽取16件产品进行检验，根据检验员抽样测量的数据，计算抽样零件的平均数与标准差s．并根据监控手册判断当日检验员是否需要重新检验?（所有答案均按四舍五入精确到0.001毫米）
【答案】(1)答案见解析
(2)需要重新检验，理由见解析
【分析】（1）根据茎叶图绘制即可；
（2）根据数据计算零件的平均数与标准差s，求解区间即可判断结论.
【详解】（1）根据表格数据列得零件尺寸茎叶图如图：（单位：毫米）
.
（2）抽样零件的平均数为：，
标准差为：
，
则区间为：，
数据不在该区间内，并根据监控手册判断当日检验员需要重新检验.
18．在中，角，，的对边分别是，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求和的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)根据二倍角公式可得，进而得到角的大小；(2)由余弦定理得到，配方得到，结合题干条件解方程组，得到最终结果.
【详解】（1）
由二倍角公式得到，
化简得到，
.
（2）根据余弦定理得到
配方得到：
解得：或.
19．高三新教学楼启用后，从一些教室窗口就能看到殷高路对面居民房平改坡后的屋顶（如图）．其中是屋脊线，是屋檐线，是屋顶坡面，是一个与水平面垂直的带气窗的竖直面，是气窗屋顶的屋脊线且与竖直面垂直．
小张和小王对屋顶进行研究，提出了下面一些假设：
①两条屋脊线与互相垂直且都与水平面平行；
②气窗屋顶的两个坡面与互相垂直且与水平面的所成角相等；
③屋顶坡面与水平面所成角为．
(1)小张认为还需假设屋脊线与带气窗的竖直面是平行关系．而小李认为前面的假设已经够了，不需要再提出这个假设．请你判断哪位同学正确？证明你的判断．
(2)根据小张和小王的假设，试求气窗屋顶的一个坡面与屋顶坡面构成的阴脊线（是平面与平面的交线）与水平面所成角的大小．（用反三角函数表示）
【答案】(1)不需要，证明见解析;
(2)
【分析】（1）通过证明垂直于同一条直线的两平面互相平行即可；
（2）转化为三棱柱被斜面截去一部分即可求.
【详解】（1）不需再提假设.
在水平面上分别取的射影，
连接，
则四点共面，又水平面，平面水平面，
则，同理，又，所以，
又水平面，水平面，则，
，平面，则平面，
即平面，又平面，则平面平面，
因为平面，则平面.
（2）把气窗脱离出来，即三棱柱被斜面截到的部分即多面体
则屋顶坡面即为平面，如图，
则平面水平面，分别取中点，连接，
过作，交于，连接，
则平面，平面，则，
又，即，，
平面，则平面，
又平面平面，
则为屋顶坡面与水平面所成角为，
在中，设，则，
则在等腰，，则，
在，，
则在，，
又平面，则为在平面的射影，
则为与水平面所成角，
则，
则与水平面所成角为.
20．在平面直角坐标系中，已知， ，动点满足，动点的轨迹记为.
（1）求曲线的方程；
（2）若点也在曲线上，且，求的面积；
（3）是否存在常数，使得对动点恒有成立？请给出你的结论和理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在满足题意，证明见解析.
【分析】（1）根据双曲线定义，结合焦点坐标，写出双曲线方程；
（2）设，根据条件写出，代入双曲线方程，解得两点坐标，从而求得面积；
（3）不妨设在第一象限，则，，设，表示出斜率，，证得，从而.
【详解】（1）根据定义动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线右支，故曲线右支的方程为
（2）设，则且，故
因为，均在曲线上，所以
当时，，的面积为；
当时，，的面积为；
综上，的面积为
（3）当时，易知，，若存在，则.
不妨设在第一象限，则，，
设，则，，
即，综上，存在满足题意.
21．已知．
(1)求函数的极值；
(2)求证：对任意正整数n，有；
(3)记，求整数a，使得．
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用导数求函数的极值即可；
（2）令且，利用函数单调性有，即可证结论；
（3）令且，，同（2）证得，结合（2）结论，应用累加法可得，根据题设有，列不等式组求参数a的范围，即可得结果.
【详解】（1）由题设，又，
当，，即递减；当，，即递增；
所以的极小值为，无极大值.
（2）令且，故，由（1）知：在上递增，
所以，即在上恒成立，得证.
（3）由（2）知，
令且，，故，由（1）知：在上递减，
所以，即，且，，
则，
综上，，则，
若，则，故，
所以，而（用计算器），
故正整数.
【点睛】关键点点睛：第三问，利用（1）（2）结论及数列累加证得为关键.
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
99.5
101.2
99.6
99.5
100.1
99.2
99.8
100.4
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
102.6
99.1
101.3
100.2
98.2
100.4
100.5
99.5