2024届四川省德阳市第五中学高三上学期12月月考数学（理）含答案

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（总分150分答题时间120分钟）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12个小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上）
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意化简结合，再结合交集和补集概念计算求解即可.
【详解】由，得，解得或，
所以或，
又因为或，
所以.
故选：C
2. 若（为虚数单位），则（）
A. B. 5C. 3D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据的性质求出，再根据模长公式求解.
【详解】因为，所以，，
所以，
所以.
故选：A.
3. 已知向量，，且，则（）
A. B. C. 12D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标公式直接计算求解.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得.
故选：B
4. 已知，为钝角，，则（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出，从而求出，再根据利用两角差的正切公式计算可得.
【详解】解：因为，所以，因为为钝角，
所以，则，
所以.
故选：B
5. 某几何体三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图还原四棱锥，可知四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，根据长方体的外接球半径公式求出R，利用球体的表面积公式即可求解.
【详解】解：在长方体中还原该几何体如图所示，图中四棱锥就是这个几何体，
由此可知四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，
故由三视图中的数据知球的半径，
故其外接球的表面积所求面积为，
故选：A．
6. 使得“函数在区间上单调递增”成立的一个充分不必要条件可以是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数型函数单调性，结合充分不必要条件的定义进行判断即可.
【详解】，二次函数对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以有.
A：显然是充要条件，不符合题意；
B：推不出，所以本选项不符合条件；
C：由能推出，但是由推不出，所以本选项符合题意；
D：由推不出，所以本选项不符合条件，
故选：C
7. 已知，，，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对原数进行合理放缩，结合放缩不等式证明即可.
【详解】易知，，三个数均为正数
令，则，
令，，令，，
故在单调递减，在单调递增，
故，故，则，
由题意得，令，
则，令，，令，，
故在单调递增，在单调递减，
故，故，，则必有，
故选：D
8. 数列的前n项和为，且，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，利用数列通项与前n项和的关系，求得，，再根据对任意，恒成立求解.
【详解】解：当时，，
∴，当时，符合上式，
∴，
∴．
当n为奇数时，，
令知，当时，，
∴，
当n为偶数时，，
令，
∴，
∴．
故选：A．
9. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个长度单位得到的图象对应的函数为，则（）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得，，进而得，再根据结合向量垂直关系的表示解得，进而得，再根据平移变换得，最后求函数值即可.
【详解】由题知，函数的周期满足，解得，
所以，
由图象与轴的交点为，得，
所以，
因为，所以，即，
所以，图象与轴的交点为，
因为，所以，解得（负值舍去），
所以，
所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，
所以.
故选：C
10. 已知，的夹角为锐角且的取值范围为，若向量满足，则的最大值为（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的取值范围求得的夹角，建立平面直角坐标系，求得点A的轨迹，再根据点和圆的位置关系求得的最大值.
【详解】设的夹角为，
因为的取值范围为，即的取值范围为，
则，
当时，有最小值，
所以，即的夹角为.
以的方向为轴建立如图所示平面直角坐标系，
则，
设，则，
即，
整理得，
所以点A的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
且圆经过原点，所以的最大值为圆的直径.
故选：B.
11. 光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点发出,依次经与反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的去掉,此光线从点发出,经两次反射后又回到了点,历时秒;若,则与的离心率之比为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义,分别列出关系式再做差,得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程;然后计算单椭圆光学装置中光线路程,两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系,即可得两离心率的关系,即可求得答案.
【详解】如图,由双曲线定义得:①,
由椭圆定义得:②,
②①得:;
椭圆双曲线“复合”光学装置中,光线从出发到回到左焦点走过的路程为:
对于单椭圆光学装置,光线经过次反射后回到左焦点,
路程为;
由于两次光速相同,路程比等于时间比,
,
.
.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了圆锥曲线在实际中的应用,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识和理解题意,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
12. 已知，分别是方程和的根，若，实数a，，则的最小值为（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性求得，结合换元法以及基本不等式求得正确答案.
【详解】；.
函数与函数的图象关于直线对称，
由解得，设，
则，即，
，
令，则，
则
，
当且仅当时等号成立.
故选：D
第II卷（非选择题）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上）
13. 若命题“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，再解不等式即可.
【详解】因为命题“，使得成立”为真命题，
所以，解得.
故答案为：
14. 的展开式中常数项为_______．
【答案】
【解析】
【分析】求出的展开式的通项，再分别求出常数项和的系数即可求解.
【详解】展开式中通项为，
令，则，令，则，
所以常数项为．
故答案为：.
15. 已知数列满足：，且，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意得到数列周期性，进而直接求解.
【详解】因为，，
令，得，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，
以此类推，显然，，
则
故答案为：2
16. 在棱长为1的正方体中，为底面的中心，，，为线段的中点，则下列命题中正确的序号为__________.
①与共面；
②三棱锥的体积跟的取值无关；
③当时，过三点的平面截正方体所得截面的周长为；
④时，.
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据中位线可得线线平行，进而可判断①，根据等体积法可判断②，利用线线平行确定截面形状为等腰梯形，即可利用边的长度求解③，根据长度关系即可判断④.
【详解】连接,在中，因为为的中点，
所以，所以与共面，所以①正确；
因为到平面的距离为定值，且,由，
所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以②正确；
当时，取，连接，则，又，所以，所以共面，即过三点的正方体的截面为，
由，则是等腰梯形，且，
所以平面截正方体所得截面的周长为，所以③正确；
当时，，可得，，
取的中点分别为，连接，则，
在直角三角形中，，
则，所以不成立，所以④不正确.
所以正确的命题序号是①②③.
故答案为：①②③.
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写在文字说明及演算步骤．）
17. 在等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式，列出方程，即可求出首项和公差，即可求出通项公式；
（2）由（1）可知，根据错位相减法，即可求出数列的前项和．
【小问1详解】
解：设数列的首项为，公差为，
所以，解得，，
故的通项公式为．
【小问2详解】
解：因为，
所以，①
，②
由①－②，得
，
故数列的前项和.
18. 已知△ABC的内角的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，.
（1）求csC；
（2）若，，求b.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）由余弦定理及面积公式可求得；
（2）由正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和正弦公式变形可求得，然后由正弦定理求得边b．
【小问1详解】
由已知，
由余弦定理，得，
得，所以，所以.
【小问2详解】
由正弦定理得，
则，又
所以，又，
所以，即
又，所以，
由，得，
所以，
由正弦定理：.
19. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：
（2）分布列答案见解析，数学期望：
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；
（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.
【小问1详解】
若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的所有可能取值为，则
，
所以的分布列为
所以的数学期望为.
【小问2详解】
若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望为.
小问3详解】
因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，
即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.
20. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有三个零点，且在处的切线经过点，，求证：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，分为，两种情况讨论导数的正负，得出函数的单调性；
（2）有三个零点，当且仅当，由此得出范围．由题意①，由在处的切线经过点求得②，①②联立化简整理即可得出结论.
【小问1详解】
，令，
(i)当时，时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
(ii)当时，时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
有三个零点，当且仅当或，
由题意，①
在处的切线方程为：，
该切线经过点，则，
即，②
①②联立得：，
，
因为，
所以，，
所以，即.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．
21. 已知函数在点，（1）处的切线与轴平行．
（1）求实数的值及的极值；
（2）若对任意，，有，求实数的取值范围．
【答案】（1），的极小值为，无极大值
（2），
【解析】
【分析】（1）由函数在，（1）处的切线与x轴平行求得a的值，然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间，则函数的极值可求；
（2）由（1）的结论知，在上单调递增，然后构造函数，由函数在上单调递增，则其导函数在不小于零恒成立，由此求得实数的取值范围．
【小问1详解】
函数，
，
令（1），
，
解得；
令，则，解得，
当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增
所以有极小值为（1）；无极大值；
【小问2详解】
由（1）可知在上单调递增，
不妨设，则，即
函数在上单调递增，
又，
在上恒成立，
在上恒成立，又在上，
因此实数的取值范围是，．
请考生在22、23题中任选一题作答并在答题卡上填涂好所选题
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与轴的交点为，直线与曲线的交点为，求的值.
【答案】（1）直线的普通方程为：，曲线的直角坐标方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）消掉直线参数方程中的参数，求得直线的普通方程；根据极坐标方程和直角坐标方程转化公式，求得曲线的直角坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线方程，根据参数的几何意义及韦达定理可得结果.
【小问1详解】
依题意，直线的参数方程为（为参数），
则，所以直线的普通方程为：.
曲线的极坐标方程为，，
，所以曲线的直角坐标方程为.
【小问2详解】
将直线的参数方程 (为参数)代入曲线方程，
，整理得，
∴，∴.
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）已知函数的最小值为，正实数满足证明:
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）解含绝对值的不等式，先要去掉绝对值号，将函数写为分段函数，然后再在各个区间求解，取并集.
（2）求出函数的最小值，即得出，结合所要证明的不等式，联想到基本不等式进行求解.
【详解】(1)解:由题可得，
所以
即或或
解得或
所以不等式的解集为.
证明:，
则
则，
故
当且仅当时取等号.
【点睛】（1）解双绝对值不等式办法通常利用分段函数，在不同区间上求解，最后取并集.
（2）利用求出最小值，即特别要结合所证明的不等式的特点来进行变形，以应用基本不等式解决问题，抓住特点是核心.0
1
2
0
1
2