四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学（理）试卷（含答案）

四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，则(   )

A., B. C. D.

2、记为等差数列的前n项和，若，，则的值为(   )

A. B. C. D.

3、已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为(   )

A. B.

C.  D.

4、给出下列四个选项中，其中正确的选项有(  )

A.“”是方程“表示椭圆的充要条件”，

B.已知表示直线，，表示两个不同的平面，若，，则，

C.命题“，使得”的否定是：“，均有” ，

D.函数且的图像必过.

5、设，则(   )

A. B. C. D.

6、函数的图像是(   )

A.  B.

C.  D.

7、某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有____种(   )

A.36 B.48 C.54 D.72

8、已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则(   )

A.－1 B.－2 C.1 D.2

9、已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形.若三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为(   )

A. B. C. D.

10、设函数的导函数为，对任意都有成立，则(   )

A. B.

C. D.

11、若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则(   )

A.4 B.3 C.2 D.1

12、函数，.若，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、若复数（i为虚数单位），z的共轭复数记为，则______.

14、已知，求的常数项系数为______.

15、设，过定点A的动直线与过定点B的动直线交于点，则的最大值是_________.

16、在如图棱长为的正方体中，点M、N在棱AB、BC上，且，P在棱上，为过M、N、P三点的平面，则下列说法正确的是__________.

①存在无数个点P，使面与正方体的截面为五边形；

②当时，面与正方体的截面面积为；

③只有一个点P，使面与正方体的截面为四边形；

④当面交棱于点H，则PM、HN、三条直线交于一点.

三、解答题

17、2022年1月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了1月12日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表：

(1)疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)预测到哪一天新增病例人数将超过36人⋅

附：对于一组组数据，,,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

参考数据：.

18、在中，内角A,B,C所对的边长分别为a，b，c，已知.

(1)求角A的大小；

(2)求的取值范围.

19、如图，在四棱锥中，已知底面ABCD是正方形，底面ABCD，且,E是棱PB上一点.

(1)若平面ACE，证明：E是PB的中点.

(2)线段PB上是否存在点E，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

20、在同一平面直角坐标系中，曲线按照伸缩变换后得到曲线方程

(1)求曲线的方程；

(2)若过点的直线l与椭圆交于相异的两点A,B，且，求实数的取值范围

21、已知函数.

（1）若在上，最小值为0，求a；

（2）若在上有两个零点，证明：.

22、已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A,B，若点P的坐标为，求.

23、已知函数.

(1)求的最小值m；

(2)若a,b为正实数，且，证明不等式.

参考答案

1、答案：D

解析：联立，可得，

故.

故选:D.

2、答案：C

解析：由题意可得.

故选：C.

3、答案：C

解析：由点，，可得，

又由，可得，

根据双曲线的定义，可得点P的轨迹表示以M,N为焦点的双曲线的右支，

且，可得，则，

所以点P的轨迹方程为.

故选：C.

4、答案：D

解析：若表示椭圆，则需要满足，解得且，故“”不是方程“表示椭圆的充要条件”，故A错误，

对于B,若，，则，可能相交也可能平行，故B错误，

对于C,命题“，使得”的否定是：“，均有” ，故C错误，

对于D,函数的图像必过,故D正确，

故选：D

5、答案：A

解析：因为，

令，可得，

令，可得，

所以.

故选：A

6、答案：B

解析：因为，令，则，

即，解得，或，解得，

所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，

所以排除AD；

当时，，

则，当时，，

所以当时，，函数单调递增，所以B正确；

故选：B.

7、答案：D

解析：如图所示，依顺序，A区域可种4种颜色，B区域可种3种颜色，C区域可种2种颜色，

①D区域若与B区域同色，则E有两种颜色可选；

②D区域若不与B区域同色，则只有1种颜色可选，E也只有1种颜色可选，

故有种方案.

故选：D

8、答案：B

解析：根据常用函数的导数可知：，，

则两函数在点和处的切线分别为：，

化简得,

由题意可得：，化简得.

故选：B

9、答案：A

解析：设球O的半径为R，的外心为，

由题意得外接圆半径为，面积为，

所以，

所以最大值，

所以，即，解得，

所以球O的表面积为.

故选:A.

10、答案：A

解析：由，则，

设,，

则在R上单调递减.

则，即 ，

即.

故选：A.

11、答案：C

解析：设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，

设，，

所以，，

平方和相加可得，

由则，

所以，

所以，

即，，

即.

故选：C

12、答案：C

解析：根据题意，可得，则，

由，可得，即，

令（其中且）且，

①当时，可得，所以，不满足题意，舍去；

②当时，，且，

令，解得或（舍去），

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，也为最小值，

所以，即，

所以的最小值为.

故选：C.

13、答案：

解析：由共轭复数的概念可知，复数的共轭复数；

所以.

故答案为：

14、答案：

解析：因为，

所以，展开式的通项为，

令，解得，所以，故展开式的常数项为.

故答案为：

15、答案：10

解析：由得，故,由得,

由于直线与直线互相垂直，所以,

故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10

故答案为：10

16、答案：①②④

解析：由题设可得M,N为所在棱的中点.

当时，如图（1），

直线MN分别交AD,DC与T,S，连接TP并延长于G，

连接GS交于H，则与正方体的截面为五边形，故①正确.

当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，

其面积为，故B正确.

当A,P重合或,P重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误.

如图（4），

在平面内，设，则，而平面，

故平面，同理平面，

故平面平面即PM、HN、三条直线交于一点.

故答案为：①②④

17、答案：(1)；

(2)1月19日新增病例人数将超过36人.

解析：（1），，

，

，，

回归直线方程为.

（2）由，，解得,

所以1月19日新增病例人数将超过36人.

18、答案：(1)

(2)

解析：（1）因为，由正弦定理得,

又由余弦定理得，

因为，所以.

（2）由，可得，所以，且，

则，

因为，所以，

结合正弦函数图象，可得，，

所以的取值范围为.

19、答案：(1)证明见解析

(2)存在，

解析：（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，连接EO，

因为ABCD是正方形，所以O是BD的中点，

又平面ACE，平面PBD，平面平面，

所以，

因为O为的中点，所以E是的中点.

（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.

设，设，，,

，则，,

则，，，

由且，可知是平面PAC的一个法向量.

设为平面EAC的法向量，则，

即，取，，，则，

，解得，即.

20、答案：(1)

(2)

解析：（1）由伸缩变换可知；

将代入得，

即曲线的方程为.

（2）如下图所示：

设，，

由得，

从而，，即，

因为点A在椭圆上，故，

即，

又在椭圆上，即，

解得，

由椭圆定义知，故，

解得，

又由题设知，故，

所以实数的取值范围是.

21、答案：（1）

（2）证明见解析

解析：（1）的最小值为0，

即最小值为0，

，时，，递减，时，，递增，仅当时，取最小值，

即；

（2），故可知：，

两边取对数得，

同理，，

两式相减并整理得：，

欲证，只须证：，

不妨设，

原式化为：，

令，则，

令，

，

故为增函数，

，故原式得证.

22、答案：(1)

(2)

解析：（1）由，得，

将，代入，得圆C的直角坐标方程为.

（2）把参数方程化为标准形式：，

代入得，

设，是上述方程的两根，则有,,

因此由t的几何意义可知.

23、答案：(1)-1

(2)证明见解析

解析：（1）由题知，

其函数图象如图所示，

所以，.

（2）由（1）可知，则，

解法一：利用基本不等式：

，

当且仅当时取等号.

所以，.

解法二：利用柯西不等式：，

当且仅当时取等号.

所以，.