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    这是一份2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期5月月考数学(理)试题含答案,共18页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期5月月考数学(理)试题

    一、单选题

    1.已知集合,则    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】解方程组即可求解.

    【详解】联立,可得

    .

    故选:D.

    2.记为等差数列的前n项和,若,则的值为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】利用等差数列求和公式结合等差数列的性质可求得结果.

    【详解】由题意可得.

    故选:C.

    3.已知点,动点满足条件.则动点的轨迹方程为(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】根据题意得到,结合双曲线的定义,即可求解.

    【详解】由点,可得

    又由,可得

    根据双曲线的定义,可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支,

    ,可得,则

    所以点的轨迹方程为.

    故选:C.

    4.给出下列四个选项中,其中正确的选项有(    

    A是方程表示椭圆的充要条件

    B.已知表示直线,表示两个不同的平面,若,则

    C.命题,使得的否定是:,均有

    D.函数的图像必过

    【答案】D

    【分析】根据椭圆的定义可判断A,根据空间中两平面的关系可判断B,由特称命题的否定为全称命题可判断C,由对数型函数的定点问题可判断D.

    【详解】表示椭圆,则需要满足,解得,故不是方程表示椭圆的充要条件,故A错误,

    对于B,,则可能相交也可能平行,故B错误,

    对于C,命题,使得的否定是:,均有,故C错误,

    对于D,函数的图像必过,D正确,

    故选:D

    5.设,则    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】求出,再令求出,即可得解.

    【详解】因为

    ,可得

    ,可得

    所以.

    故选:A

    6.函数的图像是(    

    A   B  

    C   D  

    【答案】B

    【分析】根据题意,令,可以排除AD,然后求导得,即可排除C.

    【详解】因为,令,则

    ,解得,或,解得

    所以当时,函数有1个零点,当时,函数有2个零点,

    所以排除AD

    时,

    ,当时,

    所以当时,,函数单调递增,所以B正确;

    故选:B.

    7.某小区有5个区域要种上鲜花(如图),现有四种不同品种的鲜花可供选择,每个区域只能种一种鲜花,要求相邻区域不能种同一种鲜花,则符合条件的方案有(  )种

      

    A36 B48 C54 D72

    【答案】D

    【分析】由分步计数原理结合分类讨论即可.

    【详解】  

    如图所示,依顺序,A区域可种4种颜色,B区域可种3种颜色,C区域可种2种颜色,

    D区域若与B区域同色,则E有两种颜色可选;

    D区域若不与B区域同色,则只有1种颜色可选,E也只有1种颜色可选,

    故有种方案.

    故选:D

    8.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同,则    

    A.-1 B.-2 C1 D2

    【答案】B

    【分析】利用导数的几何意义计算即可.

    【详解】根据常用函数的导数可知:

    则两函数在点处的切线分别为:,化简得

    由题意可得:,化简得.

    故选:B

    9.已知三棱锥的顶点都在球的球面上,底面是边长为3的等边三角形.若三棱锥的体积的最大值为,则球的表面积为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】设球O的半径为R的外心为,由题意,可得外接圆的半径及面积,即可得,代入体积公式,结合题意,可求得R值,代入球的表面积公式,即可得答案.

    【详解】设球O的半径为R的外心为

    由题意得外接圆半径为,面积为

    所以

    所以最大值

    所以,即,解得

    所以球O的表面积为.

    故选:A.

      

     

     

    10.设函数的导函数为,对任意都有成立,则(    

    A B

    C D

    【答案】A

    【分析】由题意构造辅助函数,求导,根据导数与函数单调性的关系,即可求得答案.

    【详解】,则

      

    上单调递减.

    ,即

    .

    故选:A.

    11.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为,双曲线离心率为,若,则    

    A4 B3 C2 D1

    【答案】C

    【分析】可设椭圆长轴为,双曲线的实轴为,焦点为,设,利用椭圆和双曲线的定义可得,再利用垂直关系可得

    联立即可得解.

    【详解】设椭圆长轴为,双曲线的实轴为,焦点为

    所以

    平方和相加可得

     

    所以

    所以

    .

    故选:C

    12.函数.若,则的最小值为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】,可得,构造得到,令,结合,分,利用导数求得单调区间和最小值,即可求解.

    【详解】根据题意,可得,则

    ,可得,即

    (其中)且

    时,可得,所以,不满足题意,舍去;

    时,,且

    ,解得(舍去),

    时,单调递减;

    时,单调递增,

    所以当时,函数取得极小值,也为最小值

    所以,即

    所以的最小值为.

    故选:C.

     

    二、填空题

    13.若复数i为虚数单位),z的共轭复数记为,则______

    【答案】

    【分析】根据共轭复数定义可得,再由复数的乘法运算可得.

    【详解】由共轭复数的概念可知,复数的共轭复数

    所以.

    故答案为:

    14.已知,求的常数项系数为______

    【答案】

    【分析】利用微积分基本定理求出,再利用二项式展开式的通项计算可得.

    【详解】因为

    所以,展开式的通项为

    ,解得,所以,故展开式的常数项为.

    故答案为:

    15.设,过定点的动直线与过定点的动直线交于点,则的最大值是______

    【答案】10

    【分析】根据直线过定点可得的坐标,进而利用两直线垂直可得勾股定理,结合不等式即可求解最值.

    【详解】,故,,

    由于直线与直线互相垂直,所以,

    所以,当且仅当时取等号,故的最大值是10

    故答案为:10

    16.在如图棱长为的正方体中,点在棱上,且在棱上,为过三点的平面,则下列说法正确的是__________

    存在无数个点,使面与正方体的截面为五边形;

    时,面与正方体的截面面积为

    只有一个点,使面与正方体的截面为四边形;

    当面交棱于点,则三条直线交于一点.

    【答案】①②④

    【解析】开始逐渐向运动变化,观察所得的截面,从而可得正确的选项.

    【详解】由题设可得为所在棱的中点.

    时,如图(1),

    直线 分别交,连接并延长

    连接,则与正方体的截面为五边形,故正确.

    ,如图(2),此时与正方体的截面为正六边形,其边长为

    其面积为,故B正确.

    重合或重合时,如图(3),与正方体的截面均为四边形,故错误.

    如图(4),

    在平面内,设,则,而平面

    平面,同理平面

    平面平面三条直线交于一点.

    故答案为:①②④.

    【点睛】思路点睛:平面的性质有3个公理及其推理,注意各个公理的作用,其中公理2可用来证明三点共线或三线共点,公理3及其推理可用来证明点共面或线共面,作截面图时用利用公理2来处理.

     

    三、解答题

    1720221月初,某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病,该疾病具有较强的传染性,为了尽快控制住该传染病引起的疫情,该市疫情监控机构统计了112日到15日每天新增病例的情况,统计数据如表:

    1x

    12

    13

    14

    15

    新增病例y

    26

    29

    28

    31

    (1)疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析,可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系,求y关于x的线性回归方程

    (2)预测到哪一天新增病例人数将超过36

    附:对于一组组数据,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为:

    参考数据:

    【答案】(1)y1.4x9.6

    (2)119日新增病例人数将超过36人.

     

    【分析】1)由所给数据,利用最小二乘法结论求即可;

    2)根据回归方程预测即可.

    【详解】1

    回归直线方程为y1.4x9.6.

    2)由1.4x9.636,解得,

    所以119日新增病例人数将超过36人.

    18.在中,内角所对的边长分别为abc,已知

    (1)求角A的大小;

    (2)的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据题意,由正弦定理得,再由余弦定理求得,即可求解;

    2)由,得到,且,利用三角恒等变换的公式,化简得到,结合三角函数的性质,即可求解.

    【详解】1)解:因为,由正弦定理得,

    又由余弦定理得

    因为,所以.

    2)解:由,可得,所以,且

    因为,所以

    结合正弦函数图象,可得

    所以的取值范围为

    19.如图,在四棱锥中,已知底面是正方形,底面,且是棱上一点.

    (1)平面,证明:的中点.

    (2)线段上是否存在点,使二面角的余弦值是?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)存在,

     

    【分析】1)利用线面平行的性质定理得到,且O的中点,则E的中点;

    2)建立合适的空间直角坐标系,求出平面和平面的法向量,列出与相关的方程,解出即可.

    【详解】1)证明:如图,连接于点O,连接

    因为是正方形,所以O的中点,

    平面平面,平面平面

    所以

    因为O的中点,所以E的中点.

    2)以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

    .

    ),设,

    ,则

    ,可知是平面的一个法向量.

    为平面的法向量,则

    ,取,则

    ,解得,即.

    20.在同一平面直角坐标系中,曲线按照伸缩变换后得到曲线方程

    (1)求曲线的方程;

    (2)若过点的直线与椭圆交于相异的两点,且,求实数的取值范围

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据伸缩变换的规律可知将代入曲线中,即可得曲线的方程;

    2)设出两点坐标为,再利用即可得出,将代入椭圆方程联立可解得,再由椭圆性质即可求得实数的取值范围为.

    【详解】1)由伸缩变换可知

    代入

    即曲线的方程为

    2)如下图所示:

      

    从而,即

    因为点A在椭圆上,故

    在椭圆上,即

    解得

    由椭圆定义知,故

    解得

    又由题设知,故

    所以实数的取值范围是

    21.已知函数

    1)若在上,最小值为0,求

    2)若上有两个零点,证明:

    【答案】1   2)证明见解析

    【分析】1)函数变形为,则最小值为0,求导数,由求得极小值点,从而也是最小值点,然后可得.

    2)先对的零点进行处理,则由,得,取对数得,同理,消去参数,得,不等式就变为,即,设,不妨设,则,这样问题转化为证明则,令,利用导数求得函数的单调性后可证结论成立.

    【详解】1的最小值为0

    最小值为0

    时,递减,时,递增,仅当时,取最小值,

    2,故可知:

    两边取对数得

    同理,

    两式相减并整理得:

    欲证,只须证:

    不妨设

    原式化为:

    ,则

    为增函数,

    ,故原式得证.

    【点睛】本题考查用导数研究函数的最值,用导数证明不等式.解题关键是问题的转化.第一小题中直接对求导,求最小值不方便,但变形为的最小值为0,即最小值为0,对求最小值就比较简单.第二题证明不等式,可能没法下手.因此对进行深入的认识,利用零点变形得,消去参数,从而题设不等式变为,这类不等式可通过设可转化为研究函数的单调性和最值.

    22.已知直线的参数方程为(为参数),圆的极坐标方程为

    (1)求圆的直角坐标方程;

    (2)设圆与直线交于点,若点的坐标为,求

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)两边同时乘以,根据互化公式可得结果;

    2)将直线的参数方程化为标准形式,代入圆C的直角坐标方程,利用参数的几何意义可求出结果.

    【详解】1)由,得

    代入,得圆C的直角坐标方程为.

    2)把参数方程化为标准形式:

    代入

    是上述方程的两根,则有,,

    因此由t的几何意义可知

    23.已知函数.

    (1)的最小值

    (2)为正实数,且,证明不等式.

    【答案】(1)

    (2)证明见解析

     

    【分析】1)将函数写成分段函数,结合函数图象求解即可;

    2)解法一:根据基本不等式“1”的用法分析证明;解法二:利用柯西不等式直接证明即可.

    【详解】1)由题知

    其函数图象如图所示,

    所以,.

    2)由(1)可知,则

    解法一:利用基本不等式:

    当且仅当时取等号.

    所以,.

    解法二:利用柯西不等式:

    当且仅当时取等号.

    所以,.

     

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