2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期5月月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期5月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解方程组即可求解.

【详解】联立，可得，

故.

故选:D.

2．记为等差数列的前n项和，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等差数列求和公式结合等差数列的性质可求得结果.

【详解】由题意可得.

故选：C.

3．已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解.

【详解】由点，，可得，

又由，可得，

根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，

且，可得，则，

所以点的轨迹方程为.

故选：C.

4．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ）

A．“”是方程“表示椭圆的充要条件”，

B．已知表示直线，，表示两个不同的平面，若，，则，

C．命题“，使得”的否定是：“，均有” ，

D．函数的图像必过．

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义可判断A,根据空间中两平面的关系可判断B,由特称命题的否定为全称命题可判断C，由对数型函数的定点问题可判断D.

【详解】若表示椭圆，则需要满足，解得且，故“”不是方程“表示椭圆的充要条件”，故A错误，

对于B,若，，则，可能相交也可能平行，故B错误，

对于C,命题“，使得”的否定是：“，均有” ，故C错误，

对于D,函数的图像必过,故D正确，

故选：D

5．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令求出，再令求出，即可得解.

【详解】因为，

令，可得，

令，可得，

所以.

故选：A

6．函数的图像是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】B

【分析】根据题意，令，可以排除AD，然后求导得，即可排除C.

【详解】因为，令，则，

即，解得，或，解得，

所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，

所以排除AD；

当时，，

则，当时，，

所以当时，，函数单调递增，所以B正确；

故选：B.

7．某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有（　　）种

A．36 B．48 C．54 D．72

【答案】D

【分析】由分步计数原理结合分类讨论即可.

【详解】  

如图所示，依顺序，A区域可种4种颜色，B区域可种3种颜色，C区域可种2种颜色，

①D区域若与B区域同色，则E有两种颜色可选；

②D区域若不与B区域同色，则只有1种颜色可选，E也只有1种颜色可选，

故有种方案.

故选：D

8．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（    ）

A．－1 B．－2 C．1 D．2

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义计算即可.

【详解】根据常用函数的导数可知：，，

则两函数在点和处的切线分别为：，化简得

由题意可得：，化简得.

故选：B

9．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意，可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意，可求得R值，代入球的表面积公式，即可得答案.

【详解】设球O的半径为R，的外心为，

由题意得外接圆半径为，面积为，

所以，

所以最大值，

所以，即，解得，

所以球O的表面积为.

故选:A.

10．设函数的导函数为，对任意都有成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意构造辅助函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案．

【详解】由，则，

设  ，

则在上单调递减.

则，即 ，

即.

故选：A.

11．若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】可设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，设，，利用椭圆和双曲线的定义可得，，再利用垂直关系可得，

联立即可得解.

【详解】设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，

设，，

所以，，

平方和相加可得，

 由则，

所以，

所以，

即，，

即.

故选：C

12．函数，．若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，可得，构造得到，令，结合，分和，利用导数求得单调区间和最小值，即可求解.

【详解】根据题意，可得，则，

由，可得，即，

令（其中且）且，

①当时，可得，所以，不满足题意，舍去；

②当时，，且，

令，解得或（舍去），

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，也为最小值，

所以，即，

所以的最小值为.

故选：C.

二、填空题

13．若复数（i为虚数单位），z的共轭复数记为，则______．

【答案】

【分析】根据共轭复数定义可得，再由复数的乘法运算可得.

【详解】由共轭复数的概念可知，复数的共轭复数；

所以.

故答案为：

14．已知，求的常数项系数为______．

【答案】

【分析】利用微积分基本定理求出，再利用二项式展开式的通项计算可得.

【详解】因为，

所以，展开式的通项为，

令，解得，所以，故展开式的常数项为.

故答案为：

15．设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．

【答案】10

【分析】根据直线过定点可得的坐标，进而利用两直线垂直可得勾股定理，结合不等式即可求解最值.

【详解】由得，故,由得,

由于直线与直线互相垂直，所以,

故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10

故答案为：10

16．在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．

①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；

②当时，面与正方体的截面面积为；

③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；

④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．

【答案】①②④

【解析】让从开始逐渐向运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项．

【详解】由题设可得为所在棱的中点.

当时，如图（1），

直线 分别交与，连接并延长于，

连接交于，则与正方体的截面为五边形，故①正确.

当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，

其面积为，故B正确.

当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误.

如图（4），

在平面内，设，则，而平面，

故平面，同理平面，

故平面平面即、、三条直线交于一点.

故答案为：①②④.

【点睛】思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用公理2来处理.

三、解答题

17．2022年1月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了1月12日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表：

(1)疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)预测到哪一天新增病例人数将超过36人⋅

附：对于一组组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

参考数据：．

【答案】(1)y＝1.4x＋9.6；

(2)1月19日新增病例人数将超过36人．

【分析】（1）由所给数据，利用最小二乘法结论求即可；

（2）根据回归方程预测即可.

【详解】（1），，

，

∴，，

∴回归直线方程为y＝1.4x＋9.6.

（2）由1.4x＋9.6＞36，，解得,

所以1月19日新增病例人数将超过36人．

18．在中，内角所对的边长分别为a，b，c，已知．

(1)求角A的大小；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，再由余弦定理求得，即可求解；

（2）由，得到，且，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】（1）解：因为，由正弦定理得,

又由余弦定理得，

因为，所以.

（2）解：由，可得，所以，且，

则，

因为，所以，

结合正弦函数图象，可得，，

所以的取值范围为．

19．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点.

(1)若平面，证明：是的中点.

(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）利用线面平行的性质定理得到，且O为的中点，则E是的中点；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，列出与相关的方程，解出即可.

【详解】（1）证明：如图，连接交于点O，连接，

因为是正方形，所以O是的中点，

又平面，平面，平面平面，

所以，

因为O为的中点，所以E是的中点.

（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.

设（），设，，,

，则，

则，，，

由且，可知是平面的一个法向量.

设为平面的法向量，则，

即，取，，，则，

，解得，即.

20．在同一平面直角坐标系中，曲线按照伸缩变换后得到曲线方程

(1)求曲线的方程；

(2)若过点的直线与椭圆交于相异的两点，且，求实数的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据伸缩变换的规律可知将代入曲线中，即可得曲线的方程；

（2）设出两点坐标为，，再利用即可得出，将代入椭圆方程联立可解得，再由椭圆性质即可求得实数的取值范围为.

【详解】（1）由伸缩变换可知；

将代入得，

即曲线的方程为．

（2）如下图所示：

设，，

由得，

从而，，即，

因为点A在椭圆上，故，

即，

又在椭圆上，即，

解得，

由椭圆定义知，故，

解得，

又由题设知，故，

所以实数的取值范围是．

21．已知函数．

（1）若在上，最小值为0，求；

（2）若在上有两个零点，证明：．

【答案】（1）   （2）证明见解析

【分析】（1）函数变形为，则最小值为0，求导数，由求得极小值点，从而也是最小值点，然后可得．

（2）先对的零点进行处理，则由，得，取对数得，同理，消去参数，得，不等式就变为，即，设，不妨设，则，这样问题转化为证明则，令，利用导数求得函数的单调性后可证结论成立．

【详解】（1）的最小值为0，

即最小值为0，

，时，，递减，时，，递增，∴仅当时，取最小值，

即；

（2），故可知：，

两边取对数得，

同理，，

两式相减并整理得：，

欲证，只须证：，

不妨设，

原式化为：，

令，则，

令，

，

故为增函数，

，故原式得证．

【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化．第一小题中直接对求导，求最小值不方便，但变形为的最小值为0，即最小值为0，对求最小值就比较简单．第二题证明不等式，可能没法下手．因此对进行深入的认识，利用零点变形得，，消去参数得，从而题设不等式变为，这类不等式可通过设可转化为研究函数的单调性和最值．

22．已知直线的参数方程为(为参数)，圆的极坐标方程为．

(1)求圆的直角坐标方程；

(2)设圆与直线交于点，若点的坐标为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）两边同时乘以，根据互化公式可得结果；

（2）将直线的参数方程化为标准形式，代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求出结果.

【详解】（1）由，得，

将，代入，得圆C的直角坐标方程为.

（2）把参数方程化为标准形式：，

代入得，

设，是上述方程的两根，则有,,

因此由t的几何意义可知．

23．已知函数.

(1)求的最小值；

(2)若为正实数，且，证明不等式.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将函数写成分段函数，结合函数图象求解即可；

（2）解法一：根据基本不等式“1”的用法分析证明；解法二：利用柯西不等式直接证明即可.

【详解】（1）由题知，

其函数图象如图所示，

所以，.

（2）由（1）可知，则，

解法一：利用基本不等式：

，

当且仅当时取等号.

所以，.

解法二：利用柯西不等式：，

当且仅当时取等号.

所以，.