2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期6月月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期6月月考数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接解出集合，再求交集即可.

【详解】，，则.

故选：D.

2．已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（    ）

A．0 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】根据题意，化简复数，结合复数的概念，即可求解.

【详解】由题意，复数z满足，可得，

所以z的虚部为.

故选：B.

3．函数图象的对称轴可以是（    ）

A．直线 B．直线

C．直线 D．直线

【答案】A

【分析】利用诱导公式及二倍角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质求出函数的对称轴.

【详解】，

令，解得，

所以的对称轴为直线，当时，.

故选：A.

4．在的展开式中，的系数为（    ）

A．12 B． C．6 D．

【答案】D

【分析】根据题意，由二项式的展开式可得只有中的与中的相乘才会得到，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】因为，

所以只有中的与中的相乘才会得到，

即，所以的系数为.

故选:D.

5．如图所示，已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下：

其线性回归方程为，则（    ）．

A． B．0.7 C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件求出样本的中心点，再代入回归直线方程计算作答.

【详解】依题意，，，将带入得：，解得，

所以.

故选：A

6．若实数满足约束条件则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出可行域，结合图形即可得出结果.

【详解】如图所示作出可行域，当过直线和的交点即时，此时.

故选：C

7．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接按照程序框图执行即可得出结果.

【详解】因为时，执行循环体，时结束循环，输出，

所以执行程序框图，；；；，结束循环，

因此的取值范围为.

故选：C.

8．已知命题：，，则“”是“是真命题”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由，求出的范围，然后可得“是真命题”对应的的范围，然后可判断出答案.

【详解】由，可得，，

所以“是真命题”对应的的范围是，

所以“”是“是真命题”的充分不必要条件，

故选：A

9．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A．16 B．12 C．8 D．4

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.

【详解】对求导得，

由得，则，即，

所以，

当且仅当时取等号．

故选：D．

10．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为，在根据题意列出不等式解出即可．

【详解】过滤第一次污染物的含量减少，则为；

过滤第两次污染物的含量减少，则为；

过滤第三次污染物的含量减少，则为；

过滤第n次污染物的含量减少，则为；

要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，

两边取以10为底的对数可得，

即，

所以，

因为，

所以，

所以，又，所以，

故排放前需要过滤的次数至少为次．

故选：A．

11．，则的大小顺序为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据a，b，c的特征，构造函数，利用其单调性判断.

【详解】解：令，则，

当时，，在上递增；

当时，，在上递减；

因为，

所以，

又，

所以，

故选：B

12．已知直线与圆相切于点E，直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，且E为AB的中点，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】联立直线与双曲线的渐近线求出两点的坐标，即可用表示出中点的坐标，由直线与圆相切可得，再联立直线与圆，即可用表示出的坐标，再消即可得出的值，再利用求出答案.

【详解】双曲线的两条渐近线为，

联立直线与渐近线，解得，

所以的中点坐标，

所以，

又，所以，即点在第一象限，即，

又直线与圆相切，即，解得（负值舍去），则直线，

联立直线与圆，解得，

即，即，解得，

所以双曲线的离心率.

故选：B

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是联立直线与渐近线，直线与圆分别求出点的坐标，得出的关系式，由此得解.

二、填空题

13．抛掷一粒骰子，设“得到的点数是奇数”为事件，“得到的点数是3点”为事件，则          ．

【答案】

【分析】写出样本空间，根据古典概型和条件概率公式可得.

【详解】抛掷一粒骰子所得点数的样本空间为，，

所以，，，

所以.

故答案为：

14．若抛物线上的点到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的方程是         .

【答案】

【解析】根据抛物线的定义，可得结果.

【详解】根据抛物线定义，，解得，

故抛物线的方程是.

故答案为：

【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题.

15．若三角形的内角所对的边分别为，且，，其面积，则边=        ．

【答案】或

【分析】根据题意结合余弦定理、面积公式运算求解.

【详解】∵的面积，即，解得，

注意到，故或，

若，由余弦定理：，即；

若，由余弦定理：，即；

综上所述：或.

故答案为：或.

16．关于函数，有以下四个结论：

①函数恒有两个零点，且两个零点之积为；

②函数的极值点不可能是；

③函数必有最小值．

④对于，在上是增函数．

其中正确结论的序号是      ．

【答案】①②③

【分析】令，利用恒成立，与韦达定理即可判断①正确；求出即可得出恒不为0，即可判断②正确；结合与都恒有两个零点，即可画出函数的草图，即可判断③正确，④错误.

【详解】令，即，

因为恒成立，恒有两个不相等实数根记为，

则，①正确；

，，即函数的极值点不可能是，②正确；

令，即，

恒成立，即恒有两个根，记为，且，

则在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

结合，恒有两个不相等实数根，则函数的草图为：

即在处取得最小值，③正确，④错误.

故答案为：①②③

三、解答题

17．已知等比数列的各项均为正数，且，.

(1)求的通项公式；

(2)数列满足，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，然后解出即可得答案；

（2）利用分组求和法求出答案即可.

【详解】（1）∵，

∴，，解得，∴；

（2）由题可知，∴，

∴，

18．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京人民大会堂顺利召开．某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神．其中“学习二十大”进行竞赛．甲、乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记－1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．

(1)经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；

(2)若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．

【答案】(1)分布列见解析；期望为

(2)

【分析】(1)根据题意，X的取值可能为－1，0，1，分别写出每一个概率，列表格，用可计算出数学期望.(2)第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）：－1，－1，－1；－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0，分别计算出概率相加.

【详解】（1）由题意X的取值可能为－1，0，1，则

，

，

那么X的分布列为：

（2）第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）；－1，－1，－1;－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0．

所以．

19．如图，四棱柱ABCD—的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA1的中点.

(1)证明：B，E，D1，F四点共面；

(2)若求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过证明来证明B，E，D1，F四点共面.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.

【详解】（1）取的中点为G，连接AG，GE，

由E，G分别为，的中点，

∴EG∥DC∥AB，且，

∴四边形ABEG为平行四边形，

故.

又F是的中点，即，

∴，

故B，F，，E四点共面.

（2）连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，

以O为原点，、、分别为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则A（，0，0），B（0，1，0），，F（，0，1），

∴

设面的一个法向量为，

则，即，取，

设直线AE与平面BED1F所成角为θ，故，

∴直线AE与平面BED1F所成角的正弦值为.

20．已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；

(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.

①求证：直线恒过一定点；

②设的面积为，求的最大值.

【答案】(1)，曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点.

(2)①证明见解析；②最大值为.

【分析】（1）根据题目所给条件列出方程化简即可得解；

（2）①设直线的方程为，根据结合根与系数的关系化简，可得即可得证；②根据三角形面积公式得出面积表达式，利用配方法求最大值即可.

【详解】（1）由题意，得，

化简得，

所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点.

（2）如图，

①证明：设.

因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，

所以直线的斜率必不为0.

设直线的方程为.

由得，

所以，且

因为点是曲线上一点，

所以由题意可知，

所以，即

因为

所以，此时，

故直线恒过轴上一定点.

②由①可得，，

所以

当且仅当即时等号成立，

所以的最大值为.

21．若函数有两个零点，且．

(1)求a的取值范围；

(2)若在和处的切线交于点，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数单调性，根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解；

（2）利用导数求切线方程得出，将原不等式化为证明，构造函数利用导数证明即可.

【详解】（1）

当，，在上单调递减，不可能两个零点；

当时，令得

，，单调递增，，，单调递减，  

，

，

时，，单调递减，，，单调递增，  

所以，即时，恒成立，当且仅当时取等号，

所以，

而，

所以；；

∴有唯一零点且有唯一零点，满足题意，

综上：；

（2）曲线在和处的切线分别是

，

联立两条切线得，∴，

由题意得，

要证，即证，即证，即证，

令，即证，

令，，∴在单调递减，∴，

∴得证．综上：．

【点睛】关键点点睛：导数题目中的证明题，主要观察所证不等式，直接构造函数，或者将不等式转化变形后，利用导数判断函数的单调性及最值，利用函数的单调性或有界性求证，对观察、运算能力要求较高，属于难题.

22．在直角坐标系中，曲线的方程为．为曲线上一动点，且，点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线，的极坐标方程；

(2)曲线的极坐标方程为，点为曲线上一动点，求的最大值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用直角坐标和极坐标的互化关系求的极坐标方程，利用代入法求的极坐标方程；

（2）为上一点，为上一点，可知，即可求解.

【详解】（1）由题意可知，将代入得，

则曲线的极坐标方程为，

设点的极坐标为，则，

点的极坐标为，由得，即，

将代入得，

所以点轨迹曲线的极坐标方程为；

（2）曲线直角坐标方程为，设点，

曲线的直角坐标方程为，则圆心为，

，

即

当时， ，所以.

23．设不等式的解集为，且，.

(1)求的值；

(2)若、、为正实数，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)的最小值为

【分析】（1）根据，可得出实数的取值范围，结合可得出的值；

（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得的最小值.

【详解】（1）因为，，所以，，即，

因为，则.

（2）由（1）可知，，

由柯西不等式可得，

当且仅当时，即当，时，等号成立，

所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立，

因此，的最小值为.