2024届湖北省武昌实验中学高三上学期12月月考数学试卷含答案

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命题教师： 考试 时间：2023年12月12日下午15:00—17:00
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，，则（）
A. B. C. D.
2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则＝（）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的离心率为，则（）
A．2B．C．D．
4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（）
A．B．C．D．
5．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点为，则直线l的斜率为（）
A．B．1C．D．2
6．是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC上靠近点B的三等分点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（）
A. B. C. D.
7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则的值是（）
A. B. C. 2 D. 12
8．已知函数的一个对称中心为，现将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在上单调递减，则可取值为（）
A． B. C． 2 D．3
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知事件A，B满足，，则（）
A．若，则B．若A与B互斥，则
C．若，则A与B相互独立D．若A与B相互独立，则
10．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC，C1D1的中点，则下列说法正确的是（）
A．M，N，A1，B四点共面
B．
C．过点A1，B，N的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形
D．过MN作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为
11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. 是数列中的最大项D.
12．已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．展开式中的常数项为 ．
14．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为__________．
15．已知曲线y＝lnx与y＝ax2（a＞0）有公共切线，则实数a的取值范围为_________．
16．a, b, c分别是内角A,B,C的对边，，，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量，（），函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若是函数的任意两个相异零点，且的最小值为，求函数在上的值域．
18．如图，四棱锥中，是等边三角形，，.
D
P
C
B
A
（1）证明：；
（2）若，，求点到平面的距离．
19．已知数列中，，设为前n项和，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
20．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为．
经计算，，．
（1）求；
（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩 不合格的人数为，求的分布列；
（3）经统计，高中生体测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望．
附：若～，则，，．
21．已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个不同的零点且，求实数的取值范围.
22．已知是椭圆上关于原点对称的两点，且，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点分别为P、N，若的值为定值，则称此时的点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”；若没有，请说明理由．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80