四川省德阳市第五中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省德阳市第五中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设,为平面向量的一组基底,则下面四组向量组中不能作为基底的是( )
A.和B.和
C.和D.和
2．下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上为减函数的是( )
A.B.
C.D.
3．已知，，则与同向的单位向量的坐标为( )
A.B.C.D.
4．已知函数的部分图像如图所示,则的解析式可能是( )
A.B.
C.D.
5．已知向量,,则“”是“与的夹角为钝角”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知非零向量,满足,且,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
7．已知，，，则( )
A.B.C.D.或
8．已知函数的所有极值点为，且函数在内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对( )
A.只有2对B.只有3对C.只有4对D.有无数对
二、多项选择题
9．要得到的图象,可以( )
A.将曲线上所有的点向右平移个单位长度
B.将曲线上所有的点向右平移个单位长度
C.将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
D.将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
10．已知函数,下列选项中正确的是( )
A.为奇函数B.在区间内有2个零点
C.的周期是D.的最大值为
11．设,是两个非零向量．则下列命题为假命题的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则存在实数λ,使得
D.若存在非零实数,使得,则
12．已知定义在R上的奇函数满足,且当时,,则下列说法正确的是( )
A.B.在上单调递减
C.D.函数恰有8个零点
三、填空题
13．已知与是两个单位向量,且向量与的夹角为,则向量在向量上的投影向量为_____________．
14．已知函数的图象如图所示,则___________．
15．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象关于y轴对称,则的最小值为__________．
16．如图,正方形中,,P是线段上的动点且,则的最小值为_____________．
四、解答题
17．已知,为锐角,且,．
（1）求的值;
（2）求的值．
18．已知：,,是同一平面内的三个向量,其中．
（1）若,且,求的坐标;
（2）若,且与垂直,求实数的值．
19．深圳别称“鹏城”,“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色,摩天轮最高点距离地面高度为120米,转盘直径为110米,当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米．
（1）经过t分钟后游客距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数关系式满足（其中,,）,求摩天轮转动一周的解析式;
（2）若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮在运行一周的过程中,游客能有多长时间有最佳视觉效果？
20．已知函数,其中,.
（1）求函数的最大值及取得最大值时x的集合;
（2）求函数的单调递增区间和对称中心;
（3）若方程在区间上有两个解,,若,求的值.
21．在中,已知,,,,Q为线段CA延长线上的一点,且.
（1）当且,设PQ与AB交于点M,求线段CM的长;
（2）若,求t的最大值.
22．已知函数,.
（1）求函数在区间上的最小值;
（2）若函数,且的图象与的图象有3个不同的交点,求实数n的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,,是不共线的两个向量,可得和不共线,和不共线,和不共线,所以选项A,B,D的向量组都可以作为基底,因为,所以和不共线,故选项D的向量组不能作为基底.
故选：C.
2．答案：B
解析：对于A,的最小正周期是,不满足题意,
对于B,的最小正周期是,
当时,为减函数,满足题意,
对于C,的最小正周期是,不满足题意,
对于D,的最小正周期是,在区间上为增函数,不满足题意,
故选：B.
3．答案：B
解析：由题知，，，，所以与同向的单位向量为.故选B.
4．答案：D
解析：观察图象可知函数为偶函数,
对于A,,为奇函数,排除;
对于B,,为奇函数,排除;
同理,C、D选项为偶函数,而对于C项,其定义域为,不是R,舍去,故D正确.
故选：D.
5．答案：B
解析：若“”可得,可得;
当时,与的方向相反,其夹角为,
即与的夹角为钝角或平角,充分性不成立;
若“与的夹角为钝角”,即可知,解得,必要性成立;
因此“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
6．答案：B
解析：因为,所以,
即,即,
又,所以,即,
而,所以,
故选：B.
7．答案：B
解析：因为，，
所以，或，.
若，，则，此时，不符合题意，舍去；
若，，则，此时，符合题意，所以，，则.
因为，，
所以，，
解得，，
则.
又，所以.
8．答案：B
解析：本题考查三角函数的图象及其性质，考查逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想.
，由题意得图象的对称轴方程为，则，得.因为的图象关于直线对称，所以，
即，解得，则.
的零点个数等价于方程实根的个数.
先研究方程在内实根的个数.
当时，方程在内实根的个数为1；
当时，方程在内实根的个数为2；
当时，方程在内实根的个数为3，其中在内实根的个数为2.
因为是周期为π的函数，所以当时，在，，，……，内方程实根的个数均为2.
因为在内恰有2023个零点，且2023为奇数，所以不合题意.
当时，；当时，.故满足条件的有序实数对只有3对.
9．答案：BD
解析：要得到的图象,可以将曲线上所有的点向右平移个单位长度,故选项A错误,选项B正确,
又的图象也可将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变得到,
所以选项C错误,选项D正确,
故选：BD.
10．答案：BD
解析：由题,A错;
由,可得（舍去）,
又,因此有两解,B正确;
因为,,因此不可能是的周期,C错;
因为, 时,取得最大值,D正确．
故选：BD．
11．答案：ABD
解析：对于A,若,则,得,所以与不垂直,故A为假命题;
对于B,若,则,但,所以,即,所以B为假命题;
对于C,若,则,得,所以,即与反向,因此存在实数λ,使得,故C为真命题.
对于D,由C分析知仅当,即与反向共线时,成立,当非零实数不负数,结论不成立,所以D为假命题;
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：对于A,由,可得,
即的周期为4,故A正确;
对于B,当时,,
则,
所以,,结合周期性画出的部分图象如图所示：
由图可得在上单调递增,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,函数的定义域为,
又,
所以为偶函数,当时,令,
得,即,画出函数的图象,
又,,,
所以与在上的图象只有4个交点,
即在上只有个零点,
根据偶函数的对称性可得恰有个零点,故D正确．
故选：ACD.
13．答案：
解析：向量在向量上投影向量,
故答案为：.
14．答案：
解析：由图象可得,函数的最小正周期为,
,则,
,
,即,
由于,,
,故
故答案为：.
15．答案：
解析：函数可化为,
将它的图像向左平移个单位长度后得到函数,
因为的图像关于y轴对称,所以,解得：
所以,又,
所以的最小值为．
16．答案：
解析：因P是线段上的动点,不妨设,则,又,
则
,
又,故得：,解得：.
因,,于是由,
当且仅当时等号成立,即时,的最小值为.
故答案为：.
17．答案：（1）;
（2）
解析：（1）,为锐角,,
（2）,为锐角, ,
由得,
=
18．答案：（1）或
（2）
解析：（1）,,故可设,由,可得,
解得,
或．
（2）,, ,
与垂直, ,
,
．
19．答案：（1）
（2）10分钟
解析：（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面,最低点距离地面,
所以,所以,
又因为转一周大约需要,所以,
所以,
又因为,所以且,所以,
所以;
（2）因为,
令,则,
又因,所以,
所以,且分钟,
故摩天轮在运行一周的过程中,游客能有10分钟最佳视觉效果.
20．答案：（1）最大值2,此时x的集合为
（2）,;,
（3）
解析：（1）
即,
则当,
即时,取得最大值2,
所以使取得最大值时自变量x的集合为.
（2）令,
可得,
的单调递增区间是,,
令,可得,,
所以函数的对称中心为,.
（3）
可化为
,,
由题意,当时,
在区间上有两个解,,
,,
则,
由已知可得：
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为且,所以A是的中点,P是的中点,则M是的重心,
设,
所以,
;
（2）因为,,
所以,
,
,
,
由,得：,
所以,因为,,
所以,,
令,则在单调递减,
所以当时,t有最大值-3.
22．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）,
所以,
令,因为,则,
所以变为,函数的对称轴为,
当时,函数在上单调递增,时,函数有最小值;
当时,函数在上单调递增减,函数在上单调递增,
时,函数有最小值;
当时,函数在上单调递减,时,函数有最小值.
（2）即,所以,
令,所以化为：,
化为;
令,整理有：;
因为,作出简图如下
注意到,可得：当时,有两个根;当时,有一个根;
因为的图象与的图象有3个不同的交点,
所以有两个根,且一个根在内,一个根在内,
设,
则有：为关于a的二次函数,图象开口向上,对称轴为,
根据题意有：,即解得,
或,即 解得
综上所述：.