第14章 勾股定理 华东师大版数学八年级上册素养测试卷(含解析)

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第14章勾股定理素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.【数形结合思想】如图,点E是正方形ABCD内一点,∠AEB=90°.若AE=2,BE=3,则正方形ABCD的面积为 (　　)A.10　　　　B.13C.36　　　　D.1692.(2023福建宁德博雅培文学校月考)如图,网格中小正方形的边长均为1,A、B为网格线的交点,则AB的长为 (　　)A.3　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.123.(2023广东佛山南海瀚文外国语学校月考)下列各组数中,是勾股数的是 (　　)A.7,8,10　　　　 B.8,24,25C.8,15,17　　　　D.5,10,134.(2023山东枣庄峄城东方国际学校月考)三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是 (　　)A.等边三角形　　　　B.钝角三角形C.直角三角形　　　　D.锐角三角形5.用反证法证明:若abc=0,则a,b,c至少有一个为0,应该假设(　　)A.a,b,c没有一个为0B.a,b,c只有一个为0C.a,b,c至多一个为0D.a,b,c三个都为06.【作垂直法】(2023山西太原实验中学月考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是 (　　)A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.67.【新考法】(2023山东聊城实验中学期中)如图,数轴上点A、B、C分别表示数1、2、3,过点C作PQ⊥AB,以点C为圆心,BC长为半径画弧,交PQ于点D,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交数轴于点M,则点M表示的数是 (　　)A.3+1　　　　B.5+1C.3　　　　 D.58.【教材变式·P127T5】如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6,则最大正方形E的面积是 (　　)A.20　　　 　B.26　　　　C.30　　　 　D.529.【易错题】(2023福建宁德博雅培文学校月考)在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD的长为12,则△ABC的面积为(　　)A.84　　　　 B.24C.24或84　　　　D.42或8410.【数学文化】美国数学家加菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法,如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,E是边BC上一点,且BE=CD=a,AB=EC=b.如果△ABE的面积为1,且a-b=1,那么△ADE的面积为 (　　)A.1　　　 　B.2　　　　C.2.5　　　 　D.5二、填空题(每小题3分,共24分)11.(2022河南新乡原阳月考)用反证法证明“一个五边形不可能有4个内角为锐角”.第一步应假设　　　　　　　　　　. 12.在△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=24,则BC=　　　　. 13.【新独家原创】如图,将两个完全相同的含30°角的直角三角板拼接在一起,拼接后得到△ABD.若BC=1,则AC=　　　　. 14.(2022福建漳州八中期中)若△ABC的三边长为a,b,c,且满足a-6+|b-8|+(c-10)2=0,则这个三角形为　　　　. 15.(2022河南三门峡灵宝期中)将没有公因数的勾股数3,4,5扩大为原来的2倍,3倍,4倍,……,可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;……,我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出三组基本勾股数:　　　　　　,　　　　　　,　　　　　　. 16.【蚂蚁爬行模型】如图,一圆柱高8 cm,底面半径为2 cm,BC为底面直径,且点A、B、C位于同一轴截面,一只蚂蚁打算从点A处爬到点B处吃食物,则它要爬行的最短路程(π取3)是　　　　. 17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s,当t=　　　　时,△ABP为直角三角形. 18.【规律探究题】图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,现把图2中的直角三角形继续作下去,则OA4=　　　　,OAn=　　　　;若OA3·OAn的值是整数,且1≤n≤80(n≠3),则符合条件的n有　　　　个.  图1 图2三、解答题(共46分)19.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D是BC的中点,DE⊥AC,垂足为E,求DE的长. 20.【新独家原创】(6分)如图,已知△ABC中,AB=17 cm,BC=13 cm,D是AB上一点,连结CD,且CD=12 cm,BD=5 cm.求∠A的度数. 21.【新情境·婴儿车】(6分)如图所示的是某品牌婴儿车的简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD,现测得AB=CD=6 dm,BC=3 dm,AD=9 dm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD=90°),通过计算说明该车是否符合安全标准. 22.(8分)已知图中的小方格都是边长为1的小正方形.(1)如图1,△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上,试判断△ABC的形状,并加以证明;(2)如图2,利用(1)的图形特征,求出∠α+∠β的度数. 　 图1 图223.【国防形势与任务】(8分)钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土,我国对钓鱼岛的巡航已经常态化.如图,甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口P出发,各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航,若甲船每小时航行12海里,乙船每小时航行16海里,它们离开港口2小时后分别位于点Q、R处,且相距40海里,如果知道甲船沿北偏东75°方向航行,那么你知道乙船沿哪个方向航行吗?请说明理由. 24.【赵爽弦图模型】(12分)图甲是一个任意直角三角形ABC,它的两条直角边的长分别为a,b,斜边长为c.如图乙、丙,分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形,放在边长为a+b的正方形内.　 　 图甲 图乙 图丙(1)图乙、丙中①②③都是正方形,由图可知①是以　　　　为边长的正方形,②是以　　　为边长的正方形,③是以　　　　为边长的正方形; (2)图乙中①的面积为　　　　,②的面积为　　　　,图丙中③的面积为　　　　; (3)图乙中①②的面积之和为　　　　(用只含一个字母的代数式表示); (4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系?为什么?直角三角形三边长有什么关系?答案全解全析一、选择题1.B　∵∠AEB=90°,∴AB2=AE2+BE2=22+32=13,∴正方形ABCD的面积=AB2=13,故选B.2.B　AB=32+42=5,故选B.3.C　A.∵72+82≠102,∴不是勾股数,不符合题意;B.∵82+242≠252,∴不是勾股数,不符合题意;C.∵82+152=172,且8,15,17都是整数,∴是勾股数,符合题意;D.∵52+102≠132,∴不是勾股数,不符合题意.故选C.4.C　化简(a+b)2=c2+2ab,得a2+b2=c2,所以这个三角形是直角三角形,故选C.5.A　反证法证明:若abc=0,则a,b,c至少有一个为0,应该假设a,b,c没有一个为0,故选A.6.A　∵∠A=90°,AB=4,BD=5,∴AD=52-42=3.∵BD平分∠ABC,∴点D到BC的距离=AD=3.故选A.7.B　根据数轴可知,AC=3-1=2,BC=CD=3-2=1,由勾股定理得,AD=22+12=5,∴AM=AD=5,设原点为O,∵点A表示的数为1,∴AO=1,∴OM=5+1,故选B.8.B　根据勾股定理的几何意义,可得最大正方形E的面积=A、B的面积和+C、D的面积和,即6+10+4+6=26.故选B.9.C　解题时想当然认为此三角形是锐角三角形而导致漏解.分两种情况:①△ABC为锐角三角形时,高AD在△ABC的内部,如图1,∴BD=AB2-AD2=9,CD=AC2-AD2=5,∴△ABC的面积=12×(9+5)×12=84. 图1 图2②△ABC为钝角三角形时,高AD在△ABC的外部,如图2,∴BD=AB2-AD2=9,CD=AC2-AD2=5,∴△ABC的面积=12×(9-5)×12=24.综上,△ABC的面积为24或84.故选C.10.C　∵AB∥CD,∠B=90°,∴∠C=∠B=90°,∵BE=CD=a,AB=EC=b,∴△ABE≌△ECD,∴AE=DE,∠AEB=∠EDC,∵∠EDC+∠DEC=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠AED=90°,∴△AED是等腰直角三角形,∴△ADE的面积=12AE2,∵△ABE的面积为1,∴12ab=1,∴ab=2,∵a-b=1,∴(a-b)2=a2+b2-2ab=1,∴a2+b2=5,AE2=AB2+BE2=a2+b2=5,∴△ADE的面积=12×5=2.5,故选C.二、填空题11.答案　一个五边形中有4个内角为锐角解析　假设原结论不成立,即一个五边形中有4个内角为锐角.12.答案　7解析　由勾股定理得BC=AB2-AC2=252-242=7.13.答案　3解析　由题意得AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.又∵∠BAC=∠CAD=30°,∴BD=2BC,∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AB=BD=2BC,∵BC=1,∴AB=2.在Rt△ABC中,AC=AB2-BC2=22-12=3.14.答案　直角三角形解析　∵a-6+|b-8|+(c-10)2=0,∴a=6,b=8,c=10,∴c2=a2+b2,∴这个三角形是直角三角形.15.答案　5,12,13;8,15,17;9,40,41(答案不唯一)解析　所给答案中,每组应为三个没有公因数的正整数,且满足a2+b2=c2.16.答案　10 cm解析　沿AC将侧面展开如图所示,由两点之间线段最短可知,蚂蚁要爬行的最短路程是AB的长.易知圆柱的半个侧面是长方形,长方形的宽BC=12×2×2π=2π=6 cm,矩形的长AC=8 cm,在直角三角形ABC中,AC=8 cm,BC=6 cm,根据勾股定理得AB=62+82=10 cm,所以蚂蚁要爬行的最短路程是10 cm.17.答案　2或258解析　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,∴BC=AB2-AC2=52-32=4 cm,由题意知BP=2t cm.①当∠APB为直角时,如图1,点P与点C重合,此时BP=BC=4 cm,即2t=4,∴t=2;②当∠BAP为直角时,如图2,CP=(2t-4)cm,∵AC=3 cm,∴在Rt△ACP中,AP2=32+(2t-4)2,∵在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,∴52+[32+(2t-4)2]=(2t)2,解得t=258.综上所述,当t=2或258时,△ABP为直角三角形.故答案为2或258. 图1 图218.答案　2;n;4解析　由勾股定理得OA2=OA12+A1A22=12+12=2,同理可得OA3=3,OA4=4=2,……,∴OAn=n,∴OA3·OAn=3n,当1≤n≤80(n≠3),且3n为整数时,整数n有12、27、48、75,共4个.三、解答题19.解析　在△ABC中,AB=AC=13,D是BC的中点,∴DC=12BC=5,AD⊥BC.在Rt△ADC中,由勾股定理得AD=AC2-DC2=132-52=12.∴Rt△ADC的面积为12AD×DC=12DE×AC,∴12×12×5=12DE·13,解得DE=6013.20.解析　∵BC=13 cm,CD=12 cm,BD=5 cm,52+122=132,∴BD2+CD2=BC2,∴△BCD为直角三角形,∠BDC=90°,∴∠ADC=90°.∵AB=17 cm,BD=5 cm,∴AD=12 cm=CD,∴∠A=∠ACD=180°-∠ADC2=180°-90°2=45°.21.解析　在Rt△ABD中,BD2=AD2-AB2=92-62=45,在△BCD中,BC2+CD2=32+62=45,∴BC2+CD2=BD2,∴△BCD为直角三角形,∠BCD=90°,∴BC⊥CD.故该车符合安全标准.22.解析　(1)△ABC是等腰直角三角形.证明:由勾股定理得,AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,∴AB2+BC2=AC2,AB=BC,∴△ABC是等腰直角三角形.(2)作辅助线如图.由(1)可知△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,易知∠1=∠α,∴∠α+∠β=∠1+∠β=45°.23.解析　乙船沿南偏东15°方向航行.理由:由题意可得∠APQ=75°,PQ=12×2=24(海里),PR=16×2=32(海里),在△PQR中,∵PQ2+PR2=242+322=1 600,QR2=402=1 600,∴PQ2+PR2=QR2,∴△PQR是直角三角形,且∠QPR=90°,∴∠BPR=180°-∠APQ-∠QPR=180°-75°-90°=15°,∴乙船沿南偏东15°方向航行.24.解析　(1)a;b;c.(2)a2;b2;c2.(3)c2.(4)题图乙中①②的面积之和等于题图丙中③的面积.因为题图乙的大正方形面积=①的面积+②的面积+4S△ABC,题图丙的大正方形面积=③的面积+4S△ABC,且题图乙、丙的大正方形面积相等,所以题图乙中①②的面积之和等于题图丙中③的面积.直角三角形三边长满足a2+b2=c2.