广东省广州市重点中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份广东省广州市重点中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。
1．若是成比例线段，其中，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
3．如图，点在的边上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
5．如图，中，点分别在边上，，若，则长是（ ）
A．4 B． C．2.5 D．4.5
6．如图，点在双曲线上，轴于，且的面积，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
8．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．14 B．12 C．6 D．4
10．如图，在矩形中，过点作对角线的垂线并延长，与的延长线交于点，与交于点，垂足为点，连接，且，则下列结论正确的有（ ）个
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．若，则_________．
12．一元二次方程的解是_________．
13．若菱形的两条对角线长分别是8和6，则菱形的面积是_________．
14．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则_________．
15．反比例函数图象过两点，若，则_________．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题7分，共24分。
16．解下列方程：
（1）（用配方法） （2）．
17．一个盒子中有1个红球，1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同，如果从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色（红色与蓝色配成紫色）的概率．
18．某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围；
（2）如果要求压强不超过，选用的木板的面积至少要多大？
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．已知：如图，在中，（1）尺规作图，求作中点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法）。
（2）连结，若．求证：四边形是矩形．
20．某公司2月份销售新上市的产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售产品每次的增长率；
（2）若产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套产品需降价多少？
21．《海岛算经》是中国历史上最杰出的数学家刘徽留给后世最宝贵的数学遗产，《海岛算经》的第一个问题的大意是：要测量海岛上一座山峰的高度，立两根高3丈的标杆和，两杆之间的距离步，成一线：从处退行123步到，人的眼睛贴着地面观察点，三点成一线；从处退127步到，从观察点，三点共线，试计算山峰的高度及的长（这里1步尺，1丈尺），结果用尺表示．
根据问题描述画图形如图所示，请利用相似三角形求出线段和的长．（结果用尺表示）
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分。
22．综合实践：探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_________（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为，则依题意，联立得，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？并说明理由
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；
c．请写出当结论成立时的取值范围？
23．综合探究：
（1）正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．
（2）如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点．
①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由．
②若，当点与点重合时，求的长．
图1 图2 图3 备用图