广东省广州市花都区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份广东省广州市花都区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共23页。

1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．）
1．下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1=0B．x2+5=0C．x3+x=3D．ax2+bx+c=0
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．某班第一小组7名同学的毕业升学体育测试成绩(满分30分)依次为：25，23，25，23，27，30，25，这组数据的中位数和众数分别是( )
A．25，23B．23，23C．23，25D．25，25
4．如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径的长是，净高为，则此路面宽为（ ）．
A．7B．8C．9D．10
5．如图，D，E分别是的边，上的点，且，交于点F．，则的值为（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
6．若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1
8．如图，的直径过弦的中点G，，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线与直线交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线的顶点坐标是 ．
12．如图，在ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 ．
13．小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做实验进行研究，得到如下的数据：
请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 ．
14．若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是 ．
15．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是
16．如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论：
①
②是等腰直角三角形
③
④
正确的有 ．
三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．解方程：．
18．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限画出，使它与的相似比是2．
19．一天晚上，小明帮助妈妈清洗两只有盖茶杯，一只为黑色，另一只为灰色，突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．求颜色搭配正确概率的是多少．
20．学校生物小组有一块长m，宽m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的人行道（如图），要使种植面积为：，人行道的宽应是多少米？
21．如图，是的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，，．求证：直线是的切线．
22．如图，二次函数图象经过点、、．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)观察函数图象，试直接写出时，的取值范围．
23．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．

(1)求证：．
(2)这个正方形零件的边长是多少？
24．已知点在函数的图像上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到x轴的距离为；
②若，平面内是否存在点F，使得以点M、N、G、F为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点F的坐标（说明理由）．
25．阅读：如图1，点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，长度为5，则根据：，得到点P到点A的最短距离为：．
解决问题：
(1)如图2，已知正方形的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P．
①证明：．
②求点P到点C的最短距离．
(2)如图3，在平面直角坐标系中，等边的边在x轴正半轴上，点，，点D从B点出发，沿运动到O，点E同时从O点以相同的速度出发，沿运动到A，连接，交点为F，M是y轴上一点，求的最小值．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
【详解】解：A、该方程的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
故选B.
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．C
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误；
B．不是中心对称图形，故B错误；
C．是中心对称图形，故C正确；
D．不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．D
【详解】解：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间的两个数的平均数），众数是这一组出现最多的数，从小到大重新排列：23，23，25，25，25，27，30，所以最中间的那个是25，即中位数是25，这一组出现最多的数是25，所以众数是25，
故选D
4．B
【分析】本题主要考查垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据题意得到，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：根据题意得到，
在中，，
，
故选B．
5．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据推出，从而根据三角形的性质得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选C．
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．据此逐个判断即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
故A正确，符合题意，B、C、D不正确，不符合题意；
故选：A．
7．D
【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可．
【详解】由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
8．D
【分析】本题主要考查垂弦定理、圆心角与圆周角的关系，根据垂径定理可得出两弧相等，然后根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出结论即可．
【详解】解：∵的直径过弦的中点G，
∴，
∴
，
∴.
故选D．
9．C
【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长．
【详解】解：由图知，底面直径为5，则底面周长l为，母线长为8，
所以侧面展开图的面积，
故选：C．
【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，比较简单．
10．A
【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．
【详解】解：如图
∵抛物线y=x2-x-与直线y=x-2交于A、B两点，
∴x2-x-=x-2，
解得：x=1或x=，
当x=1时，y=x-2=-1，
当x=时，y=x-2=-，
∴点A的坐标为（，-），点B的坐标为（1，-1），
∵抛物线对称轴方程为：x=-=
作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，
连接A′B′，
则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，
∴BF=B′F，AE=A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，
延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C=++（1-）=1，B′C=1+=，
∴A′B′=．
∴点P运动的总路径的长为．
故选A．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．
11．(2, 1)
【分析】利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标．
【详解】
=
，
抛物线开口向上，当x= 2时，y最小= 1，
顶点坐标是：(2, 1)，
故答案为：(2, 1)．
【点睛】此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标，根据题意正确的将二次函数进行配方是解决问题的关键．
12．6
【详解】∵DE∥BC，
∴，
∵AD：DB=1：2，DE=2，
∴，
解得：BC=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线和其所截线段得出比例式是解题关键．
13．
【分析】本题主要考查用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据用频率估计概率即可得到答案．
【详解】解：观察数据可得，“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是，即．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据反比例函数的图像和性质解题即可．
【详解】解：，
故反比例函数经过一、三象限，
所以每一象限y随x的增大而减小，
所以，
故答案为：．
15．20％
【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．
【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．
根据题意，得100（1-x）2=64，
即（1-x）2=0.64，
解得x1=1.8，x2=0.2．
因为x=1.8不合题意，故舍去，
所以x=0.2．
即每次降价的百分率为0.2，即20%．
故答案为20%．
16．①②④
【分析】本题主要考查圆的性质，弦、弧和角度之间的关系，熟练掌握圆的性质是解题的关键．根据圆的相关性质进行求解即可．
【详解】证明：弦平分圆周角，
，
，故①正确；
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，故②正确；
作的延长线于点，于点，
，
，
四边形是矩形，
，
即，
弦平分圆周角，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，
，
同理可得，
，故③错误；
，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
17．，
【分析】根据完全平方公式，运用直接开方法解方程．
【详解】解：
配方法，，
直接开方，
当时，；当时，，
∴原方程的解为，．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式的配方法，直接开方法解方程是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题考查了画位似图形，先画出点A和点B以原点O为位似中心的对应点，再依次连接即可．
【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，，在第三象限，且与的相似比是2，
∴，
如图所示：即为所求；
19．
【分析】本题主要考查树状图求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．列举出所有情况，找出符合条件的情况即可．
【详解】解：一共有四种等可能结果，其中，两种情况符合题意，
∴颜色搭配正确概率的是．
20．米
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设人行道的宽应是米，列方程即可求解．
【详解】解：设人行道的宽应是米，
由题意得：，
解得：（舍去）
∴人行道的宽应是米．
21．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边对等角，连接，证明得出，由等边对等角得出，从而得出，推出，由平行线的性质得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
直线是的切线．
22．(1)
(2)当时，的取值范围为：或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象即可得出答案．
【详解】（1）解：二次函数图象经过点、、，
，
解得：，
二次函数的解析式为：；
（2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或．
23．(1)见解析
(2)这个正方形零件的边长是
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由正方形的性质可得，从而得出，由相似三角形的性质可得，即可得证；
（2）设这个正方形零件的边长是，则，，由（1）可得，代入数据进行计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
；
（2）解：设这个正方形零件的边长是，则，
，
由（1）得：，
，
解得：，
这个正方形零件的边长是．
24．(1)2
(2)①；②、、．
【分析】本题属于反比例函数和二次函数综合运用，主要考查了二次函数的性质、解直角三角形、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）把代入求得n的值即可；
（2）①根据二次函数的对称性可求得对称轴，然后再根据二次函数的性质求得顶点坐标，再根据点E到x轴的距离为列方程求得m的值，最后根据反比函数图像所在的象限，确定符合题意的m值；②先根据题意求得、，然后分为平行四边形的对角线和边两种情况，分别根据平行四边形的性质解答即可．
即可求解；
【详解】（1）解：∵点在函数的图像上，
∴，
把代入可得．
故n的值为2．
（2）解：①∵，
∴该函数图像开口方向向上，对称轴为：，
当时，抛物线有最小值：，
∴抛物线的顶点坐标，
∵点E到x轴的距离为，
∴，即，
∵
∴，解得：，
∵，
∴函数图像在第二象限，即：，
∴；
②∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
a.如图：当为平行四边形的对角线时，设，
则有：，即，解得：，
∴；
b.如图：当为平行四边形的一边时，设，
由图可知：分别为点G向左或右平移所得到的，
∴．
综上，点F的坐标为、、．
25．(1)①见解析；②
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质、圆的性质等知识点，学会用转化的思想思考问题是解题的关键．
（1）①运用正方形的性质结合即可证明结论；②如图：取中点O，连接．先说明，则点P在以为直径的上运动，然后求的最小值转化成求得最小值，据此解答即可；
（2）先证明可得，进而说明；如图：作的外接圆，连接，将求的最小值转化成求，据此解答即可．
【详解】（1）解：①∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
②如图：取中点O，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的上运动，
∵，，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
（2）解：∵点D从B点出发，沿运动到O，点E同时从O点以相同的速度出发，沿运动到A，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图：作的外接圆，连接,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为定三角形，一定，，，
∴为定三角形，
∴确定不变，
当点M为y轴一定点，则一定，所以当在同一条直线上时，有最小值，
由垂线段最短可知：当轴，最小，
如图：作于K，
∵为等边三角形，，
∴，即，
当轴时，轴，轴，,
∴四边形是矩形，
∴，
连接，
∵，,
∴垂直平分,
∵，
∴，
∴，
∴
∴的最小值为．
掷图钉的次数
10
100
300
500
800
1000
针尖朝上的频率