第05讲 一元二次方程根的判别式、根与系数关系（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）教师版

这是一份第05讲 一元二次方程根的判别式、根与系数关系（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）教师版，共27页。试卷主要包含了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆0， a+cb >0， ac+b >0， acb 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当0，方程有两个不相等的实数根；
B、△=4>0，，方程有两个不相等的实数根；
C、 △=−30，方程有两个不相等的实数根；
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．（2021·上海长宁·）已知为实数，则关于的方程的实数根情况一定是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根D．没有实数根
【答案】C
【分析】计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：∵a＝1，b＝－(m－2)，c＝－2m，
∴
，
∵，
∴，
∴方程有两个实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2－4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
7．（2019·上海八年级期中）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5
【答案】C
【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
二、填空题
8．（2020·上海普华教育信息咨询有限公司）已知关于的一元二次方程有个不相同的实数根，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有个不相同的实数根，
∴△=
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9．（2020·上海松江·八年级期末）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由题意得：一元二次方程根的判别式的值大于零，列出关于m的不等式，即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式的值大于零，是解题的关键．
10．（2021·上海奉教院附中八年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】且．
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
又∵该方程为一元二次方程，
，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．
11．（2021·上海徐汇区·）如果关于是方程有两个相等的实数根，那么的值等于__________．
【答案】
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．
【详解】解：∵方程x2-x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4m=0，
解得m=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2-4ac＜0时，方程无实数根．
12．（2020·上海浦东新区·八年级期中）关于x的方程kx2+3x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】k
【分析】分类讨论，当k≠0时与当k＝0时即可．
【详解】解：当k≠0时，△＝9﹣4k≥0，∴k，
∴k且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为3x+1＝0，满足题意，
故答案为：k．
【点睛】本题考查方程有根的情况,关键在于分类讨论．
13．（2020·上海市澧溪中学）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据判别式的意义得到△＝（−2）2−4×3×m＞0，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得△＝（−2）2−4×3×m＞0，
解得m＜．
故答案为：m＜．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校）当______时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【答案】m＜且m≠0．
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m＞0，解不等式组，确定m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m＞0，
解得m＜且m≠0，
故当m＜且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相等的实数根．
故答案是：m＜且m≠0．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
15．（2020·上海市育才初级中学）关于的方程有两个相等的实数根，则_______．
【答案】-1
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得判别式△=0，可得关于k的一元二次方程，解方程求出k值即可得答案．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：k1=k2=-1，
故答案为：-1．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；熟练掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
16．（2020·上海松江区·）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)当方程一个根为时，求的值以及方程的另一个根．
【答案】（1）且；（2），方程的另一个根为
【分析】（1）根据题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）根据题意先求出m的值，然后利用一元二次方程根与系数的关系求出另一个根即可．
【详解】解：（1）由题意得：
，且，
解得：且；
（2）把方程一个根为代入方程得：
，解得：，
设另一个根为a，根据韦达定理可得：，
解得：，
∴方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
17．（2020·上海外国语大学附属双语学校八年级期中）已知关于x的一元二次方程，
（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求方程的解．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可知：m≠0，然后求出，利用平方的非负性即可证出结论；
（2）令=1，列出方程即可求出m的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义，可知：m≠0，
=
=
=
=
∴无论m为任意实数，方程总有实数根；
（2）由题意可得=1
即=1
整理，得
∴
解得：m1=2，m2=0（不符合题意，舍去）
将m=2代入一元二次方程，得
解得：．
【点睛】此题考查的是判断一元二次方程根的情况和解一元二次方程，掌握根的判别式与根的情况的关系和利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．
18．（2020·上海金山区·八年级期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．
【答案】m的值为，方程的根为
【分析】首先根据根与系数的关系求出m的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根，
，
．
当时，，
，
，
∴m的值为，方程的根为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，掌握根与系数的关系是关键．
19．（2020·上海闵行区·）已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值；
（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围；
【答案】（1）且；（2）；（3）．
【分析】（1）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得；
（2）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得；
（3）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得．
【详解】方程是关于x的一元二次方程，
，
解得，
（1）如果方程有两个不相等的实数根，
则其根的判别式，
解得，
故此时m的取值范围为且；
（2）如果方程有两个相等的实数根，
则其根的判别式，
解得；
（3）如果方程没有实数根，
则其根的判别式，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键．
20．（2020·上海八年级期中）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及方程的根．
【答案】m=-2，
【分析】先将一元二次方程化为一般式，然后根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式和等式即可求出m的值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
移项，得
由题意可得
解得：m=-2
∴该一元二次方程为
整理，得
解得：．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程的定义和根的判别式，求方程中的参数及解一元二次方程，掌握一元二次方程的定义、根的判别式和利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．
21．（2020·上海普华教育信息咨询有限公司）关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．
【答案】实数的取值范围为且．
【分析】根据判别式即可求出m的取值范围．
【详解】∵，，，
∴，
且，即．
解得：且．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程()的根与的关系是解答此题的关键．
22．（2020·上海市育才初级中学）已知关于的方程，当取何值时，此方程
（1）有两个不相等的实数根；
（2）没有实数根．
【答案】（1）； （2）．
【分析】先化方程为一般形式，它是关于x一元二次方程，据一元二次方程判别式和根的情况列出关于k的不等式求解．
【详解】方程化为：，
．
（1）当，时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当，时，方程没有实数根．
【点睛】此题考查一元二次方程的判别式，其关键是撑握判别式与一元二次方程根情况的关系，并据此和题意列出不等式．
23．（2020·上海浦东新区·八年级期中）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两根，求m的值．
【答案】12
【分析】分类讨论：当a为底，b，c为腰时，当a为腰时，则b＝4或c＝4两种情况进行求解．
【详解】解：等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b＝c，若b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两个实数根，
则△＝（﹣m）2﹣12m＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝12；
当a为腰时，则b＝4或c＝4，若b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两个实数根，
则42﹣4m+3m＝0，
解得：m＝16；
此时x＝4或12，三角形三边为4，4，12，
∵4+4＜12
∴不满足三角形三边关系，应舍去，
故m的值为12．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及一元二次方程根的情况考查，关键在于掌握分类，以及解一元二次方程．