第04讲 一元二次方程的概念与解法（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）学生版

这是一份第04讲 一元二次方程的概念与解法（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）学生版，共8页。试卷主要包含了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，解一元二次方程-直接开平方，解一元二次方程-配方法，解一元二次方程-因式分解法，解一元二次方程-公式法等内容，欢迎下载使用。

一、一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二、一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三、一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
四、解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五、解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六、解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

七、解一元二次方程-公式法
（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
一元二次方程的定义
关于的方程，当 时，是一元一次方程；当 时，是一元二次方程．
一元二次方程的一般形式
已知一元二次方程，则它的二次项系数为 ，一次项为 ，常数项为 ．
若关于的一元二次方程没有一次项，则 ．
：一元二次方程的解
若是关于的方程的解，则代数式的值是 ．


（2021•汝阳县一模）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为 ．
解一元二次方程-直接开平方、配方法
（2021•南充一模）方程的解是
A．B．C．，D．，
若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．
（2021•岳阳二模）方程的根是 ．
（2021•丽水）用配方法解方程时，配方结果正确的是
A．B．C．D．
一元二次方程经过配方后可变形为
A．B．C．D．
解一元二次方程-因式分解法
（2021•新疆）一元二次方程的解为
A．，B．，C．，D．，
（2021•天津模拟）一元二次方程的解是
A．B．，
C．，D．，
解一元二次方程-求根公式法
用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为
A．3，，8B．3，，C．3，4，D．3，4，8
是下列哪个一元二次方程的根
B．C．D．

（2021春•招远市期中）按要求解下列方程：
（配方法）； （2）（公式法）．






一、单选题
1．（2021·上海奉教院附中八年级期末）下列关于x的方程一定有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）若，是方程的一个根，则值满足（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）下列方程中，满足两个实数根的和为2的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·上海民办浦东交中初级中学）已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判断
二、填空题
5．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）当_______时，方程不是一元二次方程．
6．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）已知关于的方程的一个根是-2，则它的另一个根是_______．
7．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）若x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，则（x12+x1-2）（x22+x2-2）的值为_______．
8．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）方程的二次项是_______；一次项系数是_______．
9．（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）在实数范围内，已知，则的值是______．
10．（2020·上海金山区·八年级期中）方程的根是_________．
11．（2021·上海奉教院附中八年级期末）在实数范围内分解因式：______．
12．（2020·上海金山区·八年级期中）对于实数，定义运算“”：．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________．
13．（2019·上海市民办嘉一联合中学）方程的实数解为__________．
三、解答题
14．（2020·上海金山区·八年级期中）解方程：
．




15．（2020·上海市松江区民办茸一中学八年级月考）解方程：
（1）； （2）




16．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）已知关于的方程没有实数根，试判别方程的根的情况．



（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）用配方法解方程：




（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）解方程：



（2020·上海金山区·八年级期中）解方程：




（2019·上海市民办嘉一联合中学）解方程：
（公式法）




（2019·上海市民办嘉一联合中学）解方程：
（配方法）





22．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）在实数范围内因式分解
（1）； （2）．