辽宁省沈阳市于洪区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题（含解析）

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1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在边长为1的正方形网格中，点，都在格点上，则线段的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列命题中，假命题是（ ）
A．三角形的内角和等于B．对顶角相等
C．内错角相等D．如果直线，，那么直线
6．下列4组数值中，不是二元一次方程的解的是（ ）
A．B．C．D．
7．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过（ ）
A．点B．点C．点D．点
9．小强期末体育测试成绩得分情况如下表，4项成绩按照如图所示的比例确定最终成绩．
则小强的最终成绩为（ ）
A．90分B．95分C．96.25分D．96.5分
10．我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．9的算术平方根是 ．
12．的整数部分是 ．
13．甲、乙两选手的射击成绩如图所示，方差分别记为，，则 ．（填“>”“<”或“=”）
14．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ．

15．在中，，，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到，点的对应点为，当时，的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（1）计算：；
（2）解方程组：．
17．如图，在中，，，为边上的高，平分外角，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．为弘扬航天精神，普及航天知识，某校开展以“筑梦天宫 探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛．八年级的三个班各选出10名学生参加航天知识竞赛（满分10分），对成绩进行整理分析，得到如下信息：
Ⅰ．一班成绩：7，9，8，7，8，9，9，9，8，10；
Ⅱ．二班成绩：
Ⅲ．三班成绩：
Ⅳ．分析上述数据，得到下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：__________，__________，__________；
(2)综合上表中的统计量，你认为哪个班级参赛学生的成绩最好？请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)画出关于轴对称的；
(2)已知点为轴上一点，若的面积为，求点的坐标；
(3)若是第一象限内以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
20．每年的5月20日是中国学生营养日，营养专家建议学生早餐最好包括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物．小明根据专家的建议为自己搭配了一份的营养早餐，蛋白质总含量占，包括一个谷物面包，一个鸡蛋和一盒牛奶．他查阅了相关资料，蛋白质含量如下表所示：
其中一个鸡蛋60克，请计算小明这份营养早餐中需要谷物面包和牛奶各多少克？
21．某校八年级开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是小明同学活动报告的部分内容．
根据以上报告内容，解决下列问题：
(1)当时，求B套餐每月手机资费（元）与每月使用流量（GB）之间的关系式；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象；
(3)根据图象可知：当__________时，选择A套餐更合适；当__________时，选择B套餐更合适．
22．【问题初探】
（1）数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，为的中点，求中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到如下解题思路：
如图2，延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围是__________．
【类比分析】
（2）老师发现小明的解法运用了转化思想，当题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的条件集中到同一个三角形中．为了帮助学生更好地感语转化思想，老师在图1条件不变的情况下，增加如下条件，并提出新问题，请你写出解答过程．
如图3，点在上，连接．若，求证：．
【学以致用】
（3）如图4，在图1条件不变的情况下，，，交边于点，交边于点，连接．若，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点P在线段上（点P不与点A，点C重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交直线于点N．设点P的横坐标为m，线段MN的长度为l．
①求l与m之间的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
②连接，当时，请直接写出l的值．
参考答案与解析
1．C
【详解】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
因此的相反数是．
故选C．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理，建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可．
【详解】解：如图所示：
，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了第二象限的点坐标的特征．熟练掌握第二象限的点坐标为是解题的关键．
根据第二象限的点坐标为，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，手在第二象限，
∴是可能的点坐标，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了二次根式的加减运算、乘法运算，算术平方根．熟练掌握二次根式的加减运算、乘法运算，算术平方根是解题的关键．
根据二次根式的加减运算、乘法运算，算术平方根对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：，A错误，故不符合要求；
，B正确，故符合要求；
，C错误，故不符合要求；
，D错误，故不符合要求；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查的是命题的真假判断，根据三角形内角和定理、对顶角的性质、平行线的性质、平行线的判定判断即可．
【详解】解：A、三角形的内角和等于，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故本选项命题是假命题，符合题意；
D、如果直线，，那么直线，是真命题，不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】本题科考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的值，即为二元一次方程的解，据此即可作答．
【详解】解：A、把代入，则，故不是二元一次方程的解；
B、把代入，则，故是二元一次方程的解；
C、把代入，则，故是二元一次方程的解；
D、把代入，则，故是二元一次方程的解；
故选：A
7．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质解答，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查一次函数的图象．由条件可以判断一次函数图象一定经过第一、二、四象限，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，一次函数图象一定经过第一、二、四象限，即不经过第三象限，
∴其图象不可能经过C点，
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】解：小强的最终成绩为：（分）．
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．
由将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺可得，由将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺可得，然后列方程组即可．
【详解】解：由题意知，符合题意的方程组为，
故选：A．
11．3
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．
【详解】∵，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
12．2
【分析】本题考查了估算无理数的大小根据算术平方根的定义得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴的整数部分是2．
故答案为：2．
13．>
【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
故答案为：>．
14．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），即两直线的交点与二元一次方程组的解，结合图象，交点的横坐标为2，再把代入，求出的值，即可作答．
【详解】解：∵交点的横坐标为2
∴再把代入
∴
∵在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，
∴关于，的方程组的解为
故答案为：
15．或
【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，矩形的判定和性质．画出图形，并过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，先求出的长，进而求出，，的长，再在中，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：分两种情况：
①在内部时，如图，
过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，
，，，
，
由勾股定理，得，
四边形是矩形，
，，
设，
在中，
由勾股定理，得，
在中，
由勾股定理，得，
，
解得，
，，
，，
在中，
由勾股定理，得，
②在的外部时，如图，
过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，
类似①的方法可求出，
故答案为：或．
16．（1）（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程组：
（1）先运算乘法以及化简二次根式，得，合并同类二次根式，即可作答．
（2）运用加减消元法，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）
得，解得
把代入，得
∴
则
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角性质、勾股定理等知识：
（1）由，得，由平分，得，则，所以；
（2）由为边上的高，证明，由勾股定理得，则的长为．
【详解】（1）∵，
∴，
∵平分外角，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵为边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
18．(1)9，，8和9
(2)二班参赛学生的成绩最好，理由见解析
【分析】本题考查平均数、中位数、众数．
（1）先整理数据，然后根据众数、中位数的定义解答即可；
（2）根据平均数、众数以及中位数作出比较即可．
【详解】（1）一班的成绩：7，7，8，8，8，9，9，9，9，10，
∵9出现的次数最多，
则众数；
二班的成绩：6，7，7，8，8，9，9，10，10，10，
∵第5和第6个数据为8和9，
∴中位数；
三班的成绩：6，7，7，8，8，8，9，9，9，10，
∴众数和9．
故答案为：9，，8和9；
（2）∵平均数一班和二班相等且高于三班，中位数一班和二班相等且高于三班，二班的众数高于一班，
∴二班参赛学生的成绩最好．
19．(1)见解析
(2)点P的坐标为或
(3)点D的坐标或
【分析】本题主要考查轴对称变换，等腰直角三角形的判定，以及三角形的面积：
（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）先确定的高为1，根据面积为，由三角形面积公式可得底边长为3，从而可确定点P的坐标；
（3）先作出以为腰的等腰直角三角形，从而可确定点D的坐标
【详解】（1）如图，即为所作；
（2）如图，点P的坐标为或；
（3）如图，点D的坐标或
20．小明这份营养早餐中需要谷物面包120克，牛奶220克．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克，牛奶y克，根据小明根据专家的建议为自己搭配了一份的营养早餐，蛋白质总含量占10%，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克，牛奶y克，
根据题意得：
，
解得：，
答：小明这份营养早餐中需要谷物面包120克，牛奶220克．
21．(1)
(2)见解析
(3)，
【分析】本题主要考查了一次函数的应用：
（1）依据题意，当时，由题意代入计算可以得解；
（2）依据题意，结合（1）进行分析即可作图；
（3）依据题意，由（2）的图象进行判断可以得解．
【详解】（1）由题意得，．
（2）由题意，结合（1）当时，；当时，，进而作图如下．
（3）由题意，当时，选择A套餐更合适；当时，选择B套餐更合适．
故答案为：，．
22．（1）（2）见解析（3）
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，勾股定理以及三角形三边关系等知识：
（1）延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围；
（2）延长至点，使，连接．证明得,从而可得结论；
（3）延长到点G，使，连结，证明,得，推出，由勾股定理得,设，则代入上式求出x的值即可解决问题
【详解】（1）如图2，延长至点，使，连接，
∵点D是的中点，
∴
又
∴，
∴
在中，，即，
∴，
∴，
故答案为：
（2）延长至点，使，连接
同（1）可证,
∴,
∵
∴
∴
∴；
（3）延长到点G，使，连结，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴中，，
∴,
设，则，
∴，
解得，，
∴．
23．(1)
(2)①当时，，当时，；
②
【分析】（1）将点代入直线的解析式，求出a的值，得点E的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；
（2）①设点P的横坐标为m，则，，即可得l与m之间的函数表达式，由点P在线段上（点P不与点A，点C重合），可写出自变量m的取值范围；过点P作，交于Q，过点Q作轴于H，证明，可得，由Q在直线上，可求得m的值，代入①求得的函数表达式即可求解．
【详解】（1）解：将点代入直线的解析式，得，
，
设直线的函数表达式为，
将点，点代入得，
，解得：，
直线的函数表达式为；
（2）①如图，

过点P作x轴的垂线交直线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m，线段的长度为l，
，，
，
直线的解析式，
令，则，解得，
，
点P在线段上（点P不与点A，点C重合），点，
，
l与m之间的函数表达式为，自变量m的取值范围；
②如图，过点P作，交于Q，过点Q作轴于H，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
直线的解析式，
令，则，
，
，
，
，
在直线：上，
，解得，
代入①求得的函数表达式得，
．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形．
测试项目
1000米跑
一分钟跳绳
立定跳远
篮球技能
测试成绩（分）
95
90
100
100
竞赛成绩
6
7
8
9
10
人数
1
2
2
2
3
统计量
平均数
众数
中位数
一班
二班
10
三班
8
食物
谷物面包
鸡蛋
牛奶
蛋白质含量占比
项目主题
哪一款手机资费套餐更合适
调查方式
资料查阅，实际访谈
调查内容
套餐名称
套餐内容
超出套餐资费
月费
流量
语音
流量
语音
A
90元
30GB
500分钟
3元/GB
0.1元/分钟
B
150元
60GB
1000分钟
套餐说明：
1．月资费=月费+超出套餐资费（流量超出费+语音超时费）．
2．套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费．
访谈内容
收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过300分钟．
建立模型
1．语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费（元），每月使用流量（GB）．
A套餐：当时，；
B套餐：当时，__________；
2．为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象（如下图）．