2024届云南省曲靖市第一中学高三上学期第五次月考数学word版含答案

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一、单选题：
1．B
2．C
3．D
4．C
5．A
6．B
7．A
8．C
二、多选题：
9．ABD．
10．BC
11．AD
12．ACD
三．填空题：
13．8 14．
15．3（3和4中任一填一个即为满分）
16．
17．【解答】（1）因为，，所以．
又因为，所以根据正弦定理得：，所以．（4分）
（2）因为，
展开可得：，即，所以．
因为，
所以．（10分）
18．【解答】（1）证：连接BD交AC于G，再连接EG．
因为，所以与相似，所以，
所以G为BD边上靠近D的三等分点．
又因为，所以E为BP边上靠近P的三等分点．
即EG是的一条三等分线，即．
∵面，面，∴面．（5分）
（2）由题可得：平面，，即可得到三条两两相互垂直的直线AP，AB，AD．
故如图所示建立空间直角坐标系．
则，，，，
设，则，．（7分）
设面的法向量为，则，
令，则，，
所以面的法向量为．（9分）
又因为，所以设直线PF与平面所成角为，
则：，（11分）
所以为所求．（12分）
19．【解答】（1）由题可得：，1，2，3，
可得：每次捉到红鲤鱼的概率为．
易知，；；
；．（4分）
分布列如表所示：
所以．（6分）
（2）每次捉鱼，捉到红鲤鱼的概率为，则捉到黑鲤鱼的概率为．
所以，其中且，（8分）
令，则，
故在上为增函数，在上为减函数，
所以．（10分）
又因为且，所以验证，，
所以，所以．（12分）
20．【解答】（1）由题可得：数列是等差数列，
所以可得，
所以．即数列的通项公式为：．（4分）
（2）因为数列是等差数列，且满足，
所以．（6分）
又因为，则化简得：，可构造．（8分）
又因为，所以，即是以3为首项，公比为3的等比数列．（10分）
所以，即．所以．（12分）
21．【解答】（1）因为与抛物线相交，
所以将直线与抛物线方程联立得，，．
因为，所以，
所以，抛物线的方程为．（4分）
（2）由题易知直线，，斜率一定存在．
设，，．
则直线的方程为：，
即，即．（6分）
因为直线与圆相切得：，
平方化简得：，
看成关于，为变量的式子得：，
同理得直线与圆相切，化简式子后得：，
所以可以同构出直线的方程为：，（10分）
则所以圆心到直线的距离为：（定值），
此时圆C与直线恒切（12分）
22．【解答】（1）对以及分别求导得：
，．其中要保证，存在最大值，
则，需要先正后负，因此．
对于，令得，
所以在上，为增函数；在，上，为减函数．
所以．（2分）
对于，令得，
所以在上，为增函数；在上，为减函数．
所以．（4分）
现要保证与有相同的最大值．
即保证，即，所以，
因为，所以．（5分）
（2）提供一种相对简单易行的解法（同构）：
先证明存在使得其与两条曲线和共有三个不同的交点．
首先根据第一问的单调性可以将图像，绘画出来，
此处需要以下极限值的判定：，；
，，如图所示：
显然当时，使得其与两条曲线和会各交两个点．
再次，下证存在可与曲线和共交三个点．即中间两个点可以重合．
结合图象可令，即，即，
即证：在上存在零点即可，
易知，；
，故在存在，
则可与曲线和共交三个点．（8分）
最后，设从左到右的交点分别为，，，
因为由（1）知，．
则易知．
所以得到以下两个等式：，容易得到，
同时可以得到，显然，结合的图象知道；
同理知道，显然，结合的图象知道．
因此，
所以，原命题得证．（12分）X
0
1
2
3