2023-2024学年云南省曲靖市马龙一中高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年云南省曲靖市马龙一中高一（下）月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∃x∈R，x2−3x+3<0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2−3x+3>0B. ∀x∈R，x2−3x+3≥0
C. ∃x∈R，x2−3x+3>0D. ∃x∈R，x2−3x+3≥0
2.已知向量a=(sinα,2)，b=(1,−csα)，若a⊥b，则tanα=( )
A. 12B. −2C. −12D. 2
3.已知AD是△ABC的中线，AB= a，AD=b，以 a，b为基底表示AC，则AC=( )
A. 12(a−b)B. 2b−aC. 12(b−a)D. 2b+a
4.在△ABC中，三边长分为3，7，8，则最大角和最小角之和是( )
A. 34πB. 23πC. 56πD. 712π
5.已知正实数a，b满足a+2b=2，则1a+2b的最小值为( )
A. 92B. 9C. 2 2D. 2
6.已知a,b为不共线的非零向量，AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−3b，则( )
A. A，B，C三点共线B. A，B、D三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
7.已知α是第四象限角，且sin2α=−23，则csα−sinα=( )
A. 217B. 153C. 2D. − 73
8.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=3DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+14AB，|AC|=3，|AB|=4，则AP⋅CD的值为( )
A. −3B. 3C. −32D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为12的是( )
A. sin5π6B. 2sin 15°cs 15°C. 2cs215°−1D. 32tan210°
10.f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=4x−x2，则下列说法中错误的是( )
A. f(x)的单调递增区间为(−∞,−2]∪[0,2]
B. f(−π)C. f(x)的最大值为4
D. f(x)>0的解集为(−4,4)
11.如图所示，在正六边形ABCDEF中，下列结论正确的是( )
A. BD−BF=AC
B. BD+BF=32BE
C. FC⋅FA=|FA|2
D. AC在AB上的投影向量为AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知sinx=− 22,x∈(0,2π)，则x= ______．
13.已知a=(2,1)，b=(k,−2)，k∈R，a与b的夹角为θ.若θ为钝角，则k的取值范围是______．
14.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若EF=2FB，AF=λAB+μAD(λ,μ∈R)，则2λ+μ=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系xOy中，A(1,2)，B(−2,3)，C(8,−5)．
(1)若OC=xOA+yOB，求实数x，y的值；
(2)若AB//(mOA+OC)，求实数m的值．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=(a,c−b),b=(sinC+sinB,sinA+sinB)，且a//b．
(1)求角C；
(2)若c=3 2,△ABC的面积为3 32，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
已知向量a，b，若|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°．
(1)求|a+2b|；
(2)当λ为何值时，向量λa−b与向量a+3b互相垂直？
18.(本小题17分)
设函数f(x)=2 3sin(π2+x)csx+(sinx−csx)2−1．
(1)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
(2)求f(x)在[π12,5π6]上的最值．
19.(本小题17分)
已知偶函数f(x)=x+m2x−2−x，
(1)求实数m的值；
(2)经过研究可知，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，求满足条件f(a−1)参考答案
1B
2D
3B
4B
5A
6B
7B
8C
9ABD
10AC
11ABC
125π4或7π4
13−∞,−4∪−4,1
142
15解：(1)由OC=xOA+yOB，可得(8,−5)=x(1,2)+y(−2,3)，
所以x−2y=82x+3y=−5，解得x=2y=−3，
故x=2，y=−3；
(2)由AB=(−3,1)，mOA+OC=m(1,2)+(8,−5)=(m+8,2m−5)，
又因为AB//(mOA+OC)，
所以(m+8)×1−(−3)×(2m−5)=0，
解得m=1，
故m=1．
16解：(1)∵a/​/b，a=(a,c−b)，b=(sinC+sinB,sinA+sinB)，
∴a(sinA+sinB)=(c−b)(sinC+sinB)，
∴由正弦定理得a(a−b)=(c−b)(c+b)，
即a2+b2−c2=−ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=−12，
又C∈(0,π)，
则C=23π；
(2)由(1)得a2+b2−c2=−ab，
∴(a+b)2−ab=c2=18，
又S=12absinC= 34ab=3 32，
则ab=6，
∴(a+b)2=18+ab=24，即a+b=2 6，
∴△ABC的周长为a+b+c=3 2+2 6．
17解：(1)由已知可得，a2=|a|2=1，b2=|b|2=4，a⋅b=|a||b|cs60°=1×2×12=1，
所以|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=1+4+4×4=21，
所以|a+2b|= 21；
(2)由已知可得(λa−b)⋅(a+3b)=0，
即λa2+(3λ−1)a⋅b−3b2=0，
所以有λ+3λ−1−12=0，解得λ=134．
18解：(1)∵f(x)=2 3cs2x−sin2x= 3(1+cs2x)−sin2x=2cs(2x+π6)+ 3，
令2x+π6=kπ，k∈Z，
则x=kπ2−π12，k∈Z，
∴f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z；
令2x+π6=kπ+π2，k∈Z，
则x=kπ2+π6，k∈Z，
∴f(x)的图象的对称中心的坐标为(kπ2+π6, 3)，k∈Z；
(2))x∈[π12,5π6]⇒2x+π6∈[π3,11π6]，
∴cs(2x+π6)∈[−1, 32]，
∴f(x)∈[−2+ 3,2 3]，
∴f(x)的最大值为2 3，最小值为−2+ 3．
19解：(1)∵f(x)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，
∴−x+m2−x−2x=x+m2x−2−x，即x−m2x−2−x=x+m2x−2−x，
∴x+m=x−m，∴m=−m，m=0；
(2)∵f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，
∴由f(a−1)∴|a−1|>|a2−a|，
∴a≠1|a|<1，解得−1∴a的取值范围为(−1,1)．