2024届天津市河西区第四十二中学高三上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2024届天津市河西区第四十二中学高三上学期第二次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求的，再求，最后求解即可.
【详解】因为，，
故且，则.
故选：A.
2．设，则“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要的条件
【答案】C
【分析】由直线与平行，可得且，解出即可判断出．
【详解】解：直线与平行，
则且，解得，
因此“”是“直线与”平行的充要条件.
故选：C.
3．用、表示两条不同的直线，用、表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若∥，∥，则∥B．若∥，，则∥
C．若，∥，则D．若，，则
【答案】C
【分析】根据题意，结合线面（面面）平行（垂直）的判定定理和性质定理，分别判断即可.
【详解】对于选项A，由面面平行的判定定理可知，不一定平行于，故A错；
对于选项B，根据线面平行的性质定理可知，不一定平行于，故B错；
对于选项C，由面面垂直的判定定理可知，，故C正确；
对于选项D，根据线面垂直的判定定理知，不一定垂直于，故D错.
故选：C.
4．若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得.
【详解】因为，于是得，，
又因为，则有，即，因此，，而，解得，
所以.
故选：D
5．函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简得，由此可得为奇函数，故排除C，D；再判断函数在时的正负情况即可得答案.
【详解】由，易知为奇函数，故排除C，D；
当时，，故只有A满足，排除B.
故选：A.
6．已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设幂函数，依次将点，点坐标代入，可得，结合指数函数和对数函数性质即可得到答案.
【详解】设幂函数，因为点在的图象上，
所以，，即，
又点在的图象上，所以，则，
所以，，，
所以，
故选：B
7．已知一个正三棱柱所有棱长均为3，若该正三棱柱内接于半球体，即正三棱柱的上底面的三个顶点在球面上，下底面的三个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正三棱柱的几何特征，确定球的球心和半径，即可求解.
【详解】由条件可知底面等边三角形的中心是球的球心，，，所以，即
所以半球的体积.
故选：B
8．对于函数，有下列结论：①最小正周期为；②最大值为2；③减区间为；④对称中心为．则上述结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】将化简后即可判断其周期，最大值，减区间和对称中心.
【详解】解：
.
,①正确；
时，②错误；
令,解得，因此减区间为，③正确；
令，解得，此时，故对称中心为，故④错误.
所以，上述结论正确的个数是2个.
故选：B.
9．已知函数．若函数的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函数的图象，作出直线，由图象知只要直线与的图象在轴左右两侧各有两个交点，则的图象就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），因此求得直线的斜率，再求得直线与相切的切线斜率（注意取舍）即可得结论．
【详解】作出函数的图象，如图，
作出直线，它过定点，由图可得，只要直线与的图象在轴左右两侧各有两个交点，则的图象就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），
时，与轴的公共点为，，
时，，
由得，
，解得或，由图象知，切线的斜率为，
所以时满足题意．
故选：A．
二、填空题
10．已知是虚数单位，复数满足，则 ．
【答案】
【分析】由复数的运算法则计算．
【详解】因为，所以．
故答案为：．
11．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
【答案】5
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．
【详解】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
12．若椭圆的离心率为，则实数的值等于 .
【答案】或
【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类列式计算即得.
【详解】当椭圆的焦点在x轴上时，，解得，
当椭圆的焦点在y轴上时，，解得，
所以实数的值等于或.
故答案为：或
13．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由可知，，，利用基本不等式即可求最值.
【详解】因为，所以，，

当且仅当 即，时等号成立，
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．已知直线过点，且与圆：相交于两点，设，若点在圆上，则直线的倾斜角为 .
【答案】30°或150°
【分析】由可以判断四边形为菱形，点在圆上，则，转化成点到直线的距离为，即可求出答案.
【详解】因为，，则四边形为菱形，所以.
设为垂足，因为点在圆上，则.
设直线的方程为，由，得，即，所以直线的倾斜角为30°或150°.
故答案为：30°或150°.
15．在△ABC中，，，，，则 ，若动点F在线段AC上，则的最小值为 .
【答案】 /0.5
【分析】第一空：用分别表示出，再由数量积的定义及运算律即可求出；
第二空：设，用分别表示出，由数量积的定义及运算律表示出，结合二次函数求出最小值.
【详解】
第一空：，则，则，又，，故，解得；
第二空：设，，，则
，当时，取得最小值.
故答案为：；.
三、解答题
16．在中，角所对的边分别为.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，且，三角形的面积，求边的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由余弦定理直接求解即可；
（2）由正弦定理及条件可得，再由诱导公式求解；
（3）由正弦定理及面积公式联立方程可得外接圆半径，再由正弦定理即可得.
【详解】（1），
由余弦定理知，即，即，
.
（2），
由正弦定理，得，
即，
，
（3）由，，，
由，
，
17．如图所示，在三棱柱中，侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，点G、M分别是线段AD、BF的中点．
(1)求证：平面BEG；
(2)求直线DM与平面BEG所成角的正弦值；
(3)求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，再由面面垂直有，结合已知、、两两垂直，构建以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，求面的法向量及，判断它们的位置关系，即可证结论.
（2）由（1），应用空间向量夹角的坐标表示求DM与平面BEG所成角的正弦值；
（3）由是面的一个法向量，结合（1）所得面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值．
【详解】（1）由四边形是正方形，则，又面面，面面 ，面，
所以面，而面，则，又，
所以、、两两垂直.
建立以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
所以，
设为面的法向量，则，令，可得，
又，则，所以，又平面，
所以平面．
（2）由（1）知：且为面的法向量，
因此，即直线与平面所成角的正弦值为．
（3）由平面的一个法向量且为面的法向量，
因此，即平面与平面夹角的余弦值为．
18．已知点，椭圆：的离心率为和分别是椭圆的左焦点和上顶点，且的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于，两点，当时，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或
【分析】（Ⅰ）由的面积为，得出关系，再由离心率结合关系，求解即可得出椭圆方程；
（Ⅱ）设，由已知可得，设直线方程为，与椭圆方程联立，得到的关系式，进而得出的关系式，建立的方程，求解即可得出结论.
【详解】（Ⅰ）设，由条件知，
所以的面积为，①
由得，从而，化简得，②
①②联立解得，
从而，所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）当轴时，不合题意，故设，
将代入得．
由题得，
设，则
因为，
所以，
从而，
整理得，，
所以直线的方程为或．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要掌握根与系数关系设而不求方法在相交弦中的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
19．已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和；
(3)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）将点代入函数解析再结合前和即可求解；
（2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；
（3）将数列的通项变形为，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可.
【详解】（1）因为点在函数的图像上，
所以，
又数列是等差数列，所以，
即所以，
；
（2）解法1：，
==，
解法2：， ①
， ② ①-② 得
，
；
（3）
记的前n项和为，
则=
，
当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，
当n为偶数时随着n的增大而增大，可得，
所以的最大值为，最小值为.
20．已知函数，（为自然对数的底数），.
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的值；
（Ⅲ）若直线是曲线的一条切线.求证：对任意实数，都有.
【答案】（Ⅰ）h(x)的单调递减区间为， 单调递增区间为（Ⅱ）1（Ⅲ）证明见解析
【分析】（Ⅰ）求出导数，解不等式即可求出单调区间；
（Ⅱ）转化为恒成立，令，利用导数求其最小值，即可求解；
（Ⅲ）由切线方程求出，利用导数求出，得到，即可证明.
【详解】（Ⅰ）当时，，则
令，得，
当时，，
当时，，
所以h(x)的单调递减区间为， 单调递增区间为.
(II) 若恒成立,即恒成立，
即恒成立，
设,则,
当m≤0时，恒成立，所以F(x)是(-∞， +∞)上的增函数
注意到F(0)=1，所以x>0时，F(x)>1,不合题意:
当m>0时，若，则<0， 若,则，
所以F(x)是上的减函数，是上的增函数，
故只需，
令
则
当时，，若 时，
所以是上的减函数，是 上的增函数，
故当且仅当 时取等号，
所以时，即，从而 .
（Ⅲ）设直线与曲线相切于点
因为所以切线的斜率为
所以切线方程为
即
所以解得
所以，则
令得，当 时，
当时，.
所以在区间内单调递减，在区间 内单调递增.
所以，即 .
所以，
所以
【点睛】关键点点睛：本题在证明不等式时，关键在于构造恰当函数，利用导数研究函数的单调性，得到函数最值，得到条件，
根据不等式性质，采用放缩法即可求证，属于难题.