安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期1月考数学考试试题（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期1月考数学考试试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 抛物线的焦点坐标是．， 已知数列中，，当最大时，等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合抛物线方程运算求解.
【详解】因为抛物线方程为，即，
即，可得，且焦点在y轴正半轴上，
可知抛物线的焦点坐标是.
故选：D.
2. 数列0，，，，…的一个通项公式是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】在四个选项中代n=2,选项B,D是正数，不符，A选项值为，符合,C选项值为，不符．所以选A.
【点睛】
对于选择题的选项是关于n的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．
3. 平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】设点，可得出，分、两种情况讨论，化简可得出点的轨迹方程.
【详解】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，
则，
当时，则有，即，
等式两边平方整理可得；
当时，则有，即，
等式两边平方可得.
综上所述，点的轨迹方程为或.
故选：D.
4. 如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）
A. y2＝9xB. y2＝6x
C. y2＝3xD. y2＝x
【答案】B
【解析】
【分析】分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．
【详解】
如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.
故选：B
5. 已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列，
所以，，即，解得.
故选：A.
6. 已知数列中，，当最大时，（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件建立不等式组求解即可.
【详解】由题易知，且，即 ，解得 ， ；
故选：B.
7. 如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于、、、，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点、，分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值.
【详解】易知抛物线的焦点为，
设点、，圆的半径为，
由抛物线的定义可得，，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
则，由韦达定理可得，
所以，
，
当且仅当时，即当或时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
8. 已知焦点在轴上的双曲线，，是双曲线的两个顶点，是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是.若直线，的斜率分别是，，且，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设点，则，易得，，然后由，得到，再根据点在双曲线上，化简得到求解.
【详解】设点，则，
因为，是双曲线的两个顶点，
所以,
AP斜率为，的斜率，
所以，即，
因为点在双曲线上，
所以，
所以，
所以，
所以，
则，
即，
所以
故选：B
二､多选题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
9. 已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（ ）
A. 数列的公差为B.
C. 数列是公差为的等差数列D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，根据等差数列的性质得到，从而求出，，得到公差，A正确；
利用等差数列求通项公式求出B正确；
由，得到当时，，结合，从而得到C正确；
在C选项的基础上，求出，结合，求出答案.
【详解】由题意知，又，
故可看出方程的两根，
∵数列为递减数列，
，．
公差，故A正确；
又，
，故B正确；
由上可知，则当时，，
当时，，
数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确；
由C选项知：，故，
∵，
，故D错误．
故选：ABC
10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C.
【详解】解：因为，，
所以，故A错误；
，，所以数列是以为周期的周期数列，
所以，故B错误；
因为，，
所以，故C正确；
，故D正确；
故选：CD
11. 已知抛物线，焦点为，动点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A
B.
C. 直线的方程为
D. 面积的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】设点、，推导出抛物线在点处的切线方程为，同理可得出抛物线在点处的切线方程为，将点的坐标代入两切线的方程，可推导出直线的方程，然后将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】设点、，先证明出抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，即，即，可得，
所以，抛物线在点处的切线方程为，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入两切线方程可得，
所以，点、的坐标均满足方程，
又因为两点确定一条直线，故直线的方程为，C对；
联立可得，，
由韦达定理可知，，，
故直线、的斜率之积为，故，A对；
因为，则，可得，
所以，，
易知直线经过抛物线的焦点，
，所以，，则，B对；
，
，则
，
当且仅当时，等号成立，故面积的最小值为，D错.
故选：ABC.
【点睛】结论点睛：抛物线在其上一点处的切线方程为；
抛物线在其上一点处的切线方程为.
12. 已知抛物线的焦点为F，过抛物线上任意一点P作圆的切线，A为切点，且直线交抛物线于另一点Q，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小值为
B. 的取值范围为
C. 三角形面积的最小值为
D. 连接，并延长，分别交抛物线于N，M两点，设直线和直线的斜率分别为，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】先求出圆C的圆心和半径，以及F点的坐标，再根据图中的几何关系逐项分析.
【详解】对于圆C，标准方程为 ，所以圆心 ，半径 ，
对于抛物线 ， ， ，
对于A，设 ，则有 ，
当时， 取得最小值 ，即 ，A正确；
对于B，设 ，则直线 的方程为： ，
将 代入得： ， ，其中 ， ， ，
，
由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立，
，B正确；
对于C，采用水平底铅锤高计算 的面积，即 ，当且仅当 ，即 时成立，即最小值为 ，C错误；
对于D，原问题等价于从F点引2条斜率不等的直线分别与抛物线交于P，N和Q，M点，并且P，Q，C三点共线，
设 ，2两条直线的斜率分别为 （即 都存在），
则直线方程分别为： ，
联立方程 ，解得 ， ，
同理可得 ， 三点共线，即与共线，
， ，整理得： ，
依题意， ，
， ；
当 有1个不存时（当 都不存在时，两条直线重合，不满足题意），
比如 不存在，则 垂直于x轴，此时 ，其余条件相同， ，D正确；
故选：ABD.
三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13. 已知数列的前n项和为=，则=______.
【答案】，
【解析】
【分析】应用与的递推关系，由求通项公式即可.
【详解】由，知：，
故答案为：，
【点睛】本题考查了应用数列递推关系式求通项，根据与的递推关系结合求通项.
14. 在等差数列中，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由可得，故，
，
故答案为：
15. 已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程__________.
【答案】（）
【解析】
【分析】联立直线于抛物线方程，根据中点坐标公式即可求解.
【详解】设直线的方程为，
联立，
由于，所以，
设,则故
因此，
设， 由于，则，
故的轨迹方程为，（）
故答案为：（）
16. 如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】取和的中点分别为，，根据二面角的定义可得，进而可得为所作的二面角，根据三角形的边角关系即可求解二面角余弦值．
【详解】取和的中点分别为，，
，分别是，的中点，
,,
由于且为正三角形，
，故,
由于，分别是，的中点，因此，
故,
由于截面侧面，所以,进而可得,
由于
故为侧面与底面的二面角的平面角，
设， ，，
在直角中， ，
故答案为：
四､解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
17. 已知数列满足.
（1）求证：等差数列.
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的定义即可求证，
（2）根据等差数列的通项即可求解.
【小问1详解】
为常数，
所以为公差为的等差数列，
【小问2详解】
由于为公差为等差数列，且首项为，
所以，所以
18. 设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，.
（1）求抛物线的标准方程.
（2）已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用弦长求解，即可求解抛物线方程；
（2）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点.
【小问1详解】
解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为，
联立可得，则，所以，即，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线也不与轴重合，
设、，设直线的方程为，
联立得，，
因此，.
设直线的方程为，联立得，
则，因此，，则，同理可得.
所以.
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
五､附加题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
19. 已知双曲线的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，，分别在、中，利用余弦定理运算求解.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，
设，，则，，，
，在中，由余弦定理，
即，整理得，
在中，由余弦定理，
即，整理得，
可得，
注意到，即，整理得，
故离心率.
故答案为：.
20. 我们通常把圆、椭圆、抛物线､双曲线统称为圆锥曲线，通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，实际上，设圆锥母线与轴所成角为，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为.当，截口曲线为圆，当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为双曲线；当时，截口曲线为抛物线；如图2，正方体中，为边的中点，点在平面上运动并且使，那么点的轨迹是__________.
【答案】一段双曲线弧
【解析】
【分析】设与底面所成角为，计算出、正弦值，比较这两个角的大小，结合题意可得出点的轨迹图形.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、，
则，，
，
所以，，
设与底面所成角为，易知平面的一个法向量为，
则，
因为、为锐角，且，则，
所以，该正圆锥面与底面的交线是双曲线弧，
因此，点的轨迹为一段双曲线弧.