安徽省合肥市百花中学等四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥市百花中学等四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了 若，则， 下列函数为奇函数的是， 已知向量，若，则实数λ的值是， 已知函数的图象过点，则等内容，欢迎下载使用。

数 学
本试卷共 4页.全卷满分 100分，考试时间 90分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 (选择题 共 54 分)
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集运算求解.
【详解】解：因为集合，，
所以，
故选：D
2. 下列函数中，在其定义域上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可.
【详解】由幂函数的单调性可知在定义域上单调递减，故A正确；
在上单调递减，上单调递增，不符题意，
在上单调递增，不符题意，
在上单调递增，不符题意，即B、C、D错误.
故选：A
3. 在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.
【详解】由题意可知，所以与 终边相同.
故选：B
4. 若，则
A. 1B. -1C. iD. -i
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：，故选C．
【考点】复数的运算、共轭复数．
【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．
5. 下列函数为奇函数的是（ ）
A. B. C. D. y=lg₂x
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.
【详解】对于A中，函数为奇函数，符合题意；
对于B中，函数为偶函数，不符合题意；
对于C中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于D中，函数为非奇非偶函数，不符合题意.
故选：A.
6. 已知函数对于任意实数x满足，若，则 （ ）
A. -5B. -3C. 3D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值.
【详解】由，，可知，函数的周期，
.
故选：C
7. 已知a+b>0，b<0，那么a，b，-a，-b的大小关系是（ ）
A. a>b>-a>-bB. a>b>-b>-a
C. a>-b>-a>bD. a>-b>b>-a
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目信息，a+b>0，b<0，则可知且，在对内容排序即可
【详解】因为a+b>0，b<0，则可知且，则，因此D正确.
故选：D.
8. 已知向量，若，则实数λ的值是（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据，由求解.
【详解】解：因为向量，且，
所以，解得，
故选：D
9. 已知函数的图象过点，则 （ ）
A. 3B. -3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.
【详解】由题意可知，
所以.
故选：C
10. 如图，在长方体中，AB＝AD＝2，，则四棱锥的体积为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果.
【详解】在长方体中，底面ABCD，
则四棱锥的体积为.
故选：B
11. 在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则C=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理，即可求解.
【详解】根据正弦定理，即，则，
，，则，所以.
故选：B
12. 若函数的图象与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次函数的性质计算即可.
【详解】由题意可知无解，即.
故答案为：A
13. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A. -3B. -2
C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】由，，得，则，．故选C．
【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
14. 在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（ ）
A. 男生投篮水平比女生投篮水平高
B. 女生投篮水平比男生投篮水平高
C. 男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定
D. 男女同学投篮命中数的极差相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出，，，，然后进行比较即可求得结果.
【详解】由图可知，，
，
，
所以，，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，
故选：C.
15. 向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（ ）
A B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案.
【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条件，
故选：C.
16. 函数零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.
【详解】函数在上单调递减，
，，，，且函数单调递减，连续不断，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：B
17. 从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. “恰有1名男生”与“全是男生”
B. “至少有1名男生”与“全是女生”
C. “至少有1名男生”与“全是男生”
D. “至少有1名男生”与“至少有1名女生”
【答案】A
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念结合选项进行判断.
【详解】对于A，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件；
对于B，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件；
对于C，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件；
对于D，“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 能同时发生，所以不是互斥事件；
故选：A.
18. 如图，在长方形 中，，点 P 满足，其中，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出最值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，所以，即，
故，，
则，
则，
因为，所以，，
故.
故选：B
第Ⅱ卷 (非选择题 共 46 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16分，把答案填在题中的横线上)
19. 若a>0，则的最小值是___________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】解：∵a>0，
∴（当且仅当a=1时取“=”）.
故答案：2
20. 某校高一年级有学生1000人，高二年级有学生 800人，为制订学生课外活动方案，采用分层抽样的方法从两个年级分别抽取学生参加问卷调查，若从高一年级抽取学生50人，则应从高二年级抽取的学生人数是_______________.
【答案】40
【解析】
【分析】根据分层抽样计算公式，即可求解.
【详解】设高二年级抽取的学生人数为，
则，则.
故答案为：
21. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】正方体外接球球心为其体对角线的中点，体对角线即为外接球的直径.
【详解】设正方体棱长为a，则，
根据正方体和球的对称性可知，正方体外接球球心为其体对角线的中点，其体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R，
则，
∴外接球体积.
故答案为：.
22. 在精准扶贫工作中，某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是 30 元/千克，产品的日销售量 P(千克)与销售单价 x(元/千克)满足关系式 ，要使农户获得日利润最大，则该产品销售单价 x(元/千克)为_______________.
【答案】42
【解析】
【分析】利用分段函数、二次函数的性质计算即可.
【详解】由题意可知农户的日利润，
由二次函数的单调性可知：
若，有时，；
若，有时，；
故时，日利润取得最大值.
故答案为：42
三、解答题(本大题共3小题，每小题 10分，满分 30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
23. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知，且求的值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据周期公式求解即可；
（2）先根据平方关系求得，进而结合二倍角的正弦公式求解即可.
【小问1详解】
函数的最小正周期为.
【小问2详解】
因为，则，
所以.
24. 如图，在三棱锥中，平面，为等边三角形，点 为棱的中点，
（1）求证: 平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）根据棱锥的体积公式计算即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
因为为等边三角形，点 为棱的中点，所以，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
，，
因为平面，
所以.
25. 某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
（1）作出使用了节水龙头天日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；
（2）结合直方图，算出日用水量小于的矩形的面积总和，即为所求的频率；
（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能节约用水多少，从而求得结果.
【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为；
（3）该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.
日用水量
频数
日用水量
频数