安徽省合肥市2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥市2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线与直线，若，则（ ）
A. B. 2C. 2或D. 5
5. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）
A. 0B. C. 9D.
6. 已知直线，点，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知非零空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. D. 若，则不共面
10. 在正三棱柱中，点P满足，其中，则（ ）
A. 棱B. 平面C. D.
11. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. l倾斜角等于B. l在x轴上的截距等于
C l与直线垂直D. l与直线平行
12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________.
14. 若，且，则实数______________.
15. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．
16. 已知直线的方向向量且过点，则点到直线的距离为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知空间三点．
（1）求以为邻边的平行四边形的面积；
（2）设，若四点共面，求的值．
18. 如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.
（1）以为坐标原点建立适当平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.
19. 如图，在底面为正三角形的三棱柱中，．
（1）求；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
20. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）在平面内找一点，使平面．
21. 已知梯形中分别是上的点，是的中点．沿将梯形翻折，使平面平面．
（1）若以为顶点三棱锥的体积记为，求的最大值；
（2）当取得最大值时，求二面角的余弦值．
22. 在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为、的中点.
（1）证明：；
（2）求点B到平面CMN的距离．
2023-2024学年第一学期高二第一次调研检测
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得直线的斜率以及倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率.
【详解】因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，
所以直线的倾斜角为，
所以的斜率为，
故选：D.
2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量定义结合数量积和模的坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：B
3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间点关于面的对称点的坐标关系求解.
【详解】由空间直角坐标系中任一点关于平面的对称点为，
可得点关于平面的对称点的坐标为.
故选： B．
4. 已知直线与直线，若，则（ ）
A. B. 2C. 2或D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】解方程，再检验即得解.
【详解】解：若，则，
所以或．
当时，重合，不符合题意，所以舍去；
当时，符合题意．
故选：A
5. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）
A. 0B. C. 9D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得共面，则，其中，根据空间向量坐标运算得到方程组，解得即可.
【详解】不能构成空间的一个基底，共面，则，其中，
则，
，解得.
故选：D.
6. 已知直线，点，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得直线恒过点，画图可知直线的斜率的取值范围是 或 ，进而可知的取值范围.
【详解】将直线的方程变形得
由得，∴直线恒过点，
∴，
由图可知直线的斜率的取值范围是 或 ，
∵
∴或，解得或，
又∵时，直线仍与线段相交，
∴的取值范围为，
故选：．
7. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解
【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故选:B
8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.
【详解】由题意可知，
因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选：D
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知非零空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. D. 若，则不共面
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量共线定理判断A；利用数量积的定义判断B；根据平面向量数量积的定义和运算律判断C；利用平面向量基本定理判断D
【详解】对于A，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数使得，故，所以，故正确；
对于B，因为，，是非零向量，所以，故正确；
对于C，，，与未必共线，故不正确；
对于D，由平面向量基本定理可得若，则共面，故不正确
故选：AB
10. 在正三棱柱中，点P满足，其中，则（ ）
A. 棱B. 平面C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据，即可判断B；得中点为，根据平面向量的线性运算可得，从而可判断AC；证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断D.
【详解】解：由，
得共面，
又三个向量共起点，所以共面，
所以平面，故B正确；
则，
得，
得，
设得中点为，
则，所以，
因为，所以，
即在的中垂线上，故棱，故A错误；
则，
又，所以不平行，故C错误；
连接，则，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以，故D正确.
故选：BD.
11. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. l的倾斜角等于B. l在x轴上的截距等于
C. l与直线垂直D. l与直线平行
【答案】CD
【解析】
【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，依次判断即可
【详解】因为直线一个方向向量为，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误；
因为经过点，所以直线的方程为，令，则，所以在轴上的截距为，所以B错误；
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，所以与直线垂直，所以C正确；
因为直线的斜率为，直线的斜率也为，且两直线截距不等，故两直线平行，所以D正确.
故选：CD
12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于B，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于C，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于D，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.
【详解】
对于A，连接，，，，
平面，，同理，，，直线平面，故A正确；
对于B，∥，平面，平面，∥平面，
点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为，
异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
对于D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，
则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积的计算方法、异面直线所成角的计算方法、利用向量法求解直线与平面所成角的正弦值，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】联立直线方程得交点坐标，再利用垂直关系及点斜式方程求解即可.
【详解】联立，解得，即交点坐标为.
因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为，
所以所求的直线方程是：，即.
故答案为：.
14. 若，且，则实数______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件求出，然后，求出即可.
【详解】，
,
,
,即，解得：.
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
15. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出．
【详解】1，，2，，
的夹角为锐角，，且不能同向共线．
解得，．则的取值范围为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. 已知直线的方向向量且过点，则点到直线的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】由空间中点到直线的距离的向量公式，计算即得解
【详解】由题意，
故，
又，故
故
故点到直线的距离为：
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知空间三点．
（1）求以为邻边的平行四边形的面积；
（2）设，若四点共面，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的夹角公式求出的余弦，再得出正弦，利用面积公式得解；
（2）根据共面向量基本定理的坐标运算求解.
【小问1详解】
因为，
所以，，
，
.
．
【小问2详解】
，
四点共面，
存在唯一一对实数，使得，
，解得，
．
18. 如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.
（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】(1)以为坐标原点, 所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系.根据条件求出直线的方程，设出点坐标，代点到直线的距离公式即可求出所求；
(2)由(1)及题意设出直线方程后，即可求得点的横坐标，与点的纵坐标，由
求得后，即可求解.
【详解】(1)以为坐标原点, 所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系

由题意可设点，且直线的斜率为，并经过点，
故直线的方程为：，
又因点到的距离为，所以，解得或(舍去)
所以点坐标为.
(2)由题意可知直线的斜率一定存在，故设其直线方程为：，
与直线的方程：，联立后解得:，
对直线方程：，令，得，
所以，解得，
所以直线方程为：，即:.
【点睛】本题以直线方程的相关知识为背景，旨在考查学生分析和解决问题的能力，属于中档题.
19. 如图，在底面为正三角形的三棱柱中，．
（1）求；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）取定空间的一个基底，利用空间向量数量积定义及运算律求解作答.
（2）利用（1）中空间向量，求出向量与的夹角余弦即可求解作答.
【小问1详解】
设．
，
因为，同理，
所以.
【小问2详解】
由，得，
因为，
则，因此，
所以异面直线与所成角的正弦值为.
20. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）在平面内找一点，使平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出平面；
（2）设是平面内一点，由平面得出，可求得、的值，进而可确定点的坐标.
【详解】（1）证明：底面，，．
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由于．
所以，，，，，，
易知，平面的一个法向量为，
又，，则.
又平面，平面；
（2）设是平面内一点，
则，，，
若平面，则，，即.
因此，在平面内存在点，使平面．
【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解动点问题，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
21. 已知梯形中分别是上的点，是的中点．沿将梯形翻折，使平面平面．
（1）若以为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；
（2）当取得最大值时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面，，可得，进而由面面垂直的性质定理得到平面，进而建立空间坐标系，可得的解析式，根据二次函数的性质，易求出有最大值；
（2）根据（1）的结论平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角的余弦值.
【小问1详解】
∵平面平面，，平面平面，
平面，∴平面.
连接，因为，平面，平面，
故面，故到平面的距离即为到平面的距离，
而，
所以，
即时有最大值为．
【小问2详解】
由（1）的证明可知平面，而平面，故，
在梯形中，因，，
故，故，故在几何体中，有，
故可如图建立空间坐标系，
当取最大值时，，
则，
∴ ，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，∴，
而面的一个法向量为，则，
由于所求二面角的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为.
22. 在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为、的中点.
（1）证明：；
（2）求点B到平面CMN的距离．
【答案】（1）详见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点，根据线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；
（2）利用坐标法，根据点到平面距离的向量求法即得.
【小问1详解】
取中点，连结，，
因为，则，
又是正三角形，
所以，又平面，
所以平面， 又平面，
所以．
【小问2详解】
由题可知，又∵平面平面，平面平面，
∴平面，又，
如图所示，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则，，，，，
∴，，，
设为平面的一个法向量，
则，取，则，，
∴，
∴点到平面的距离.