安徽省淮北市第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省淮北市第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了 ，，若，则， 已知数列满足且，则， 已知，下列命题正确的是， 若双曲线的一条渐近线被圆所截， 圆和的公共弦的长度为， 教材44页第17题等内容，欢迎下载使用。

一､单选题
1. ，，若，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量共线求出m，n的值作答.
【详解】因为，，，则存在，使得，
即，于是，解得，
所以.
故选：C
2. 若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与圆，直线与圆位置关系计算即可判断.
【详解】因为点在圆内，
所以，
设圆心到直线的距离为,
则，
圆的半径,
因为，所以直线与圆的位置关系为相离.
故选：.
3. 已知数列满足且，则（ ）
A. 3B. C. -2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.
【详解】由题意数列满足，则，
故由，得，
由此可知数列的周期为4，
故，
故选：B
4. 已知，下列命题正确的是（ ）
A. 若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆
B. 若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线
C. 椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是
D. 渐近线为且过点的双曲线的焦点是
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用椭圆定义和双曲线定义，直线的斜率，渐近线的应用逐个判断选项即可.
【详解】对于A，若到距离之和为，
即，
则点的轨迹为线段，A错误；
对于B，若到距离之差为，
即，又，
则点的轨迹为双曲线的一支，故B错误；
对于C，椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积：
，C正确；
对于D，渐近线为且过点的双曲线方程为，
双曲线过点，则，
故双曲线方程为，
故焦点坐标为和，故D错误.
故选：C
5. 已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，利用平行的距离公式求距离最大值.
【详解】要使点到直线的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，
令与平行、椭圆相切的直线为，联立椭圆，消去x，
则，，可得，
对于直线，与直线距离为；
对于直线，与直线距离；
所以点到直线的距离的最大值为.
故选：A
6. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
7. 圆和的公共弦的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】两圆作差求公共弦方程，确定其中一个圆的圆心和半径，应用点线距离、几何法求公共弦长.
【详解】由题意，两圆作差可得相交弦为，
，即圆心，半径为，
所以圆心到的距离为，
所以公共弦的长度为.
故选：B
8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可.
【详解】平面的方程为，
平面的一个法向量，
同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，取，则
设直线与平面所成角为，
则
故选：A
【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成角，利用的法向量和方向向量的关系.
二､多选题
9. 若直线与之间的距离为，则的值为（ ）
A. 4B. C. D. 8
【答案】AC
【解析】
【分析】运用两条平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】直线可化为，
所以，即，解得或.
故选：AC.
10. 给出下列命题，其中是假命题的是（ ）
A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与平行
B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则
C. 若平面的法向量分别为，则
D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据共线向量可判断A；根据向量与向量不平行可判断B；根据法向量数量积不为0可判断C；求出平面的法向量可判断D.
【详解】对于A，因为，所以直线与直线不平行，故A错误；
对于B，因为，所以向量与向量不平行，则直线与平面不垂直，故B错误；
对于C，因为，所以与不垂直，故C错误；
对于D，，因为向量是平面的法向量，
所以，解得，则，故D正确.
故选：ABC.
11. 已知曲线C：．（ ）
A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若，则C是圆，其半径为
C. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则C是两条直线
【答案】CD
【解析】
【分析】根据，将化为，结合椭圆方程判断A；
结合圆的方程判断B；讨论的正负，结合双曲线方程以及渐近线方程可判断C；
，时，可得，即可判断D.
【详解】对于A，若，则，则即为，
故表示焦点在x轴上的椭圆，A错误；
对于B，若，则即为，
故C是圆，其半径为，B错误；
对于C，若，则不妨设，则即为，
曲线C此时表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为，
当，则即为，
曲线C此时表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为,
综上，若，则C是双曲线，其渐近线方程为，C正确；
对于D，若，，则即为，即，
即则C是两条直线，D正确，
故选：CD
12. 如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A. 直线与底面所成的角为B. 平面与底面夹角的余弦值为
C. 直线与直线的距离为D. 直线与平面的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.
【详解】
如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
则，，，，，，
A选项：，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，
则，
直线与底面所成的角不为，故A错误；
B选项：，，
设平面的法向量，则，令，则
设平面与底面的夹角为，
则，
平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；
C选项，，
直线与直线的距离为：，故C正确；
D选项，，平面，平面，
又，平面的法向量，
直线与平面的距离为：，故D正确；
故选：BCD.
三､填空题
13. 已知数列满足，则数列的通项公式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列定义写出的通项公式，进而可得的通项公式.
【详解】由题设是首项、公差均为1的等差数列，则，故.
故答案为：
14. 经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.
【答案】x+y+1=0或3x+4y=0
【解析】
【详解】由题意可设所求直线方程为，即
令，得
令，得
∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等
∴，即或
∴所求直线方程为或
故答案为或
15. 已知椭圆的左焦点为上关于原点对称的两点满足，若的值为，则的离心率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据以及椭圆的定义列方程，化简求得椭圆的离心率.
【详解】设是椭圆的右焦点，连接，
依题意，根据椭圆的对称性可知四边形是矩形，
所以，
根据椭圆的定义有，
在直角三角形中，，
.
故答案为：
16. 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，与圆交于两点在第一象限，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】分别在，时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得，再利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为抛物线M的方程为，所以抛物线M的焦点为，准线，
则直线过抛物线的焦点F，
当时，联立与可得，
所以，则；
当时，如图，
过作轴于K，设抛物线的准线交y轴于E，
则，得，
则，同理可得，所以，
化圆N：为，则圆N的圆心为F，半径为1，
所以
，当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
四､解答题（17题10分，18-22题每题12分.）
17. 已知数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的最大项．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求出通项公式；
（2）求出，当时，计算出，，当时，，从而得到数列的最大项.
【小问1详解】
中，令得，
当时，，
其中，
故
【小问2详解】
当时，，
当时，，
则，
当时，，
当时，，，故，
故时，的最大项为，
又，故数列的最大项为.
18. 在直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且．
（1）求的方程；
（2）求以线段为直径的圆的方程，并判断其与轴的位置关系．
【答案】（1）
（2），圆与轴相切
【解析】
【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理结论，结合抛物线定义和已知等式可构造方程求得的值，由此可得抛物线方程；
（2）利用中点坐标公式和弦长公式可求得圆心和半径，由此可得圆的标准方程，并确定其与轴的位置关系.
【小问1详解】
设，
由得：，
，，
由抛物线方程知：，则，
根据抛物线定义知：，
，解得：，满足，抛物线的方程为：.
【小问2详解】
由（1）知：，，
中点的横坐标，点纵坐标，
，，圆的半径，
圆的方程为：，
，圆与轴相切
19. 在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形，可得线线平行，进而可证明线面平行.（2）根据空间向量，计算法向量，利用法向量的夹角求二面角.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，，
又是的中点，所以，且．
因为四边形是矩形，所以且，所以，且．
因为是的中点，所以，所以且，
所以四边形是平行四边形，故．
因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
因为平面，四边形是矩形，所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）．
设，所以，．
因为，分别为，的中点，
所以，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
由即
令，则，，所以．
设平面的一个法向量为，
由即
令，则，，
所以．
所以．
由图知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
20. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，因为，
所以，即，
【小问2详解】
设平面的法向量为，
，
所以有，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面的距离为：
.
【点睛】
21. 椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.
【答案】21.
22. 定值，
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程即可；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，列出表达式利用韦达定理计算即可.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为，所以，
设到的距离为，因为，
所以，易得当时面积取得最大值，
所以，因为，
所以，，所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
证明：如图，易知点在椭圆外，
设直线的方程为，，，
由得，
所以，，，
因，所以，
所以，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题的第（2）问的化简，这里化简主要是利用了韦达定理和直线的方程，在化简过程中同时涉及到通分，计算比较复杂，要认真计算.
22. 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【小问1详解】
设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
【小问2详解】
由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.