安徽省合肥市合肥卓越中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥市合肥卓越中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 单选题， 多选题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试总分：150 分 考试时长：120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1. 经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.
【详解】由题意得，所以直线的倾斜角为；
故选：A
2. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出圆的半径即可得解.
【详解】由直线为圆的切线，得圆的半径，
所以所求圆的方程为.
故选：A
3. 已知，如果与为共线向量，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由与为共线向量则求解即可.
【详解】因为与为共线向量，所以，
即，解得，
故选：D
4. 经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】联立方程组求得两直线的交点坐标为，再由题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点坐标为，
因为直线一个方向向量，可得所求直线的斜率为，
所以所求直线方程为，即.
故选：A.
5. 如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（ ）
A. aB. aC. aD. a
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理，用，，表示，将线段长度问题转换为向量模长问题.
【详解】设，，，则构成空间的一个正交基底.
，
故，所以MN＝a.
故选：A
6. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可.
【详解】易知为圆上一点与直线上一点的距离的平方，
易知圆心，半径，点C到直线的距离，则.

故选：B
7. 在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵中，，当鳖臑的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据鳖臑体积最大求出和的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】在堑堵中，，，，
，
，
，
，当且仅当是等号成立，
即当鳖臑的体积最大时，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
故选：C．
8. 已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.
【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，

则①，即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，
而，所以，
即，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9. 已知平面的一个法向量为，以下四个命题正确的有（ ）
A. 若直线的一个方向向量为，则
B. 若直线的一个方向向量为，则
C. 若平面的一个法向量为，则
D. 若平面的一个法向量为，则
【答案】BD
【解析】
【分析】由，可判断AB；由可判断CD
【详解】对于AB：平面的一个法向量为，
直线的一个方向向量为，
所以，
所以与不垂直，
又，
所以，
所以，故A错误，B正确；
对于CD：平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，，
所以，
所以，
所以，故C错误，D正确；
故选：BD
10. 已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，表示圆心为的圆B. 当时，表示圆心为的圆
C. 当时，表示的圆的半径为D. 当时，表示的圆与轴相切
【答案】BCD
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，方程，可化为，
可圆的圆心坐标为，
A中，当时，此时半径为，所以A错误；
B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；
C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；
D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，
又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．
故选：BCD.
11. 已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A、B：根据求解；选项C、D：根据，向量的平行求解；
【详解】对于A，B，若则，所以，
即，即，A正确，B错误；
对于C、D，若，则，
所以，
即且，C、D正确.
故选：ACD.
12. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ）
A. 椭圆的长轴长为4
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的方程可以为
D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项.
【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由图象可得， ∴ ，
又，，
∴ ，
∴ 椭圆的长轴长为4，A对，
椭圆的离心率为，B错，
圆的方程可以为，C对，
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对，
故选：ACD.
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13. 两直线与平行，则它们之间的距离为__________．
【答案】
【解析】
分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式求解即得.
【详解】两直线与平行，则，即，
直线化为：，于是.
所以所求距离为.
故答案为：
14. 圆与圆的公共弦长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.
【详解】设圆与圆相交于，两点，圆的半径，
将两圆的方程相减可得，即两圆的公共弦所在的直线方程为，
又圆心到直线的距离，，
所以，解得.
故答案为：.
15. 如图，平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，则线段的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】以为基底表示出空间向量，利用向量数量积的定义和运算律求解得到，进而得到的长.
【详解】，
，即线段的长为.
故答案为：.
16. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在上存在两点A、B，使得，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据求轨迹方程的步骤：1.设点的坐标；2.找等量关系列方程；3.化简.先求出动点的轨迹方程，然后根据题意要使在直线上存在点，在上存在两点A、B，使得成立，则点到圆心的距离小于等于，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】设，因为，，
又因为，所以，化简整理可得：
，动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
因为直线过定点，
若在直线上存在点，在上存在两点A、B，使得，
由数形结合可知：当A、B为圆的切点时点到圆心的距离达到最大，此时为，
所以点到圆心的距离小于等于，
也即，解之可得：，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17. 在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．
（1）求直线CD的方程；
（2）求过点A且与直线DE垂直的直线．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出点D的坐标，再求出直线CD的方程作答.
（2）求出点E坐标及直线DE的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答.
【小问1详解】
在平行四边形ABCD中，，，，则，则点，
直线CD的斜率，则有，即，
所以直线CD的方程是.
【小问2详解】
依题意，点，则直线DE的斜率，
因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为，方程为，即，
所以所求方程是.
18. 如图，在正方体中，为的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线线平行，结合线面平行的判定即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角.
【小问1详解】
如图，连接交于点，连接，
由于为的中点，为的中点,则,
又因为平面平面，所以平面
【小问2详解】
以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体的棱长为，则，
所以，，
设与所成角为,
则
所以与所成角的余弦值为.
19. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程；
（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程.
小问1详解】
解：圆心到直线的距离为，
所以，圆的半径为，
因此，圆的方程为.
【小问2详解】
解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
由题意可得，解得，此时，切线的方程为.
综上所述，所求切线的方程为或.
20. 如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连结，进而利用勾股定理证明，结合题中条件利用线面垂直的判断定理证明即可；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，计算即可.
【小问1详解】
如图，在梯形中，因为，
作于，则，所以，
所以，连结，由余弦定理可求得
因为，所以，
因为平面平面且交于，平面，
所以平面
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面.
【小问2详解】
连结，由（1）可知，平面，
所以与平面所成的角为，
即，在中，
因为，所以
因为，所以平面与平面是同一个平面.
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以
设平面的法向量为，
则有，,即，
令，则，故
由题意可知是平面的一个法向量
所以，
故平面与平面夹角的余弦夹角的值为.
21. 如图，相距14km两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为t km（0 < t < 8）．
（1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）；
（2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．
【答案】（1）（2）P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km．
【解析】
【分析】（1）本题实质为在一直线上求一点到两定点距离之和最小，其求法为利用三角形两边之和大于第三边：先作N关于直线的对称点，再利用得最小值
（2）由（1）知三段水管的总长，因此总长最小就是求最小值，这种函数最小值可利用判别式法求解，即从方程有解出发，利用判别式不小于零得解．
【详解】（1）如图，以河岸所在直线为轴，以过垂直于的直线为轴建立直角坐标系，
则可得点，
设点，过P作平行于轴的直线m，作N关于m的对称点，
则．
所以
即为所求．
（2）设三段水管总长为，则由（1）知
，
所以在上有解．
即方程在上有解．
故，即，
解得或，
所以的最小值为21，此时对应的．
故，方程为，
令得，即，
从而，．
所以满足题意的P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km．
22. 已知椭圆的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线分别与直线交于点为坐标原点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得，即可求出离心率；
（2）设出点坐标，写出直线和的方程求出交点坐标，利用化简的表达式即可求得结果.
【小问1详解】
根据题意可得椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，
由题意可知，即，
又，所以，即，
可得椭圆的离心率.
【小问2详解】
由，得，即，
所以椭圆的方程为.
如图所示：

设，则，即，
又，则直线的方程为，
直线的方程为；
因为直线分别与直线交于点，
可得，
所以.