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2023-2024学年江苏省扬州市广陵区红桥高级中学高二上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省扬州市广陵区红桥高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线性质求解即可.
【详解】由得抛物线的标准方程为，
所以其准线方程为.
故选：C
2．已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，2）B．（0，2）C．（-∞，0）D．（-∞，0）∪（0，2）
【答案】B
【分析】由双曲线的标准方程的特征可得，解不等式组即可求出结果.
【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得，
故选：B.
3．直线与圆的位置关系是( )
A．相交但直线不过圆心B．相切
C．相离D．相交且直线过圆心
【答案】A
【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离，和圆的半径比较即可得到此圆与直线的位置关系．
【详解】由圆的方程得到圆心坐标为，半径，直线为，
∴到直线的距离，
∴圆与直线的位置关系为相交，
又圆心不在直线上，
故选：A．
4．直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由中点坐标求出直线交轴和于两点坐标，从而得到直线方程
【详解】直线分别交轴和于两点，设点、，
因为是线段的中点，
由中点坐标公式得解得，
所以点、，则直线的方程为，化简得
故选
【点睛】这是一道考查直线性质的题目，解题的关键是求出直线的截距，然后求出直线方程．
5．在等差数列{an}中，a3+a4+a5＝6，则a1+a7＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】根据等差中项的性质即可求出．
【详解】由等差数列的性质，得a3+a4+a5＝3a4＝6，
解得a4＝2，
∴a1+a7＝2a4＝4，
故选：C．
6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
7．已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（ ）
A．[3,5]B．（0,5]C．[4,5]D．[16,25]
【答案】C
【分析】由已知可得动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且从而可得实数r的取值范围.
【详解】动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且又点P在上，椭圆与圆有公共点，实数r的取值范围是[4,5].
故选：C.
8．已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】根据抛物线和圆的几何性质分析取最小值时，就是取得最大，设点代入求解.
【详解】抛物线的焦点坐标，该点就是的圆心，设，
要使最小，则取得最大，
的最小值即的最小值，令
即 ，
当时取得最小值，此时.
故选：C
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为120°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】AD
【分析】逐一分析各个选项的条件，再经推理计算作答.
【详解】对于A，直线，即，恒过点，A正确；
对于B，直线，即，在轴上的截距为，B不正确；
对于C，直线的斜率，其倾斜角为，C不正确；
对于D，直线的斜率为，则垂直于直线的直线斜率为，
直线方程为：，即，D正确.
故选：AD
10．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据平行直线的特点设出方程，利用和圆相切求出方程.
【详解】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或．
故选：BD.
11．已知P为椭圆上一点，，为椭圆C的上焦点和下焦点，若为直角三角形，则P点坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由为直角三角形，则直角顶点可能为根据直角顶点的位置进行分别计算求解即可.
【详解】椭圆中，
由为直角三角形，则直角顶点可能为
设，
若为直角顶点，则，所以，得
若为直角顶点，则，所以，得
若为直角顶点，则在圆上
由，解得
故选：AD
12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．的周长存在最大值
C．线段AB长度的取值范围是
D．面积的最大值是
【答案】ACD
【分析】A选项，先求出半圆和椭圆的方程，从而得到，，得到离心率；C选项，数形结合得到AB长度的取值范围；D选项，设，则，设，则，从而得到的面积，由基本不等式求出最大值；B选项，表达出的周长等于，当时，的周长最大，但是，故B错误.
【详解】由题意知，半圆的方程为，
设椭圆方程为，则，
所以，故椭圆方程为，
A选项，椭圆离心率，故A正确；
C选项，当时，，
当时，，此时重合，不合要求，
又与半圆交于点A，与半椭圆交于点B
所以线段长度的取值范围是，C正确；
D选项，由题意得的面积，设，则，
所以，
设，则，所以，
故，
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确，
B选项，的周长等于，
则当时，的周长最大，但是，所以的周长没有最大值，B错误.
故选：ACD
三、填空题
13．已知直线l的倾斜角是135°.且过点，则直线l在y轴上的截距是 .
【答案】.
【分析】根据倾斜角求出斜率，又过点，即可求出结果.
【详解】设直线的表达式为，
∵直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率，
又∵直线过点，∴，即，
∴，
故答案为：.
14．在数列{an}中，，，则的值为 .
【答案】52
【分析】由等差数列的性质求解
【详解】由题意得，故是首项为2，公差为的等差数列，
．
故答案为：52
15．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C的焦距为10，一个顶点坐标为（3，0），则其共轭双曲线的离心率为 .
【答案】.
【分析】结合题意求出，进而利用离心率的公式即可求出结果.
【详解】由题意可知，，则，所以，
结合共轭双曲线的概念可知，，所以离心率，
故答案为：.
16．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为 .
【答案】/
【分析】设出直线的方程与抛物线方程联立，根据已知等式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【详解】因为，所以直线AB存在斜率，设为，
抛物线焦点F的坐标为，所以直线AB的方程为：，与抛物线联立为：，
设，，所以有，
因为点A在第一象限，且，
所以，因此有，
设直线AB的倾斜角为，所以，解得：
故答案为：
四、解答题
17．已知直线：；：．
(1)若，求的值；
(2)若，且它们的距离为，求， 的值．
【答案】(1)；
(2)；或
【分析】（1）求出直线的斜率，根据直线垂直的关系，得到关于的方程，求出的值即可；
（2）根据直线平行，求出的值，根据点到直线的距离求出的值即可．
【详解】（1）直线：，斜率是，
直线：，斜率是：，
若，则，
解得；
（2）若，则，解得
直线：，直线：，
在直线上取点，
则到的距离是：，
解得：或．
18．已知圆的圆心在直线上，且过点
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程为
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为
∵ 过点，
解得
∴ 所求圆的方程为
（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为
故由点到直线的距离公式得：
解得，所以直线l的方程为
综上所述，则直线l的方程为或
【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.
19．滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为千米.一“直角型”公路A-B-C（即）关于OB对称且与滴水湖圆O相切，如图建立平面直角坐标系.
(1)求直线BC的方程；
(2)现欲在湖边和“直角型”公路A-B-C围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最大？求出此时圆心到湖中心O的距离.
【答案】(1)
(2)设计见解析，此时圆心到湖中心O的距离km.
【分析】（1）根据图象设直线方程，根据直线与圆相切求解参数；
（2）计算圆与湖相切，与直角公路相切时的长度即可.
【详解】（1）由题可得直线BC的倾斜角135°，设直线BC的方程，与圆相切，
，
所以直线BC的方程
（2）若要使旅游集散中心面积最大，则应设计为圆与湖相切，且与直角公路相切，
设此时，则圆半径，
由可得，解得，
所以此时圆心到湖中心O的距离为km.
20．已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.
(1)求抛物线方程；
(2)直线与拋物线相交于两点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线焦半径公式即可得解；
（2）联立方程组求出交点坐标，即可得到弦长.
【详解】（1）由题：抛物线上一点到其焦点F的距离为2，
即，
所以抛物线方程：
（2）联立直线和得，解得，
，
21．设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切.
(1)求圆心C的轨迹E的方程；
(2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长.
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）根据几何意义即可求得轨迹方程；
（2）求出直线l的方程，结合双曲线的几何性质即可得解.
【详解】（1）圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切，
则，
所以的轨迹是以为焦点，2为实轴长的双曲线，
其标准方程
（2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，
其方程，恰好经过，
N在线段上，，
，
即，
所以的周长
22．已知椭圆的离心率为，椭圆C的一个顶点是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P（4，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在线段AB上一点存在点Q，满足，证明：点Q在一定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意求出抛物线的焦点为，则可得，由离心率为得，再结合求出的值，从而可求出椭圆方程，
（2）设直线的方程为代入椭圆方程，得，利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明Q在一定直线上
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，所以，
因为椭圆的离心率为，
所以，即，解得，
所以椭圆方程为
（2）由题意可得直线的方程为，即，
代入椭圆方程得，
化简整理得，，
设，则，
设，由，得
，
所以，
所以，
化简得，
因为，
所以，即，
所以点总在直线上，
一、单选题
1．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线性质求解即可.
【详解】由得抛物线的标准方程为，
所以其准线方程为.
故选：C
2．已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，2）B．（0，2）C．（-∞，0）D．（-∞，0）∪（0，2）
【答案】B
【分析】由双曲线的标准方程的特征可得，解不等式组即可求出结果.
【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得，
故选：B.
3．直线与圆的位置关系是( )
A．相交但直线不过圆心B．相切
C．相离D．相交且直线过圆心
【答案】A
【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离，和圆的半径比较即可得到此圆与直线的位置关系．
【详解】由圆的方程得到圆心坐标为，半径，直线为，
∴到直线的距离，
∴圆与直线的位置关系为相交，
又圆心不在直线上，
故选：A．
4．直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由中点坐标求出直线交轴和于两点坐标，从而得到直线方程
【详解】直线分别交轴和于两点，设点、，
因为是线段的中点，
由中点坐标公式得解得，
所以点、，则直线的方程为，化简得
故选
【点睛】这是一道考查直线性质的题目，解题的关键是求出直线的截距，然后求出直线方程．
5．在等差数列{an}中，a3+a4+a5＝6，则a1+a7＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】根据等差中项的性质即可求出．
【详解】由等差数列的性质，得a3+a4+a5＝3a4＝6，
解得a4＝2，
∴a1+a7＝2a4＝4，
故选：C．
6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
7．已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（ ）
A．[3,5]B．（0,5]C．[4,5]D．[16,25]
【答案】C
【分析】由已知可得动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且从而可得实数r的取值范围.
【详解】动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且又点P在上，椭圆与圆有公共点，实数r的取值范围是[4,5].
故选：C.
8．已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】根据抛物线和圆的几何性质分析取最小值时，就是取得最大，设点代入求解.
【详解】抛物线的焦点坐标，该点就是的圆心，设，
要使最小，则取得最大，
的最小值即的最小值，令
即 ，
当时取得最小值，此时.
故选：C
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为120°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】AD
【分析】逐一分析各个选项的条件，再经推理计算作答.
【详解】对于A，直线，即，恒过点，A正确；
对于B，直线，即，在轴上的截距为，B不正确；
对于C，直线的斜率，其倾斜角为，C不正确；
对于D，直线的斜率为，则垂直于直线的直线斜率为，
直线方程为：，即，D正确.
故选：AD
10．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据平行直线的特点设出方程，利用和圆相切求出方程.
【详解】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或．
故选：BD.
11．已知P为椭圆上一点，，为椭圆C的上焦点和下焦点，若为直角三角形，则P点坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由为直角三角形，则直角顶点可能为根据直角顶点的位置进行分别计算求解即可.
【详解】椭圆中，
由为直角三角形，则直角顶点可能为
设，
若为直角顶点，则，所以，得
若为直角顶点，则，所以，得
若为直角顶点，则在圆上
由，解得
故选：AD
12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．的周长存在最大值
C．线段AB长度的取值范围是
D．面积的最大值是
【答案】ACD
【分析】A选项，先求出半圆和椭圆的方程，从而得到，，得到离心率；C选项，数形结合得到AB长度的取值范围；D选项，设，则，设，则，从而得到的面积，由基本不等式求出最大值；B选项，表达出的周长等于，当时，的周长最大，但是，故B错误.
【详解】由题意知，半圆的方程为，
设椭圆方程为，则，
所以，故椭圆方程为，
A选项，椭圆离心率，故A正确；
C选项，当时，，
当时，，此时重合，不合要求，
又与半圆交于点A，与半椭圆交于点B
所以线段长度的取值范围是，C正确；
D选项，由题意得的面积，设，则，
所以，
设，则，所以，
故，
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确，
B选项，的周长等于，
则当时，的周长最大，但是，所以的周长没有最大值，B错误.
故选：ACD
三、填空题
13．已知直线l的倾斜角是135°.且过点，则直线l在y轴上的截距是 .
【答案】.
【分析】根据倾斜角求出斜率，又过点，即可求出结果.
【详解】设直线的表达式为，
∵直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率，
又∵直线过点，∴，即，
∴，
故答案为：.
14．在数列{an}中，，，则的值为 .
【答案】52
【分析】由等差数列的性质求解
【详解】由题意得，故是首项为2，公差为的等差数列，
．
故答案为：52
15．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C的焦距为10，一个顶点坐标为（3，0），则其共轭双曲线的离心率为 .
【答案】.
【分析】结合题意求出，进而利用离心率的公式即可求出结果.
【详解】由题意可知，，则，所以，
结合共轭双曲线的概念可知，，所以离心率，
故答案为：.
16．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为 .
【答案】/
【分析】设出直线的方程与抛物线方程联立，根据已知等式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【详解】因为，所以直线AB存在斜率，设为，
抛物线焦点F的坐标为，所以直线AB的方程为：，与抛物线联立为：，
设，，所以有，
因为点A在第一象限，且，
所以，因此有，
设直线AB的倾斜角为，所以，解得：
故答案为：
四、解答题
17．已知直线：；：．
(1)若，求的值；
(2)若，且它们的距离为，求， 的值．
【答案】(1)；
(2)；或
【分析】（1）求出直线的斜率，根据直线垂直的关系，得到关于的方程，求出的值即可；
（2）根据直线平行，求出的值，根据点到直线的距离求出的值即可．
【详解】（1）直线：，斜率是，
直线：，斜率是：，
若，则，
解得；
（2）若，则，解得
直线：，直线：，
在直线上取点，
则到的距离是：，
解得：或．
18．已知圆的圆心在直线上，且过点
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程为
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为
∵ 过点，
解得
∴ 所求圆的方程为
（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为
故由点到直线的距离公式得：
解得，所以直线l的方程为
综上所述，则直线l的方程为或
【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.
19．滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为千米.一“直角型”公路A-B-C（即）关于OB对称且与滴水湖圆O相切，如图建立平面直角坐标系.
(1)求直线BC的方程；
(2)现欲在湖边和“直角型”公路A-B-C围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最大？求出此时圆心到湖中心O的距离.
【答案】(1)
(2)设计见解析，此时圆心到湖中心O的距离km.
【分析】（1）根据图象设直线方程，根据直线与圆相切求解参数；
（2）计算圆与湖相切，与直角公路相切时的长度即可.
【详解】（1）由题可得直线BC的倾斜角135°，设直线BC的方程，与圆相切，
，
所以直线BC的方程
（2）若要使旅游集散中心面积最大，则应设计为圆与湖相切，且与直角公路相切，
设此时，则圆半径，
由可得，解得，
所以此时圆心到湖中心O的距离为km.
20．已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.
(1)求抛物线方程；
(2)直线与拋物线相交于两点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线焦半径公式即可得解；
（2）联立方程组求出交点坐标，即可得到弦长.
【详解】（1）由题：抛物线上一点到其焦点F的距离为2，
即，
所以抛物线方程：
（2）联立直线和得，解得，
，
21．设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切.
(1)求圆心C的轨迹E的方程；
(2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长.
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）根据几何意义即可求得轨迹方程；
（2）求出直线l的方程，结合双曲线的几何性质即可得解.
【详解】（1）圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切，
则，
所以的轨迹是以为焦点，2为实轴长的双曲线，
其标准方程
（2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，
其方程，恰好经过，
N在线段上，，
，
即，
所以的周长
22．已知椭圆的离心率为，椭圆C的一个顶点是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P（4，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在线段AB上一点存在点Q，满足，证明：点Q在一定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意求出抛物线的焦点为，则可得，由离心率为得，再结合求出的值，从而可求出椭圆方程，
（2）设直线的方程为代入椭圆方程，得，利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明Q在一定直线上
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，所以，
因为椭圆的离心率为，
所以，即，解得，
所以椭圆方程为
（2）由题意可得直线的方程为，即，
代入椭圆方程得，
化简整理得，，
设，则，
设，由，得
，
所以，
所以，
化简得，
因为，
所以，即，
所以点总在直线上，
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