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2023-2024学年广西钦州市浦北县高二上学期期中教学质量监测数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广西钦州市浦北县高二上学期期中教学质量监测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】首先得到，即可判断其虚部.
【详解】复数，则，所以的虚部为.
故选：D
2．过、两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，，.
故选：C.
3．若事件A与B互为互斥事件，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用互斥事件概率公式即得.
【详解】∵事件A与B互为互斥事件，，
∴.
故选：D.
4．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，
又直线经过点，所以直线的方程为，即.
故选：D
5．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点到直线距离公式可构造不等式求得结果.
【详解】由题意得：，解得：，即的取值范围为.
故选：B.
6．若椭圆的离心率为，则（ ）
A．3或B．C．3或D．或
【答案】C
【分析】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可.
【详解】若椭圆焦点在上，则，
所以，故，
解得，
若椭圆焦点在上，则，
所以，故，
解得，综上，或.
故选：C
7．三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，，，假设他们能否破译出密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用独立事件同时发生的概率和对立事件的概率去求此密码被破译的概率
【详解】三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，，，
他们能否破译出密码是相互独立的，
则三个人均未破译密码的概率为
则此密码被破译的概率为
故选：B
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据两点距离公式整理等式，可得动点的轨迹方程，明确两圆的圆心和半径，结合两圆的位置关系，可得答案.
【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径，
又圆C的圆心，半径，所以，且，
所以两圆相交，故其公切线的条数为2条.
故选：B.
二、多选题
9．已知直线，则（ ）
A．直线的斜率为B．直线的倾斜角为150°
C．直线不经过第三象限D．直线与直线平行
【答案】BCD
【分析】由直线方程确定斜率、倾斜角判断A、B；根据直线方程直接判定所过象限判断C；由直线平行的判定判断D.
【详解】由题设，若倾斜角，则，A错，B对；
显然直线过第一、二、四象限，不过第三象限，C对；
由，故与平行，D对.
故选：BCD
10．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相离
【答案】AC
【分析】根据圆的标准方程，可判定A正确；化简直线为，可判定B不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C正确；根据点在圆内，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，所以A正确；
对于B中，由直线，可化为，
令，解得，所以直线恒过点，所以B不正确；
对于C中，由圆心坐标为和定点，可得，
根据圆的性质，当直线与垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，
则最短弦长为，所以C正确；
对于D中，由直线恒过定点，且，即点在圆内，所以直线与圆相交，所以D不正确.
故选：AC.
11．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ）
A．B．C．D．事件A与相互独立
【答案】AC
【分析】根据题意结合古典概型求，再结合概率的运算和事件的独立性运算求解.
【详解】对于选项A：因为第二次取出球为3，4，5，6，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B错误；
对于选项C：因为，则，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，所以事件A与不独立，故D错误；
故选：AC．
12．已知，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．椭圆的焦距为
C．点到左焦点距离的最大值为
D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】由已知求出的值，然后根据椭圆的定义即可得出A，B项；根据椭圆的性质，可判断C、D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，根据椭圆的定义可得，故A正确；
对于B项，由已知可得，，椭圆的焦距为，故B正确；
对于C项，由已知可得，点到左焦点距离的最大值为右顶点到左焦点的距离，即，故C项错误；
对于D项，
如图，当点P为短轴顶点时，为最大值，此时，，
则，所以的最大值为，故D项正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知复数是纯虚数，则实数 .
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式求解即得.
【详解】由复数是纯虚数，得，解得，
所以实数.
故答案为：1
14．直线，，若则 .
【答案】或
【分析】根据直线垂直的判定列方程求参数即可.
【详解】由题设，故或.
故答案为：或
15．已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么 ．
【答案】/
【分析】根据独立事件的概率公式计算即可.
【详解】解：因为事件A与事件B相互独立，，
则，
所以，
故答案为：
16．已知与圆上的动点，则两点间距离的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据点点距离即可求解.到圆心的距离,进而结合圆的半径即可求解.
【详解】由于点在圆外，
所以到圆心的距离为，
而圆的半径为，所以，
故,
故答案为：
四、解答题
17．已知直线：.
(1)若直线在轴上的截距为2，求实数的值；
(2)若直线与直线：平行，求两平行线之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线方程求得截距的表达式，解方程得出实数的值.
（2）根据平行得出参数的值，进而求出两平行线之间的距离
【详解】（1）由题意
在直线：中，
令，可得，
∴直线在轴上的截距为，
解得：；
（2）由题意及（1）得
在直线：中，
直线与直线：平行，
∴，
∴直线的方程可化为
∴两平行线之间的距离为：.
18．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人命中目标的概率都是0.6，计算：
(1)两人都命中目标的概率；
(2)恰有一人命中目标的概率；
(3)至少有一人命中目标的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求得；
（2）根据二项分布概率公式求解即可；
（3）求解出无人击中目标的概率，根据对立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）两人都击中目标的概率.
（2）恰有一人击中目标的概率.
（3）无人击中目标的概率为：，
至少一人击中目标的概率.
19．已知，，过A，B两点作圆，且圆心在直线l：上．
(1)求圆的标准方程；
(2)过作圆的切线，求切线所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）分类讨论切线斜率存在与否，再利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【详解】（1）依题意，设圆的标准方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）知，，
若所求直线的斜率不存在，则由直线过点，得直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意；
若所求直线的斜率存在，设斜率为，
则直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，
所以切线方程为，即.
综上，切线方程为或.
20．将一颗骰子先后抛掷2次，记向上的点数分别为a和b，设事件A：“是3的倍数”，事件B：“”，事件C：“a和b均为偶数”.
(1)写出该试验的一个等可能的样本空间，并求事件A发生的概率；
(2)求事件B与事件C至少有一个发生的概率.
【答案】(1)样本空间见解析，；
(2).
【分析】（1）列举法写出样本空间，古典概型的概率求法求事件A发生的概率；
（2）列举出事件的基本事件，即可求事件B与事件C至少有一个发生的概率.
【详解】（1）如下表格，行表示，列表示，
由表格知：样本空间中基本事件有，共有36种；
事件的基本事件有，共有12种；
所以.
（2）事件的基本事件有，共有5种；
事件的基本事件有，共有9种；
所以，事件的基本事件有，共有11种，
所以.
21．已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P为C上一点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：由题意可求得，，由椭圆的定义可得，进而得，即可得解；
解法二：由题意可得，由为椭圆上一点及关系建立方程组，即可求解；
（2）由条件结合余弦定理得及椭圆的定义可求得，然后利用三角形面积公式即可得出答案.
【详解】（1）解法一：设椭圆C的焦距为，
因为，可得，所以，，
则，，
由椭圆的定义可得，
所以，
故椭圆C的标准方程为.
解法二：设椭圆C的焦距为，因为，可得，
因为为椭圆上一点，
所以，解得，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）在中，，，
由余弦定理得，
即，
又由椭圆的定义，可得，
两边平方得，
即，解得，
所以的面积.
22．已知定点，点B为圆上的动点．
(1)求AB的中点C的轨迹方程：
(2)若过定点的直线与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设，由中点坐标公式得出点的坐标，代入，即可得到的轨迹方程；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心距，半径，半弦长的关系，即可求解.
【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
化简得，
故的轨迹方程为．
（2）由圆 可得，圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，
所以，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
化简得，
因为，故圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或．
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
一、单选题
1．已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】首先得到，即可判断其虚部.
【详解】复数，则，所以的虚部为.
故选：D
2．过、两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，，.
故选：C.
3．若事件A与B互为互斥事件，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用互斥事件概率公式即得.
【详解】∵事件A与B互为互斥事件，，
∴.
故选：D.
4．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，
又直线经过点，所以直线的方程为，即.
故选：D
5．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点到直线距离公式可构造不等式求得结果.
【详解】由题意得：，解得：，即的取值范围为.
故选：B.
6．若椭圆的离心率为，则（ ）
A．3或B．C．3或D．或
【答案】C
【分析】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可.
【详解】若椭圆焦点在上，则，
所以，故，
解得，
若椭圆焦点在上，则，
所以，故，
解得，综上，或.
故选：C
7．三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，，，假设他们能否破译出密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用独立事件同时发生的概率和对立事件的概率去求此密码被破译的概率
【详解】三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，，，
他们能否破译出密码是相互独立的，
则三个人均未破译密码的概率为
则此密码被破译的概率为
故选：B
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据两点距离公式整理等式，可得动点的轨迹方程，明确两圆的圆心和半径，结合两圆的位置关系，可得答案.
【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径，
又圆C的圆心，半径，所以，且，
所以两圆相交，故其公切线的条数为2条.
故选：B.
二、多选题
9．已知直线，则（ ）
A．直线的斜率为B．直线的倾斜角为150°
C．直线不经过第三象限D．直线与直线平行
【答案】BCD
【分析】由直线方程确定斜率、倾斜角判断A、B；根据直线方程直接判定所过象限判断C；由直线平行的判定判断D.
【详解】由题设，若倾斜角，则，A错，B对；
显然直线过第一、二、四象限，不过第三象限，C对；
由，故与平行，D对.
故选：BCD
10．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相离
【答案】AC
【分析】根据圆的标准方程，可判定A正确；化简直线为，可判定B不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C正确；根据点在圆内，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，所以A正确；
对于B中，由直线，可化为，
令，解得，所以直线恒过点，所以B不正确；
对于C中，由圆心坐标为和定点，可得，
根据圆的性质，当直线与垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，
则最短弦长为，所以C正确；
对于D中，由直线恒过定点，且，即点在圆内，所以直线与圆相交，所以D不正确.
故选：AC.
11．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ）
A．B．C．D．事件A与相互独立
【答案】AC
【分析】根据题意结合古典概型求，再结合概率的运算和事件的独立性运算求解.
【详解】对于选项A：因为第二次取出球为3，4，5，6，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B错误；
对于选项C：因为，则，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，所以事件A与不独立，故D错误；
故选：AC．
12．已知，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．椭圆的焦距为
C．点到左焦点距离的最大值为
D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】由已知求出的值，然后根据椭圆的定义即可得出A，B项；根据椭圆的性质，可判断C、D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，根据椭圆的定义可得，故A正确；
对于B项，由已知可得，，椭圆的焦距为，故B正确；
对于C项，由已知可得，点到左焦点距离的最大值为右顶点到左焦点的距离，即，故C项错误；
对于D项，
如图，当点P为短轴顶点时，为最大值，此时，，
则，所以的最大值为，故D项正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知复数是纯虚数，则实数 .
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式求解即得.
【详解】由复数是纯虚数，得，解得，
所以实数.
故答案为：1
14．直线，，若则 .
【答案】或
【分析】根据直线垂直的判定列方程求参数即可.
【详解】由题设，故或.
故答案为：或
15．已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么 ．
【答案】/
【分析】根据独立事件的概率公式计算即可.
【详解】解：因为事件A与事件B相互独立，，
则，
所以，
故答案为：
16．已知与圆上的动点，则两点间距离的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据点点距离即可求解.到圆心的距离,进而结合圆的半径即可求解.
【详解】由于点在圆外，
所以到圆心的距离为，
而圆的半径为，所以，
故,
故答案为：
四、解答题
17．已知直线：.
(1)若直线在轴上的截距为2，求实数的值；
(2)若直线与直线：平行，求两平行线之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线方程求得截距的表达式，解方程得出实数的值.
（2）根据平行得出参数的值，进而求出两平行线之间的距离
【详解】（1）由题意
在直线：中，
令，可得，
∴直线在轴上的截距为，
解得：；
（2）由题意及（1）得
在直线：中，
直线与直线：平行，
∴，
∴直线的方程可化为
∴两平行线之间的距离为：.
18．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人命中目标的概率都是0.6，计算：
(1)两人都命中目标的概率；
(2)恰有一人命中目标的概率；
(3)至少有一人命中目标的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求得；
（2）根据二项分布概率公式求解即可；
（3）求解出无人击中目标的概率，根据对立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）两人都击中目标的概率.
（2）恰有一人击中目标的概率.
（3）无人击中目标的概率为：，
至少一人击中目标的概率.
19．已知，，过A，B两点作圆，且圆心在直线l：上．
(1)求圆的标准方程；
(2)过作圆的切线，求切线所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）分类讨论切线斜率存在与否，再利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【详解】（1）依题意，设圆的标准方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）知，，
若所求直线的斜率不存在，则由直线过点，得直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意；
若所求直线的斜率存在，设斜率为，
则直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，
所以切线方程为，即.
综上，切线方程为或.
20．将一颗骰子先后抛掷2次，记向上的点数分别为a和b，设事件A：“是3的倍数”，事件B：“”，事件C：“a和b均为偶数”.
(1)写出该试验的一个等可能的样本空间，并求事件A发生的概率；
(2)求事件B与事件C至少有一个发生的概率.
【答案】(1)样本空间见解析，；
(2).
【分析】（1）列举法写出样本空间，古典概型的概率求法求事件A发生的概率；
（2）列举出事件的基本事件，即可求事件B与事件C至少有一个发生的概率.
【详解】（1）如下表格，行表示，列表示，
由表格知：样本空间中基本事件有，共有36种；
事件的基本事件有，共有12种；
所以.
（2）事件的基本事件有，共有5种；
事件的基本事件有，共有9种；
所以，事件的基本事件有，共有11种，
所以.
21．已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P为C上一点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：由题意可求得，，由椭圆的定义可得，进而得，即可得解；
解法二：由题意可得，由为椭圆上一点及关系建立方程组，即可求解；
（2）由条件结合余弦定理得及椭圆的定义可求得，然后利用三角形面积公式即可得出答案.
【详解】（1）解法一：设椭圆C的焦距为，
因为，可得，所以，，
则，，
由椭圆的定义可得，
所以，
故椭圆C的标准方程为.
解法二：设椭圆C的焦距为，因为，可得，
因为为椭圆上一点，
所以，解得，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）在中，，，
由余弦定理得，
即，
又由椭圆的定义，可得，
两边平方得，
即，解得，
所以的面积.
22．已知定点，点B为圆上的动点．
(1)求AB的中点C的轨迹方程：
(2)若过定点的直线与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设，由中点坐标公式得出点的坐标，代入，即可得到的轨迹方程；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心距，半径，半弦长的关系，即可求解.
【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
化简得，
故的轨迹方程为．
（2）由圆 可得，圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，
所以，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
化简得，
因为，故圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或．
1
2
3
4
5
6
1
2
3
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5
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