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2023-2024学年北京市朝阳区东北师范大学附属中学朝阳学校高二上学期期中学习质量监测与反馈数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年北京市朝阳区东北师范大学附属中学朝阳学校高二上学期期中学习质量监测与反馈数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小.
【详解】解：由直线得直线的斜率
又直线的倾斜角为，且，所以，得
故选：B.
2．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】依题意可得两平面的法向量共线，即可得到，从而得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，即，解得；
故选：B．
3．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1B．3C．5D．9
【答案】A
【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解.
【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，
由椭圆的定义可得,
又，故.
故选：A.
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由双曲线的对称性可知，求出一个焦点到一条渐近线的距离即可，则
的一个焦点为，一条渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，
故选：B.
5．已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】根据半径的平方等于弦长一半的平方加圆心到直线的距离的平方，即可求出答案.
【详解】圆心到直线的距离，弦长的一半为1，.
故选：A.
6．如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.
【详解】因为，所以，
则有：
故选：C.
7．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含B．相交C．外切D．外离
【答案】D
【分析】求出圆心距，大于两半径之和，从而判断出两圆的位置关系.
【详解】的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
则圆心距，且，
故圆与圆的位置关系是外离.
故选：D
8．已知是椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，为正三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图像，利用平面几何的知识证得，结合椭圆的定义可分别求出及，由此得到的关系式，进而可求得椭圆C的离心率.
【详解】如图，连结，
由椭圆可知，，
因为为正三角形，所以，
又因为，所以，
又，所以，
故，
所以在中，，
所以由得，即，
故椭圆C的离心率为.
故选：B.
.
9．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ）
A．13米B．14米C．15米D．16米
【答案】D
【分析】沿拱顶建立如图所示的平面直角坐标系，求出圆的方程后可得水面下降2米后的水面宽.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
设圆的方程为：，代入，则有，
故圆的方程为：，
令，则，故，
故选：D.
10．已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】A
【分析】联系椭圆定义可顺利解得其离心率，由渐近线方程可以顺利解得双曲线的离心率.
【详解】椭圆：中，且
则，椭圆长轴长为
则椭圆M的离心率
直线OP斜率为
又由题意可知直线OP为双曲线N的一条渐近线，
双曲线：的渐近线方程为
故，即，
则双曲线的实半轴长为
则双曲线N的离心率
则
故选：A
二、填空题
11．过点且与直线平行的直线方程为 .
【答案】
【分析】设所求直线方程为，利用点坐标求得，从而求得正确答案.
【详解】设过点且与直线平行的直线方程为，
将代入得，
所以所求方程为.
故答案为：
12．椭圆的一个焦点是，那么等于 ．
【答案】
【分析】根据椭圆中，得出的代数式，并根据焦点坐标列出方程即可求解.
【详解】因为椭圆，所以，
又因为椭圆的一个焦点是，
所以，解得，
故答案为：.
13．已知点在抛物线：上，则点到抛物线的焦点的距离为 ．
【答案】
【分析】根据给定的抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义即可计算作答.
【详解】抛物线：的准线方程为：，由抛物线定义得，点到抛物线的焦点的距离，
所以点到抛物线的焦点的距离为3.
故答案为：3
14．在长方体中，，则 ．
【答案】3
【分析】根据给定的几何体，用空间向量的基底表示向量，再利用向量数量积运算律计算即得.
【详解】在长方体中，，
所以.
故答案为：3
15．已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】先利用中点坐标公式写出，再把代入椭圆方程化简即可.
【详解】因为轴，垂足为M，且PM的中点为，
所以，又因为P是椭圆上任意一点，
所以，即.
故答案为：.
三、双空题
16．如图，正方体的棱长为，分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是 ；最大值是 ．
【答案】
【解析】取中点，中点，连接，，，利用面面平行的判定定理证得平面平面，结合已知条件可知，在等腰中，可求得长度的最值.
【详解】取中点，中点，连接，，
由正方体，分别为的中点，
又平面，平面，平面
分别为的中点，由中位线性质知
同理可知，
又平面，平面，平面
又，平面
平面平面
是底面上一点．且平面，
在等腰中，的长度最大时为
的长度最小时，为中点，，，即
故答案为：，
【点睛】方法点睛：证明面面平行常用的方法：
（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
（4）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
四、解答题
17．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．
(1)证明：平面；
(2)求到面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量共线证明即可；
（2）利用空间向量，根据点到平面的距离公式求解即可.
【详解】（1）以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以，
又因为，所以，
所以平面.
（2）由（1）知平面的法向量为，
又因为，
所以到面的距离为．
18．已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)求的面积．
【答案】(1)焦点坐标为；离心率为
(2)
【分析】（1）由椭圆的定义及性质可以得出椭圆的焦点坐标及离心率，
（2）先计算点到的距离，再利用公式求出线段的长，
最后用面积公式计算解决问题.
【详解】（1）椭圆知，该椭圆的焦点在 轴上，设焦距为，
由， 所以，所以焦点坐标为
离心率为：
（2）由直线与椭圆相交于两点，设
则消去得，，
所以
又到的距离为
所以的面积为：
19．在如图所示的多面体中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分别为棱的中点.
（I）求点F到直线EC的距离；
（II）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值；
（III）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平而EDC？若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明理由.
【答案】（I）；（II）；（III）不存在，证明见解析；
【分析】（I）由题知，，，又，建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得向量，，则点F到直线EC的距离为；
（II）求得平面BED和平面EDC的法向量，利用向量的夹角求得二面角的余弦值；
（III）假设GF上存在点Q使得平面平面，设出坐标，求得平面MNQ的法向量，与平面EDC的法向量应共线，验证是否存在即可.
【详解】（I）由平面ABCD知，，，又，
则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
则，
，，
所以点F到直线EC的距离为
（II）由（I）知，，，
设平面BED的法向量为，
则，令，则
设平面EDC的法向量为，
则，令，则
故
由图知，二面角为锐二面角，故余弦值为
（III）设GF上存在一点Q，设，
则，
设平面MNQ的法向量为
则，令，则
若平面平面，则，
故不存在，即不存在点Q使得平面平面
20．已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】第一问用椭圆短轴和离心率的相关定义求解即可，第二问中的斜率易求，讨论是否为分别求解即可.
【详解】（1）由题意得
解得．
椭圆的方程为．
（2）
由，显然斜率存在，，
当时，．
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为．
由得．
显然．
设，则．
则中点．
直线的方程为，
由得．
．
综上的值为1．
【点睛】本题考查解析几何，属于难题，第一问用基本定义即可求解，第二问用所学知识，分析题意，进行分类讨论，求解即可，考生需加强分类讨论思想的学习.
21．已知集合（）具有性质P：对任意的（），与两数中至少有一个属于A．
(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
(2)证明：，且；
(3)当n＝5时，若，求集合A．
【答案】(1)数集具有性质P，数集不具有性质P；理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据定义，计算并判断出数集具有性质P，数集不具有性质P；
（2）判断出属于集合A，即0∈A，即，结合集合定义得到，同理可得，利用倒序相加求出；
（3）根据定义推导出是首项为0，公差为的等差数列，求出．
【详解】（1）因为都属于数集，
所以数集具有性质P，因为和均不属于数集，
所以数集不具有性质P；
（2）证明：令，因为与两数中至少有一个属于A，
所以不属于A，所以属于集合A，即0∈A，所以，
令j＝n，i＞1，因为与两数中至少有一个属于A，
所以不属于A，所以属于集合A，
令，则是集合A中的某一项，
若，符合题意，
若，则，
所以，矛盾，
同理等于其他项均矛盾，所以，
同理，令，可得，
倒序相加得；
（3）当n＝5时，令j＝5，当时，，
因为集合A具有性质P，所以，
所以，i＝1，2，3，4，5，
所以，
所以，，，
所以，，所以，
即，
又因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以，
即是首项为0，公差为的等差数列，
所以．
【点睛】集合新定义，需要正确理解题干中的信息，并转化为我们熟悉的知识进行求解，常常用到列举法，反证法等逻辑思路解决问题.
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小.
【详解】解：由直线得直线的斜率
又直线的倾斜角为，且，所以，得
故选：B.
2．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】依题意可得两平面的法向量共线，即可得到，从而得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，即，解得；
故选：B．
3．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1B．3C．5D．9
【答案】A
【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解.
【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，
由椭圆的定义可得,
又，故.
故选：A.
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由双曲线的对称性可知，求出一个焦点到一条渐近线的距离即可，则
的一个焦点为，一条渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，
故选：B.
5．已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】根据半径的平方等于弦长一半的平方加圆心到直线的距离的平方，即可求出答案.
【详解】圆心到直线的距离，弦长的一半为1，.
故选：A.
6．如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.
【详解】因为，所以，
则有：
故选：C.
7．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含B．相交C．外切D．外离
【答案】D
【分析】求出圆心距，大于两半径之和，从而判断出两圆的位置关系.
【详解】的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
则圆心距，且，
故圆与圆的位置关系是外离.
故选：D
8．已知是椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，为正三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图像，利用平面几何的知识证得，结合椭圆的定义可分别求出及，由此得到的关系式，进而可求得椭圆C的离心率.
【详解】如图，连结，
由椭圆可知，，
因为为正三角形，所以，
又因为，所以，
又，所以，
故，
所以在中，，
所以由得，即，
故椭圆C的离心率为.
故选：B.
.
9．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ）
A．13米B．14米C．15米D．16米
【答案】D
【分析】沿拱顶建立如图所示的平面直角坐标系，求出圆的方程后可得水面下降2米后的水面宽.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
设圆的方程为：，代入，则有，
故圆的方程为：，
令，则，故，
故选：D.
10．已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】A
【分析】联系椭圆定义可顺利解得其离心率，由渐近线方程可以顺利解得双曲线的离心率.
【详解】椭圆：中，且
则，椭圆长轴长为
则椭圆M的离心率
直线OP斜率为
又由题意可知直线OP为双曲线N的一条渐近线，
双曲线：的渐近线方程为
故，即，
则双曲线的实半轴长为
则双曲线N的离心率
则
故选：A
二、填空题
11．过点且与直线平行的直线方程为 .
【答案】
【分析】设所求直线方程为，利用点坐标求得，从而求得正确答案.
【详解】设过点且与直线平行的直线方程为，
将代入得，
所以所求方程为.
故答案为：
12．椭圆的一个焦点是，那么等于 ．
【答案】
【分析】根据椭圆中，得出的代数式，并根据焦点坐标列出方程即可求解.
【详解】因为椭圆，所以，
又因为椭圆的一个焦点是，
所以，解得，
故答案为：.
13．已知点在抛物线：上，则点到抛物线的焦点的距离为 ．
【答案】
【分析】根据给定的抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义即可计算作答.
【详解】抛物线：的准线方程为：，由抛物线定义得，点到抛物线的焦点的距离，
所以点到抛物线的焦点的距离为3.
故答案为：3
14．在长方体中，，则 ．
【答案】3
【分析】根据给定的几何体，用空间向量的基底表示向量，再利用向量数量积运算律计算即得.
【详解】在长方体中，，
所以.
故答案为：3
15．已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】先利用中点坐标公式写出，再把代入椭圆方程化简即可.
【详解】因为轴，垂足为M，且PM的中点为，
所以，又因为P是椭圆上任意一点，
所以，即.
故答案为：.
三、双空题
16．如图，正方体的棱长为，分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是 ；最大值是 ．
【答案】
【解析】取中点，中点，连接，，，利用面面平行的判定定理证得平面平面，结合已知条件可知，在等腰中，可求得长度的最值.
【详解】取中点，中点，连接，，
由正方体，分别为的中点，
又平面，平面，平面
分别为的中点，由中位线性质知
同理可知，
又平面，平面，平面
又，平面
平面平面
是底面上一点．且平面，
在等腰中，的长度最大时为
的长度最小时，为中点，，，即
故答案为：，
【点睛】方法点睛：证明面面平行常用的方法：
（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
（4）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
四、解答题
17．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．
(1)证明：平面；
(2)求到面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量共线证明即可；
（2）利用空间向量，根据点到平面的距离公式求解即可.
【详解】（1）以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以，
又因为，所以，
所以平面.
（2）由（1）知平面的法向量为，
又因为，
所以到面的距离为．
18．已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)求的面积．
【答案】(1)焦点坐标为；离心率为
(2)
【分析】（1）由椭圆的定义及性质可以得出椭圆的焦点坐标及离心率，
（2）先计算点到的距离，再利用公式求出线段的长，
最后用面积公式计算解决问题.
【详解】（1）椭圆知，该椭圆的焦点在 轴上，设焦距为，
由， 所以，所以焦点坐标为
离心率为：
（2）由直线与椭圆相交于两点，设
则消去得，，
所以
又到的距离为
所以的面积为：
19．在如图所示的多面体中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分别为棱的中点.
（I）求点F到直线EC的距离；
（II）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值；
（III）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平而EDC？若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明理由.
【答案】（I）；（II）；（III）不存在，证明见解析；
【分析】（I）由题知，，，又，建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得向量，，则点F到直线EC的距离为；
（II）求得平面BED和平面EDC的法向量，利用向量的夹角求得二面角的余弦值；
（III）假设GF上存在点Q使得平面平面，设出坐标，求得平面MNQ的法向量，与平面EDC的法向量应共线，验证是否存在即可.
【详解】（I）由平面ABCD知，，，又，
则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
则，
，，
所以点F到直线EC的距离为
（II）由（I）知，，，
设平面BED的法向量为，
则，令，则
设平面EDC的法向量为，
则，令，则
故
由图知，二面角为锐二面角，故余弦值为
（III）设GF上存在一点Q，设，
则，
设平面MNQ的法向量为
则，令，则
若平面平面，则，
故不存在，即不存在点Q使得平面平面
20．已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】第一问用椭圆短轴和离心率的相关定义求解即可，第二问中的斜率易求，讨论是否为分别求解即可.
【详解】（1）由题意得
解得．
椭圆的方程为．
（2）
由，显然斜率存在，，
当时，．
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为．
由得．
显然．
设，则．
则中点．
直线的方程为，
由得．
．
综上的值为1．
【点睛】本题考查解析几何，属于难题，第一问用基本定义即可求解，第二问用所学知识，分析题意，进行分类讨论，求解即可，考生需加强分类讨论思想的学习.
21．已知集合（）具有性质P：对任意的（），与两数中至少有一个属于A．
(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
(2)证明：，且；
(3)当n＝5时，若，求集合A．
【答案】(1)数集具有性质P，数集不具有性质P；理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据定义，计算并判断出数集具有性质P，数集不具有性质P；
（2）判断出属于集合A，即0∈A，即，结合集合定义得到，同理可得，利用倒序相加求出；
（3）根据定义推导出是首项为0，公差为的等差数列，求出．
【详解】（1）因为都属于数集，
所以数集具有性质P，因为和均不属于数集，
所以数集不具有性质P；
（2）证明：令，因为与两数中至少有一个属于A，
所以不属于A，所以属于集合A，即0∈A，所以，
令j＝n，i＞1，因为与两数中至少有一个属于A，
所以不属于A，所以属于集合A，
令，则是集合A中的某一项，
若，符合题意，
若，则，
所以，矛盾，
同理等于其他项均矛盾，所以，
同理，令，可得，
倒序相加得；
（3）当n＝5时，令j＝5，当时，，
因为集合A具有性质P，所以，
所以，i＝1，2，3，4，5，
所以，
所以，，，
所以，，所以，
即，
又因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以，
即是首项为0，公差为的等差数列，
所以．
【点睛】集合新定义，需要正确理解题干中的信息，并转化为我们熟悉的知识进行求解，常常用到列举法，反证法等逻辑思路解决问题.
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