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2023-2024学年四川省绵阳市三台县高二上学期期中教学质量调研数学测试题含答案
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这是一份2023-2024学年四川省绵阳市三台县高二上学期期中教学质量调研数学测试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．求点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间中对称的点的坐标特征可直接得到结果.
【详解】根据空间坐标的对称关系可知：关于轴的对称点为.
故选：A.
2．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ）
A．1 000名学生是总体
B．每个学生是个体
C．100名学生的成绩单是一个个体
D．样本的容量是100
【答案】D
【分析】问题明确后，调查对象的范围随之确定.本题调查的目的是分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，故总体、样本及个体三个概念调查对象都是学生的成绩单.
【详解】由于调查目的是为分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，
则1 000名学生的学习成绩单为总体.
从中随机抽取的100名学生的成绩单为样本.
个体则为每一个学生的成绩单.故A B C都不正确.
样本中个体的数目为样本容量，即100，故D正确．
故选：D.
3．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前名学生分布的扇形图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）
A．成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人
B．成绩前名的学生中，高一人数不超过人
C．成绩前名的学生中，高三人数不超过人
D．成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多
【答案】D
【分析】根据饼状图和条形图提供的数据判断．
【详解】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确；
由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确；
成绩前50名的50人中，高一人数为，因此高三最多有32人，C正确；
第51到100名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：D．
4．12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（ ）
A．抽得3件正品B．抽得至少有1件正品
C．抽得至少有1件次品D．抽得3件正品或2件次品1件正品
【答案】A
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.
【详解】对于 , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件;
对于 , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,
对于 , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,
对于 , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件.
故选:A
【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,掌握互斥事件与对立事件的概念是答题的关键,属于基础题.
5．如图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】因为
.
故选：A
6．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出，根据点到直线的距离的向量公式进行求解.
【详解】因为，为的一个方向向量，所以点到直线的距离.
故选：B
7．如图，在一个的二面角的棱上有两个点，，分别连接线段、在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量法求得的长.
【详解】，
两边平方得：，
，
，
所以的长为.
故答案为：A
8．已知样本数据，，，，，的平均数为16，方差为9，则另一组数据，，，，，，12的方差为（ ）．
A．B．C．D．7
【答案】C
【分析】由均值、方差性质求数据，，，，，的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.
【详解】设数据，，，，，的平均数为，方差为，
由，，得，，
则，，，，，，12的平均数为，
方差为
．
故选：C
二、多选题
9．“未来之星”少儿才艺大赛，九位评委现场对某选手打分分别是，记这组数据的平均分、中位数、标准差、极差分别为，，，，去掉这组数据的一个最高分和一个最低分后，其平均分、中位数、标准差、极差分别为，，，，则下列判断中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据平均数、中位数、标准差、极值的性质逐一判断即可.
【详解】根据平均数的性质可知不一定成立，
例如九个数一个90，其它都是80，显然该等式不成立，因此A不一定正确；
根据中位数的定义可知这九个数据从小到大排列，中间的一个数据是中位数，
去掉最高和最低不影响中间的数据，所以B一定正确；
根据标准差的意义可知去掉最高和最低分，数据有可能会更集中，
如个数都相等时，标准差不变，个数都不相等时，标准差变小，故C一定正确；
因为去掉最高和最低分，极差有可能减小，
如个数都相等时，极差不变，个数都不相等时，极差变小，故D一定正确，
故选：BCD
10．一个袋子中有标号分别为、、、的四个球，除了标号外没有其它差异，现采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，则下列选项正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】列举出所有的基本事件，确定每个选项中各事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得各选项中事件的概率.
【详解】采用不放回方式从中任意摸球两次，所有的基本事件有：、、、、
、、、、、、、，共种，
对于A选项，事件包含的基本事件有：、、、、、，共种，
则，A错；
对于B选项，事件包含的基本事件有：：、、、、、、、
、、，共种，则，B对；
对于C选项，事件包含的基本事件有：、，共种，故，C对；
对于D选项，事件包含的基本事件有：、、、、、，共种，
故，D错.
故选：BC.
11．为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（ ）
A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B．骑车时间的众数的估计值是21分钟
C．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
D．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
【答案】BCD
【分析】对于A：找到骑车时间的中位数所在组，代入公式求值即可；
对于B：找到骑车时间的频率最高的一组，取其组中值即为骑车时间的众数的估计值；
对于C：找到坐公交车时间的40%分位数所在组，代入公式求值即可；
对于D：分别计算出坐公交车时间的平均数与骑车时间的平均数的估计值，比较即可.
【详解】对于A：，，
所以骑车时间的中位数在这一组，为分钟，故A错误；
对于B：骑车时间的众数的估计值是分钟，故B正确；
对于C：，，所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在这一组，为分钟，故C正确；
对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为：
，
骑车时间的平均数的估计值为：
，
则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．，使
B．线段存在最小值，最小值为
C．直线与平面所成的角恒为
D．，都存在过且与平面平行的平面
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，设出，点坐标，A选项，令，算出符合要求的，B选项，表达出的长，求出最小值；C选项，表达出直线与平面所成的角；D选项，证明出与平面平行，即可说明.
【详解】因为边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，交线为AB，BC⊥AB，BC⊥平面ABEF，平面ABEF，所以BC⊥BE，所以AB，BC，BE两两垂直，以B为坐标原点，BA为x轴，BE为y轴，BC为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，若，则，解得：，所以，使，A正确；
，因为，所以当时，，B错误；
平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成的角不是定值，C错误；
平面BCE的法向量，则，所以∥平面BCE，所以，都存在过且与平面平行的平面，D正确.
故选：AD
三、填空题
13．某公司有职工160人，其中业务人员56人，管理人员64人，内勤人40人.若按岗位进行分层，采用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取20人进行健康测试，则应抽取管理人员的人数为 .
【答案】8
【分析】根据分层抽样定义求解.
【详解】根据题意，利用分层抽样抽样比相同可得人，
即应抽取管理人员的人数为8.
故答案为：8
14．袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 .
【答案】
【分析】利用古典概型的随机数法求解.
【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，
所以恰好抽取三次就停止的概率约为，
故答案为：
15．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为 ．
【答案】
【分析】根据事件的独立性，结合题意即可直接列出关系，计算即可.
【详解】由该射手得分为，知射击甲靶命中且乙靶命中一次，或者甲靶没有命中且乙靶命中两次，
故所求概率为.
故答案为：
16．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（O为坐标原点） .
【答案】
【分析】利用共线向量及数量积的坐标表示可得，再利用二次函数知识即得.
【详解】设，则，
因为点Q在直线OP上运动，所以，
所以，即，，
所以，
所以
，
所以当时，取得最小值，此时点Q的坐标为.
故答案为：.
四、解答题
17．甲乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下.甲：82，81，79，78，95，88，93，84 ；乙：92，95，80，75，83，80，90，85.
(1)求甲的第60百分位数；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学数据特征的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.
【答案】(1)84
(2)选派甲参加比赛，理由见解析.
【分析】（1）根据百分位数的定义求解；
（2）根据平均数和方差求解.
【详解】（1）把甲的成绩按照从小到大顺序排列可得：
78,79,81,82,84,88,93,95，
因为，
所以甲的第60百分位数为第五个数，即为84.
（2）
，
因为，，所以甲的成绩更稳定，应该选派甲参加比赛.
18．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解；
（2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解.
【详解】（1）
因为,
所以
.
（2）,
,
,
,
所以,
因为直线与所成角，
所以直线与所成角的余弦值为.
19．某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于1个家庭回答正确这道题的概率．
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式求解；
（2）根据独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率关系求解.
【详解】（1）记“甲回答正确这道题”,“乙回答正确这道题”,“丙回答正确这道题”
分别为事件,所以,
且有，即，
所以.
（2）有0家回答正确的概率为,
所以甲、乙、丙三个家庭中不少于1个家庭回答正确这道题的概率为.
20．某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
(1)补全频率分布直方图并求、、的值；
(2)从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，求选取的名领队中恰有人年龄在岁的概率.
【答案】(1)频率分布直方图见解析，，，
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图的面积是这组数据的频率，做出频率，除以组距得到高，画出频率分布直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出、、的值．
（2）根据分层抽样方法做出两个部分的人数，列举出所有试验发生包含的事件和满足条件的事件，根据等可能事件的概率公式，得到结果．
【详解】（1）解：第二组的频率为，
高为．频率直方图如下：
第一组的人数为，频率为，
．
由题可知，第二组的频率为0.3，
第二组的人数为，
．
第四组的频率为，
第四组的人数为，
．
综上所述：，，.
（2）岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，
所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人，岁中有2人．
设岁中的4人为、、、，岁中的2人为、，则选取2人作为领队的有
、、、、、、、、
、、、、、、，共15种；
其中恰有1人年龄在岁的有、、、、
、、、，共8种．
选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率为．
21．已知菱形的边长为2，，如图1，沿对角线将向上折起至，连接，构成一个四面体，如图2.
(1)求证：；
(2)若，点是的中点，求平面与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，证明，可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）连接，证明，则即为平面与平面所成角的平面角或补角，求出即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
在菱形中，，则都是等边三角形，
即在四面体中，都是等边三角形，
则，
又平面，
所以平面，
又因平面，
所以；
（2）连接，
由（1）得平面，
因为平面，所以，
又因为，平面平面，
所以即为平面与平面所成角得平面角或补角，
因为都是等边三角形，
所以，
因为，所以，所以，
又因点是的中点，所以，
所以平面与平面所成角的大小为.
22．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在求出的长.
【分析】（1）利用线面平行判定定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算，求直线与平面的夹角的正弦值，即可求解.
【详解】（1）取的中点,连接
∵,∴是等腰三角形，
∵点为 的中点.
∴., , ∵,
可得四边形是平行四边形，∴,
又∵平面平面，∴. 平面;
（2）
取中点为，连接,
则有,因为所以
因为平面平面，交线为,
平面，所以平面，
且平面，所以,
且在等腰三角形中，，
所以以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
假设上存在一点，设
则
设平面的一个法向量为，
则，取则，
所以，
设直线与平面所成的角为，则，
即，
整理得，，解得或（舍去），
故得到的长为.
组数
分组
低碳族的人数
占本组的频率
第一组
，
120
0.6
第二组
，
195
第三组
，
100
0.5
第四组
，
0.4
第五组
，
30
0.3
第六组
，
15
0.3
一、单选题
1．求点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间中对称的点的坐标特征可直接得到结果.
【详解】根据空间坐标的对称关系可知：关于轴的对称点为.
故选：A.
2．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ）
A．1 000名学生是总体
B．每个学生是个体
C．100名学生的成绩单是一个个体
D．样本的容量是100
【答案】D
【分析】问题明确后，调查对象的范围随之确定.本题调查的目的是分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，故总体、样本及个体三个概念调查对象都是学生的成绩单.
【详解】由于调查目的是为分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，
则1 000名学生的学习成绩单为总体.
从中随机抽取的100名学生的成绩单为样本.
个体则为每一个学生的成绩单.故A B C都不正确.
样本中个体的数目为样本容量，即100，故D正确．
故选：D.
3．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前名学生分布的扇形图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）
A．成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人
B．成绩前名的学生中，高一人数不超过人
C．成绩前名的学生中，高三人数不超过人
D．成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多
【答案】D
【分析】根据饼状图和条形图提供的数据判断．
【详解】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确；
由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确；
成绩前50名的50人中，高一人数为，因此高三最多有32人，C正确；
第51到100名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：D．
4．12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（ ）
A．抽得3件正品B．抽得至少有1件正品
C．抽得至少有1件次品D．抽得3件正品或2件次品1件正品
【答案】A
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.
【详解】对于 , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件;
对于 , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,
对于 , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,
对于 , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件.
故选:A
【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,掌握互斥事件与对立事件的概念是答题的关键,属于基础题.
5．如图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】因为
.
故选：A
6．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出，根据点到直线的距离的向量公式进行求解.
【详解】因为，为的一个方向向量，所以点到直线的距离.
故选：B
7．如图，在一个的二面角的棱上有两个点，，分别连接线段、在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量法求得的长.
【详解】，
两边平方得：，
，
，
所以的长为.
故答案为：A
8．已知样本数据，，，，，的平均数为16，方差为9，则另一组数据，，，，，，12的方差为（ ）．
A．B．C．D．7
【答案】C
【分析】由均值、方差性质求数据，，，，，的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.
【详解】设数据，，，，，的平均数为，方差为，
由，，得，，
则，，，，，，12的平均数为，
方差为
．
故选：C
二、多选题
9．“未来之星”少儿才艺大赛，九位评委现场对某选手打分分别是，记这组数据的平均分、中位数、标准差、极差分别为，，，，去掉这组数据的一个最高分和一个最低分后，其平均分、中位数、标准差、极差分别为，，，，则下列判断中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据平均数、中位数、标准差、极值的性质逐一判断即可.
【详解】根据平均数的性质可知不一定成立，
例如九个数一个90，其它都是80，显然该等式不成立，因此A不一定正确；
根据中位数的定义可知这九个数据从小到大排列，中间的一个数据是中位数，
去掉最高和最低不影响中间的数据，所以B一定正确；
根据标准差的意义可知去掉最高和最低分，数据有可能会更集中，
如个数都相等时，标准差不变，个数都不相等时，标准差变小，故C一定正确；
因为去掉最高和最低分，极差有可能减小，
如个数都相等时，极差不变，个数都不相等时，极差变小，故D一定正确，
故选：BCD
10．一个袋子中有标号分别为、、、的四个球，除了标号外没有其它差异，现采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，则下列选项正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】列举出所有的基本事件，确定每个选项中各事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得各选项中事件的概率.
【详解】采用不放回方式从中任意摸球两次，所有的基本事件有：、、、、
、、、、、、、，共种，
对于A选项，事件包含的基本事件有：、、、、、，共种，
则，A错；
对于B选项，事件包含的基本事件有：：、、、、、、、
、、，共种，则，B对；
对于C选项，事件包含的基本事件有：、，共种，故，C对；
对于D选项，事件包含的基本事件有：、、、、、，共种，
故，D错.
故选：BC.
11．为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（ ）
A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B．骑车时间的众数的估计值是21分钟
C．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
D．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
【答案】BCD
【分析】对于A：找到骑车时间的中位数所在组，代入公式求值即可；
对于B：找到骑车时间的频率最高的一组，取其组中值即为骑车时间的众数的估计值；
对于C：找到坐公交车时间的40%分位数所在组，代入公式求值即可；
对于D：分别计算出坐公交车时间的平均数与骑车时间的平均数的估计值，比较即可.
【详解】对于A：，，
所以骑车时间的中位数在这一组，为分钟，故A错误；
对于B：骑车时间的众数的估计值是分钟，故B正确；
对于C：，，所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在这一组，为分钟，故C正确；
对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为：
，
骑车时间的平均数的估计值为：
，
则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．，使
B．线段存在最小值，最小值为
C．直线与平面所成的角恒为
D．，都存在过且与平面平行的平面
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，设出，点坐标，A选项，令，算出符合要求的，B选项，表达出的长，求出最小值；C选项，表达出直线与平面所成的角；D选项，证明出与平面平行，即可说明.
【详解】因为边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，交线为AB，BC⊥AB，BC⊥平面ABEF，平面ABEF，所以BC⊥BE，所以AB，BC，BE两两垂直，以B为坐标原点，BA为x轴，BE为y轴，BC为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，若，则，解得：，所以，使，A正确；
，因为，所以当时，，B错误；
平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成的角不是定值，C错误；
平面BCE的法向量，则，所以∥平面BCE，所以，都存在过且与平面平行的平面，D正确.
故选：AD
三、填空题
13．某公司有职工160人，其中业务人员56人，管理人员64人，内勤人40人.若按岗位进行分层，采用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取20人进行健康测试，则应抽取管理人员的人数为 .
【答案】8
【分析】根据分层抽样定义求解.
【详解】根据题意，利用分层抽样抽样比相同可得人，
即应抽取管理人员的人数为8.
故答案为：8
14．袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 .
【答案】
【分析】利用古典概型的随机数法求解.
【详解】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，
所以恰好抽取三次就停止的概率约为，
故答案为：
15．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为 ．
【答案】
【分析】根据事件的独立性，结合题意即可直接列出关系，计算即可.
【详解】由该射手得分为，知射击甲靶命中且乙靶命中一次，或者甲靶没有命中且乙靶命中两次，
故所求概率为.
故答案为：
16．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（O为坐标原点） .
【答案】
【分析】利用共线向量及数量积的坐标表示可得，再利用二次函数知识即得.
【详解】设，则，
因为点Q在直线OP上运动，所以，
所以，即，，
所以，
所以
，
所以当时，取得最小值，此时点Q的坐标为.
故答案为：.
四、解答题
17．甲乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下.甲：82，81，79，78，95，88，93，84 ；乙：92，95，80，75，83，80，90，85.
(1)求甲的第60百分位数；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学数据特征的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.
【答案】(1)84
(2)选派甲参加比赛，理由见解析.
【分析】（1）根据百分位数的定义求解；
（2）根据平均数和方差求解.
【详解】（1）把甲的成绩按照从小到大顺序排列可得：
78,79,81,82,84,88,93,95，
因为，
所以甲的第60百分位数为第五个数，即为84.
（2）
，
因为，，所以甲的成绩更稳定，应该选派甲参加比赛.
18．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解；
（2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解.
【详解】（1）
因为,
所以
.
（2）,
,
,
,
所以,
因为直线与所成角，
所以直线与所成角的余弦值为.
19．某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于1个家庭回答正确这道题的概率．
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式求解；
（2）根据独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率关系求解.
【详解】（1）记“甲回答正确这道题”,“乙回答正确这道题”,“丙回答正确这道题”
分别为事件,所以,
且有，即，
所以.
（2）有0家回答正确的概率为,
所以甲、乙、丙三个家庭中不少于1个家庭回答正确这道题的概率为.
20．某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
(1)补全频率分布直方图并求、、的值；
(2)从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，求选取的名领队中恰有人年龄在岁的概率.
【答案】(1)频率分布直方图见解析，，，
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图的面积是这组数据的频率，做出频率，除以组距得到高，画出频率分布直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出、、的值．
（2）根据分层抽样方法做出两个部分的人数，列举出所有试验发生包含的事件和满足条件的事件，根据等可能事件的概率公式，得到结果．
【详解】（1）解：第二组的频率为，
高为．频率直方图如下：
第一组的人数为，频率为，
．
由题可知，第二组的频率为0.3，
第二组的人数为，
．
第四组的频率为，
第四组的人数为，
．
综上所述：，，.
（2）岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，
所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人，岁中有2人．
设岁中的4人为、、、，岁中的2人为、，则选取2人作为领队的有
、、、、、、、、
、、、、、、，共15种；
其中恰有1人年龄在岁的有、、、、
、、、，共8种．
选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率为．
21．已知菱形的边长为2，，如图1，沿对角线将向上折起至，连接，构成一个四面体，如图2.
(1)求证：；
(2)若，点是的中点，求平面与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，证明，可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）连接，证明，则即为平面与平面所成角的平面角或补角，求出即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
在菱形中，，则都是等边三角形，
即在四面体中，都是等边三角形，
则，
又平面，
所以平面，
又因平面，
所以；
（2）连接，
由（1）得平面，
因为平面，所以，
又因为，平面平面，
所以即为平面与平面所成角得平面角或补角，
因为都是等边三角形，
所以，
因为，所以，所以，
又因点是的中点，所以，
所以平面与平面所成角的大小为.
22．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在求出的长.
【分析】（1）利用线面平行判定定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算，求直线与平面的夹角的正弦值，即可求解.
【详解】（1）取的中点,连接
∵,∴是等腰三角形，
∵点为 的中点.
∴., , ∵,
可得四边形是平行四边形，∴,
又∵平面平面，∴. 平面;
（2）
取中点为，连接,
则有,因为所以
因为平面平面，交线为,
平面，所以平面，
且平面，所以,
且在等腰三角形中，，
所以以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
假设上存在一点，设
则
设平面的一个法向量为，
则，取则，
所以，
设直线与平面所成的角为，则，
即，
整理得，，解得或（舍去），
故得到的长为.
组数
分组
低碳族的人数
占本组的频率
第一组
，
120
0.6
第二组
，
195
第三组
，
100
0.5
第四组
，
0.4
第五组
，
30
0.3
第六组
，
15
0.3
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