河南省郑州市中牟县郑州东枫外国语学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份河南省郑州市中牟县郑州东枫外国语学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共23页。

1．的相反数为（ ）
A．5B．C．5或D．
2．火热的卡塔尔世界杯足球赛已经落下帷幕，最终阿根廷队捧起了大力神杯．据统计，本届世界杯，卡塔尔官方共投入约220 000 000 000美元用于场馆、交通、酒店等基础设施建设，220 000 000 000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ）.
A．55°B．60°C．70°D．75°
6．希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是( )
A．92B．91.5C．91D．90
7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数： ．
12．不等式组，的解集是 ．
13．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关，，，中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
14．如图，在扇形中，，分别以O，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交于点C，过点C作于点D，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 ．
三.解答题．（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．距离中考体考时间越来越近，某校想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：分钟）：
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105；
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72．
统计数据，并制作了如下统计表：
分析数据，两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如表：
（1）请将上面的表格补充完整：______，______，______，______，______．
（2）已知该年级男、女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人?
（3）体育老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持体育老师观点的理由．
18．为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如下表：
问题解决：学校要求测温区域的宽度为4m，师生身高设定为．当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到m；参考数据，）
19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围；
(3)求的面积．
20．草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓，若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润=售价-进价），这两种盒装草莓的进价、标价如下表所示：
（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒；
（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？
21．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，与相切于点C，点A，B，F均在上，且为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线），的延长线分别与相交于点E，D，连接，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．已知二次函数．
(1)二次函数图象的对称轴是______；
(2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式；
(3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
23．如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．
答案与解析
1．A
【分析】此题考查求一个数的相反数， 直接利用相反数的定义得出答案．掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
【详解】解：的相反数是：5．
故选：B．
2．D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：220 000 000 000用科学记数法表示为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
3．B
【分析】根据从上面看得到的图像是俯视图，可得答案．
【详解】俯视图如选项B所示，
故选：B
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，理解从上面看的到的视图是俯视图是解题的关键．
4．D
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方逐项判断即可得．
【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
5．A
【详解】∵∠1=∠2，
∴a∥b
∴∠3的对顶角＋∠4=180º，∠3的对顶角=∠3=125°，
∴∠4=180º-125º=55º，
故选：A
6．B
【分析】根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，91分别乘以它们的百分比，再求和即可．
【详解】解：根据题意得
即小强这学期的体育成绩是
故选：B．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题关键．
7．B
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
又快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．B
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2−4ac＝0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．
【详解】∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4ac＝4−4×（−k）＝0，且k≠0；
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
9．A
【详解】当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD=2x（0≤x≤2），
当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF==（2＜x≤4），
图象为：
故选A．
10．D
【分析】作出旋转后的图像，再根据勾股定理即可求出旋转后点A的坐标．
【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转6次则回到原位置，
∴第2025次旋转结束后，图形旋转了
如图所示，旋转后的图形为作轴于H，
∵，，
设则
在中
∵点在第三象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解此题的关键．
11．（答案不唯一）．
【分析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
【详解】大于1且小于2的无理数可以是等，
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】先分别解出两个不等式方程的解集，再合起来求出这个不等式组的解集．
【详解】解：由得：
由得：
∴解集为：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
13．##0.5
【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和，和时，灯泡能发光，画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，
（能够让灯泡发光的概率）
故答案为：
【点睛】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．
14．
【分析】如图，连接，由作图可知，是的垂直平分线，证明是等边三角形，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由作图可知，是的垂直平分线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角，勾股定理，扇形的面积等知识．正确表示阴影部分的面积是解题的关键．
15．2或5－
【分析】（1）当点P在菱形对角线AC上时，由折叠的性质得，证出，得出
（2）当点P在菱形对角线BD上时，设，由折叠的性质得，求出，从而证明，再由相似三角形的性质可得出，则AN可求.
【详解】（1）当点P在菱形对角线AC上时，如图
由折叠的性质得
∵四边形ABCD是菱形，
（2）当点P在菱形对角线BD上时，如图
设
由折叠的性质得


∵四边形ABCD是菱形，
即
解得或（不符合题意，舍去）
∴
综上所述，AN的长为2或
故答案为2或
【点睛】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定及性质，分情况讨论是解题的关键.
16．（1）；（2）
【分析】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再算加法即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
．
17．（1）5；7；80； 68.5；88，69；（2）初三年级锻炼时间在90分钟以上的同学有294人；（3）理由一：因为，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末锻炼做得更好．理由二：因为，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末锻炼做得更好．
【分析】（1）根据频数统计方法，可得出各个分组的频数，进而确定m、n的值，通过对女生数据的整理，求出极差，中位数、众数即可；
（2）求出男女生锻炼时间超过90分钟的人数所占的百分比，用1512去乘这个百分比即可；
（3）通过比较男女生的中位数、平均数得出理由．
【详解】（1）分别统计男生数据，可得在30＜x≤60组的频数m=5，在60＜x≤90组的频数n=7；
女生数据的极差a=109-29=80，将男生数据从小到大排列后，处在第9、10位的两个数的平均数为，因此中位数b=68.5，女生数据出现次数最多的是69和88，因此众数是69和88，
故答案为：57，80，68.5，69和88；
（2）据表格，可得锻炼时间在90分钟以上的男生有4人，女生有3人,（人）
答：初三年级锻炼时间在90分钟以上的同学有294人．
（3）理由一：因为，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末锻炼做得更好．
理由二：因为，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末锻炼做得更好．
【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、极差的意义和计算方法，理解各个统计量的意义，是正确计算的前提，样本估计总体是统计常用的方法．
18．m
【分析】过点作交CE于点F，解和，进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作交CE于点F，
设．
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解方程得，
安装高度，
∴该设备的安装高度为m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．正确的添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
19．(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是
(2)
(3)8
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，进而可得反比例函数解析式，然后把代入即可求得m的值，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）数形结合求解即可；
（3）求出点C的坐标，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
将代入得，，即，
将，代入得，，
解得，，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围，
∴由图象得：的解集为；
（3）解：当时，，即，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，数形结合求不等式的解集等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，数形结合求不等式的解集是解题的关键．
20．（1）品种草莓购进盒，品种草莓购进盒．（2）安排品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，可以获得最大利润元．
【分析】（1）设品种草莓购进盒，品种草莓购进盒，再利用购买的总价为元及总利润为元列方程组，再解方程组可得答案；
（2）设品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，总利润为元，再列出与的函数关系式，再求解的范围，利用一次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设品种草莓购进盒，品种草莓购进盒，则

解得：
即品种草莓购进盒，品种草莓购进盒．
（2）设品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，总利润为元，则

又由题意得：
解得：
为正整数，的最大整数为 最小整数为
＜
随的增大而减少，
当时，取最大值，最大值为：
所以安排品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，可以获得最大利润元．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握利用一次函数的性质求解最大利润是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则，再由平行线的性质可得；
（2）连接，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AB为圆O直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
即；
（2）解：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是圆O的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二次函数的性质解答即可；
（2）利用二次函数的性质和待定系数法解答即可；
（3）结合二次函数的图象，利用二次函数的性质列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】（1）∵x1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax﹣2＝a（x+1）2﹣a﹣2，
∵a＞0，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为﹣a﹣2，
当﹣2≤x≤1时，x＝1时函数有最大值3a﹣2，
∵当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为3，
∴3a﹣2﹣（﹣a﹣2）＝3，
∴a．
∴该二次函数的表达式为yx﹣2；
（3）当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，t的取值范围是：﹣3≤t≤1．理由：
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＝2与x＝﹣4时的函数值相等，
∵a＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∵当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，
∴，
解得：﹣3≤t≤1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．(1)CE⊥AB，理由见解析
(2)一致，理由见解析
(3)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论；
（2）通过证明，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）如图，延长CE交AB于H，
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
（2）在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：
如图2，延长交于H，
由旋转可得：CD=，=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∵，
∴,
，
∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DA+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
；
（3）如图3，过点D作DH于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴，
，
，
∴AD=2DH，AH=DH=，
，
由（2）可知：，
，
∵AD⊥BC，CD=，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
时间/分钟
男生
2
4
女生
1
5
9
3
极差
平均数
中位数
众数
方差
男生
77
66.7
70
617.3
女生
69.7
70.5
547.2
名称
红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
最大探测角：
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面的支架上，且
价格/品种
A品种
B品种
进价（元/盒）
45
60
标价（元/盒）
70
90