河南省郑州市中牟县东枫外国语学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

这是一份河南省郑州市中牟县东枫外国语学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年河南省郑州市中牟县东枫外国语学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（共10小题，共30分）
1．（3分）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知x＜y，下列式子不成立的是（　　）
A．x+10＜y+10 B．x+2＜y+2
C．﹣2023x＜﹣2023y D．x＜y
3．（3分）若将中的x与y都扩大2倍，则这个代数式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍
C．扩大4倍 D．缩小到原来的
4．（3分）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃（　　）

A．①② B．①④ C．②④ D．②③
5．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克（　　）
A．﹣＝0.4 B．﹣＝0.4
C．﹣＝0.4 D．﹣＝0.4
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（3分）关于x的不等式x+m≥﹣1的解集如图所示，则m等于（　　）
​

A．3 B．1 C．0 D．﹣3
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，则下列说法中正确的个数是（　　）
①若CD＝3cm，则点D到AB的距离为3cm；
②DB＝2CD；
③点D在AB的中垂线上；
④若S△ACD＝4，则S△ABC＝12．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，点C的坐标为（　　）

A．（﹣3，） B．（3，﹣） C．（﹣，1） D．（1，﹣）
二、填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）请写出一个分式，并写出使其有意义的条件 　 　．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，若AB＝3，AD＝4　 　．

13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，AE＝6cm，EC＝4cm，且　 　．

14．（3分）如图，已知函数y＝﹣x+b与函数y＝kx+7的图象交于点P（﹣2，3），则关于x的不等式﹣x+b≤kx+7的解集是 　 　．

15．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，动点N从点C出发，沿C→A→B→C的方向以2cm/s的速度运动，N同时出发，其中一点到达终点时　 　秒时，点A，M，N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形．

三、解答题（共75分）
16．（10分）（1）因式分解：（x﹣2y）2﹣x（x﹣2y）；
（2）解不等式组：．
17．（10分）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学：解：原式＝…；
乙同学：解：原式＝…．
（1）甲同学解法的依据是 　 　，乙同学解法的依据是 　 　；（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从﹣2，0，1，2中挑选一个合适的数代入求值．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕A1顺时针旋转90°后得到△A1B2C2，画出△A1B2C2，并写出顶点A1，B2，C2的坐标．

19．（10分）如图，△ABC中，点D在边AC上
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
​

20．（11分）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根
21．（12分）课本再现


思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”
已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：▱ABCD是菱形．

知识应用
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6．
求证：▱ABCD是菱形．
22．（12分）已知：△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC，∠BAC＝α，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转α，连接AE、BE．
（1）当α＝120°时，如图1，此时AD恰好平分∠EAC　 　；
（2）当α＝90°时：
①请判断线段BA，BD，BE的数量关系（提示：过点D作DF⊥BC，交AB与F）；
②若AB＝6，在点D的移动过程中，当△ADC是等腰三角形时


2023-2024学年河南省郑州市中牟县东枫外国语学校九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，共30分）
1．（3分）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念得出结论即可．
【解答】解：图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
2．（3分）已知x＜y，下列式子不成立的是（　　）
A．x+10＜y+10 B．x+2＜y+2
C．﹣2023x＜﹣2023y D．x＜y
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵x＜y，
∴x+10＜y+10，
故A不符合题意；
B、∵x＜y，
∴x+2＜y+2，
故B不符合题意；
C、∵x＜y，
∴﹣2023x＞﹣2023y，
故C符合题意；
D、∵x＜y，
∴x＜y，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（3分）若将中的x与y都扩大2倍，则这个代数式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍
C．扩大4倍 D．缩小到原来的
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：＝＝，
∴若将中的x与y都扩大2倍，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．（3分）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃（　　）

A．①② B．①④ C．②④ D．②③
【分析】只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，平行四边形的四个顶点确定了，平行四边形也就确定了．
【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，
∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是如何确定平行四边形的四个顶点．
5．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）（　　）

A． B． C． D．
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
【解答】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，
∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）＝，
故选：B．
【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
6．（3分）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克（　　）
A．﹣＝0.4 B．﹣＝0.4
C．﹣＝0.4 D．﹣＝0.4
【分析】根据第二批面粉比第一批面粉的每千克面粉价格提高了0.4元列方程即可．
【解答】解：由题意得：﹣＝3.4．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×7×（﹣8）＝m2+32＞7，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
8．（3分）关于x的不等式x+m≥﹣1的解集如图所示，则m等于（　　）
​

A．3 B．1 C．0 D．﹣3
【分析】解不等式求出x≥1﹣m，再由数轴可得x≥2，解得m＝﹣1．
【解答】解：∵x+m≥﹣1，
∴x≥﹣1﹣m，
由数轴可得x≥6，
∴﹣1﹣m＝2，即m＝﹣7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是利用数轴上的解集求出m的值．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，则下列说法中正确的个数是（　　）
①若CD＝3cm，则点D到AB的距离为3cm；
②DB＝2CD；
③点D在AB的中垂线上；
④若S△ACD＝4，则S△ABC＝12．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据题意可知AD为∠BAC的角平分线，D到AB的距离和CD相等也是3cm；②过D作DE⊥AB于E，在Rt△BDE中，∠B＝30°所以BD＝2DE＝2CD；③∠B＝∠BAD＝30°，△ABD为等腰三角形，可得到结论；④可证△ACD≌△ADE≌△BED，得到对应结论．
【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分，故①正确．
②如图，过D作DE⊥AB于E，

在Rt△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE，
又∵AD是角平分线，
∴CD＝DE，
∴DB＝2CD，
故②正确；
③∵∠6＝∠B＝30°，
∴AD＝BD．
∴点D在AB的中垂线上．故③正确．
④∵如图，在Rt△ACD和Rt△ADE中，
CD＝DE，AD为公共边，
在等腰三角形ABD中，DE为中垂线，
∴△ACD≌△ADE≌△BED，
∴S△ABC＝3S△ACD＝12，
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④．
故选：D．
【点评】此题考查的是作图﹣基本作图，角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是求解的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，点C的坐标为（　　）

A．（﹣3，） B．（3，﹣） C．（﹣，1） D．（1，﹣）
【分析】连接OB，过点C作CP⊥OA，垂足为P，通过证得△AOB≌△COB（SSS），得出，通过解直角三角形得到点C的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位㨁相同，从而得出第2023次旋转结束时，点C的坐标为．
【解答】解：连接OB，过点C作CP⊥OA，如图所示，
∵AB＝CB＝2，OA＝OC，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴，
在Rt△AOB中，AB＝2，
∴，
∴，
在Rt△COP中，，
∴，
∴点C的坐标为，
∵每次旋转90°，360°÷90°＝4，
∴每旋转4次为一个循环．
∵2023÷4＝505⋅⋅⋅3，
∴第2023次旋转结束时点C的位置和第7次旋转结束时点C的位㨁相同，
∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故选：B．

【点评】本题考查图形的旋转，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后C点的位置是解题的关键．
二、填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）请写出一个分式，并写出使其有意义的条件 　（x≠0）（答案不唯一）　．
【分析】写出一个分式，注明有意义的条件即可．
【解答】解：分式：（x≠0）．
故答案为：（x≠0）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，若AB＝3，AD＝4　2　．

【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝8，
∴AF＝DE
∵AD＝4，
∴AF＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣5﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，AE＝6cm，EC＝4cm，且　cm　．

【分析】利用比例线段得到＝，然后根据比例性质求AD．
【解答】解：∵＝，即＝，
∴＝＝，
∴AD＝．
故答案为：cm．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了比例的性质．
14．（3分）如图，已知函数y＝﹣x+b与函数y＝kx+7的图象交于点P（﹣2，3），则关于x的不等式﹣x+b≤kx+7的解集是 　x≥﹣2　．

【分析】利用函数图象，写出直线y＝﹣x+b在直线y＝kx+7下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：根据图象得当x≥﹣2时，﹣x+b≤kx+7．
故答案为：x≥﹣7．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，动点N从点C出发，沿C→A→B→C的方向以2cm/s的速度运动，N同时出发，其中一点到达终点时　2或6　秒时，点A，M，N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形．

【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解．
【解答】解：①当0≤t≤时，点M、N

∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM＝AN，DM∥AN，
∴∠MDB＝∠C＝60°，∠NDC＝∠B＝60°，
∴∠NDC＝∠C，
∴ND＝NC，
∴DM+DN＝AN+NC＝AC＝10，
即：2t+2t＝10，
∴t＝2；
②当＜t≤5时、M、N三点在同一直线上；
③5＜t≤时，点M、N

∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN＝AM，AM∥DN，
∴∠NDB＝∠ACB＝60°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠NDB＝∠B，
∴ND＝NB，
∴NB+MC＝AM+CM＝10，3t﹣10+2t﹣10＝10，
解得：t＝5，
④当＜t≤10时、N、D的位置如图3所示：

则BN＝20﹣8t，BM＝30﹣3t，
由题意可知：△BNM为等边三角形，
∴BN＝BM，即：20﹣2t＝30﹣5t，此时M，不能构成平行四边形．
综上所述：t的值为2或6，
故答案为：2或6．
【点评】本题是考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．（10分）（1）因式分解：（x﹣2y）2﹣x（x﹣2y）；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用提取公因式法分解；
（2）先解不等式组中的不等式，再通过数轴或口诀确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣2y）（x﹣2y﹣x）
＝﹣7y（x﹣2y）；
（2），
解不等式①得x＞1，
解不等式②得x＜2，
∴原不等式组得解集为2＜x＜2．
【点评】本题考查了因式分解、一元一次不等式组，掌握因式分解的提公因式法、解一元一次不等式组的一般步骤是解决本题的关键．
17．（10分）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学：解：原式＝…；
乙同学：解：原式＝…．
（1）甲同学解法的依据是 　②　，乙同学解法的依据是 　③　；（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从﹣2，0，1，2中挑选一个合适的数代入求值．
【分析】（1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答；
（2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，即可解答，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
（2）若选择甲同学的解法，
原式＝
＝•
＝
＝2x；
若选择乙同学的解法，
原式＝
＝•+•
＝x﹣7+x+1
＝2x；
∵x≠4，x+1≠0，
∴x≠5，x≠﹣1，
∴当x＝2时，原式＝4×2＝4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕A1顺时针旋转90°后得到△A1B2C2，画出△A1B2C2，并写出顶点A1，B2，C2的坐标．

【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B1、C1的对应点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C7为所作；
（2）如图，△A1B2C6为所作；A1（﹣3，3），B2（﹣2，﹣4），C2（0，5）．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
19．（10分）如图，△ABC中，点D在边AC上
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
​

【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明△BAE≌△DAE（SAS），即可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴DE＝BE．
【点评】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
20．（11分）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根
【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+3）元，由题意：用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买毽子m个，则购买跳绳（600﹣m）个，由题意：跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，列出一元一次不等式组，解之得m的取值范围，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，再由总价＝单价×数量可得出w关于m的函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+3）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝5是原方程的解，
∴x+3＝3．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
（2）设购买毽子m个，则购买跳绳（600﹣m）个，
依题意，得：，
解得：140≤m≤150，
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，
则w＝8×0.2（600﹣m）+5×0.5m＝﹣2.9m+3840，
∵﹣8.9＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝150时，w取得最小值，
则600﹣150＝450，
答：当学校购买450个跳绳，150个毽子时．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21．（12分）课本再现


思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”
已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：▱ABCD是菱形．

知识应用
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6．
求证：▱ABCD是菱形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件判定AC是BD的垂直平分线，推出AB＝AD后利用菱形的定义即可判定▱ABCD是菱形；
（2）根据平行四边形的性质求出AO、DO的长，然后根据勾股定理逆定理判定∠AOD，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形．”即可得证．
【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
又∵BD⊥AC，垂足为O，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形．
（2）∵▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD＝6，
∴AO＝CO＝AC＝4BD＝3，
又∵AD＝5，
在三角形AOD中，AD7＝AO2+DO2，
∴∠AOD＝90°，
即BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形．
【点评】本题主要考查菱形的判定与性质，深入理解题意是解决问题的关键．
22．（12分）已知：△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC，∠BAC＝α，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转α，连接AE、BE．
（1）当α＝120°时，如图1，此时AD恰好平分∠EAC　AE＝AC　；
（2）当α＝90°时：
①请判断线段BA，BD，BE的数量关系（提示：过点D作DF⊥BC，交AB与F）；
②若AB＝6，在点D的移动过程中，当△ADC是等腰三角形时

【分析】（1）证明△ADE≌△ADC（AAS），可得AE＝AC；
（2）①过点D作DF⊥BC，交AB与F，可得△BDF是等腰直角三角形，BF＝BD，BD＝FD，再证△BDE≌△FDA（SAS），即可得AB＝BD+BE；
②分三种情况：AD＝AC时，S△ABE＝×6×6＝18；当AC＝CD时，可得BD＝BC﹣CD＝6﹣6，而AB＝BD+BE，可得BE＝AB﹣BD＝6﹣（6﹣6）＝6﹣6，△BDE≌△FDA，可证∠ABE＝∠DBE﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°，故S△ABE＝BE•AB＝×（6﹣6）×6＝18﹣18；当AD＝CD时，△ABE不存在，不符合题意．
【解答】解：（1）如图：

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝30°，
∵将线段AD绕点D逆时针旋转120°，使点A落在点E处，
∴AD＝ED，∠ADE＝120°，
∴∠E＝30°＝∠C，
∵AD恰好平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴AE＝AC；
故答案为：AE＝AC；
（2）①过点D作DF⊥BC，交AB与F

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝BD，
∵∠ADE＝∠BDF＝90°，
∴∠BDE＝∠FDA，
由旋转可得DE＝DA，
∴△BDE≌△FDA（SAS），
∴BE＝AF，
∵AB＝BF+AF，
∴AB＝BD+BE；
②当D与B重合时，此时AD＝AC，

∵AB＝3，
∴BE＝AD＝6，
∵∠ADE＝90°，
∴S△ABE＝×6×6＝18；
当AC＝CD时，如图：

∵AB＝3＝AC＝CD，
∴BC＝AB＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2，
由①可知，AB＝，
∴BE＝AB﹣BD＝7﹣﹣4）＝6，
同①可得△BDE≌△FDA，
∴∠DBE＝∠DFA＝135°，
∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°，
∴S△ABE＝BE•AB＝﹣6）×7＝18；
当AD＝CD时，如图：

此时△ABE不存在，不符合题意；
综上所述，△ABE的面积为18或18．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，分类讨论思想的应用等，解题的关键是掌握旋转的性质．
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