河南省郑州市郑州中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省郑州市郑州中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图，是一根空心方管，则它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子底端A到墙面的距离为6米，若梯子与地面的夹角为α，则梯子的长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
3．在△ABC中，D．E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（ ）
A．8B．12C．16D．20
4．如图，在中，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．对于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
①随着的增大而增大；②图象在第二、四象限；③若，则；④图象是中心对称图形，不是轴对称图形
A．①④B．②③C．①③D．②④
6．要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．计划安排28场比赛，设应邀请x个队参赛，则根据题意可列出方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（ ）
A．比开始高0.8mB．比开始高0.4m
C．比开始低0.8mD．比开始低0.4m
8．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为（ ）
A．x1＝﹣7，x2＝3B．x1＝﹣6，x2＝4C．x1＝6，x2＝﹣4D．x1＝7，x2＝﹣3
9．如图，在菱形中，，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是边长为4的等边的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿折线向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿向点C运动，当点P到达终点时，点Q同时停止运动．设运动时间为四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知，则＝_____．
12．在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为______________m．
13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是______．
14．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度为，水面宽为，则输水管的半径为______．
三、解答题
15．如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，其中点A（2，0），点C（0，4），点D和点E分别位于线段AC，AB上，将△ABC沿DE对折，恰好能使点A与点C重合．若x轴上有一点P，能使△AEP为等腰三角形，则点P的坐标为_____．
16．（1）计算：
（2）解方程
17．2022年3月23日．“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数直方图中，所抽取学生成绩的中位数落在 组；
(2)补全学生成绩频数直方图：
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
(4)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
18．如图，山坡上有一棵竖直的树，坡面上点D处放置高度为的测倾器，侧倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即），此时测得树顶部A的仰角为．已知山坡的坡度（即坡面上点B处的铅直高度与水平宽度的比），求树的高度．（结果精确到，参考数据：，，）
19．已知，如图，在中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点D作的平行线，两线相交于点P．
（1）当四边形是矩形时，证明四边形是菱形；
（2）当四边形是菱形时，且．求点O到点P的距离．
20．已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
(3)在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：．
21．如图，抛物线与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于点A、B，且，点G为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)点M、N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和4个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（不含点M、N）的一个动点，直接写出点Q的纵坐标的取值范围．
22．问题，我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的呢？
【探索】
(1)该函数的自变量的取值范围为______；
(2)描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值；
②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．
【应用】
观察你所画的图象，解答下列问题：
(3)若点，为该函数图象上不同的两点，则______；
(4)直接写出当时，x的取值范围为______．
23．（1）观察猜想：
如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．
（2）类比探究：
如图3，当，时，请求出的值及的度数．
（3）拓展应用：
如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．
x
…
0
1
2
4
5
6
7
…
y
…
2
3
6
6
3
2
…
参考答案：
1．C
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左面看，是一个矩形，矩形内部有两条横向的虚线，
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
2．D
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，米，
则米，
故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．
3．C
【详解】试题分析：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ADE的面积为4，∴，∴S△ABC=16．故选C．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．
4．A
【分析】根据可得，根据三角形内角和等于可得，再利用同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得的度数．
【详解】解： ，，
,
,
．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和以及圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何知识并能灵活运用．
5．B
【分析】根据反比例函数的性质可进行排除选项．
【详解】解：A、，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，此选项不正确；
B、，图象在第二、四象限，此选项正确；
C、当时，，所以若，则，此选项正确；
D、图象是中心对称图形，是轴对称图形，此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：由题意可得，有x个队参赛，则每个队参加场比赛，且两队之间只有1场比赛，
∴方程为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．
7．A
【分析】根据二次函数的图象具有对称性即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，
运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样，
运动员出手的位置距地面的高度为，
，
要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解答．
8．D
【分析】抛物线的对称轴为，再根据两个交点之间的距离为10，求出交点，即可求解．
【详解】解：∵，∴
由题意可得：抛物线的对称轴为，
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10
∴交点坐标分别为，
根据二次函数与一元二次方程的关系可得：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为，
故选D
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数的性质，理解二次函数与一元二次方程的关系，并掌握二次函数的有关性质是解题的关键．
9．B
【分析】由作图可知AE垂直平分CD，则∠AED=90°，DE=CE，在Rt△AED中，可得∠DAE=30°，由勾股定理得AE=，由菱形的性质可求得∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理即可求出BE的长．
【详解】解：由作图可知AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，DE=CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=AB=4，DE=CD=2，
在Rt△AED中，DE=AD，
∴∠DAE=30°，AE==，
∴∠D=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°，
在Rt△ABE中，
BE===．
故选B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，根据菱形的性质和线段垂直平分线的性质证得∠BAE=90°是解决此题的关键．
10．C
【分析】分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，点P在AD上，根据三角形的面积公式可知△BPQ的面积，代入数据求出S与t之间的函数解析式；②当2＜t≤4时，点P在DE上，根据图形的面积公式可知梯形BDPQ的面积，代入数据求出S与t之间的函数解析式，从而判断出函数图象而得解．
【详解】解：∵DE是边长为4的等边△ABC的中位线，
∴AD=DB=DE=2，AB=4，∠B=60°．
分两种情况：①当0＜t≤2时，点P在AD上，
∵AP=BQ=t，
∴BP=AB-AP=4-t，BQ边上的高h=
∴△BPQ的面积S=BQ•h=t•=；
②当2＜t≤4时，点P在DE上，
∴DP=t-2，BQ=t，BQ边上的高h=
∴梯形BDPQ的面积=（DP+BQ）•h=（t-2+t）×=t-；
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了等边三角形的性质，解直角三角形，分两段得到由B、D、P、Q四点围成的图形面积并求出相应的函数关系式是解题的关键．
11．
【分析】根据比例的基本性质变形计算即可；
【详解】∵，
∴，
∴原式．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确分析计算是解题的关键．
12．15
【详解】解：根据同时同地物高与影长成正比．
设旗杆高度为x米，
由题意得，，
解得x=15．
故答案为15．
13．且
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式时方程有两个实数根，可求得a的取值范围．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解决本题的关键是理解相关概念，熟记判别式与根的关系．
14．10
【分析】由垂径定理可知，设，则，根据勾股定理计算即可；
【详解】由图可知：，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：．
∴该输水管的半径为．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理，准确计算是解题的关键．
15．（﹣，0）或（，0）
【分析】由矩形的性质可得BC＝2＝OA，AB＝OC＝4，∠B＝90°＝∠OAE，由折叠的性质可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：∵矩形OABC，且点A（2，0），点C（0，4），
∴BC＝2＝OA，AB＝OC＝4，∠B＝90°＝∠OAE，
∵将沿DE对折，恰好能使点A与点C重合．
∴AE＝CE，
∴
在中：
∵CE2＝BC2+BE2，
∴CE2＝4+（4﹣CE）2，
∴CE＝，
∴AE＝，
∵为等腰三角形，且∠EAP＝90°，
∴AE＝AP＝，
又∵
∴点P坐标，或
故答案为：（﹣，0）或（，0）
【点睛】本题考查矩形中的折叠问题、等腰三角形的定义、矩形的性质等，根据题意数形结合是解题关键．
16．（1）；（2）
【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可；
（2）根据因式分解法—提公因式法求解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算和一元二次方程的解法，熟记特殊角的三角函数值与掌握因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
17．(1)400 名，D
(2)见解析
(3)1680人
(4)见解析，
【分析】（1）用C组的人数除以C组所占的百分比可得总人数，再用总人数乘以B组所占的百分比，可求出m，从而得到第200位和201位数落在D组，即可求解；
（2）求出E租的人数，即可求解；
（3）用学校总人数乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解；
（4）根据题意，画树状图，可得共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：名，
所以本次调查一天随机抽取 400 名学生的成绩，
频数直方图中，
∴第200位和201位数落在D组，
即所抽取学生成绩的中位数落在D组；
故答案为：400，D
（2）解：E组的人数为名，
补全学生成绩频数直方图如下图：
（3）解：该校成绩优秀的学生有（人）；
（4）解：根据题意，画树状图如图，
共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，
恰好抽中一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查了频数直方图和扇形统计图，用样本估计总体，利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
18．
【分析】由可得从而可得，进而求得，再由锐角三角函数定义即可求解．
【详解】解：山坡的坡度，
，
，
，
，
，
在中，
，
．
即树的高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和坡度坡角定义，求出的长是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）10．
【分析】（1）先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据矩形的判定与性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】证明：（1），
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形；
（2）如图，连接，
四边形是菱形，且，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，
则在中，，
即点到的距离为10．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．
20．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据A、B坐标证明，得到，，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明．
【详解】（1）∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
（2）∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得4=1+b，
解得．
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点．
∵在反比例函数的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，
∴．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
21．(1)；
(2)或
【分析】（1）由可得，将A点代入，可求得c的值，即求得了抛物线解析式，再根据顶点坐标公式求得G点坐标；
（2）由M、N到对称轴的距离分别为3个单位长度和4个单位长度，可找到点M、N的横坐标，即可求得点M、N的坐标，再根据点M在点N的左侧分类讨论的取值范围．
【详解】（1）解：由题可得B点坐标为，，
，
，
将A点代入，得，
解得或，
抛物线与y轴负半轴相交于点B，
，
，
；
（2）解：M到对称轴的距离为3个单位，
或，
或，
点N到对称轴的距离为4个单位，
或，
或，
若，，
则，
若，，
则．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标公式以及求二次函数的函数值的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能利用分类讨论的思想解决数学问题．
22．(1)
(2)见解析
(3)0
(4)或或
【分析】（1）由分母不为0可求得自变量的取值范围；
（2）根据图中描出的点，用平滑的曲线顺次连接即可；
（3）由图可得，函数的图象关于y轴对称，再由A、B点的纵坐标可得A、B两点关于y轴对称，即可求得结果；
（4）观察图象，找到函数图象在直线上方时，x的取值范围即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；
（2）解：作图如图所示；
（3）解：由图可得，函数的图象关于y轴对称，
点， ，
A、B两点关于y轴对称，
，
故答案为：0；
（4）解：由图可得，x的取值范围为：或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了新函数的图象和性质的研究，属于创新探究题型，正确作出图象，会观察图象的特征是解决本题的关键．
23．（1），45°；（2），30°；（3）2
【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°；
（2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°；
（3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD=
DM=2．
【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，
∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形，
∴，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∆BAD~∆CAE，
∴，∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB=∠FGC，
∴∠BFC=∠BAC=45°，
故答案是：，45°；
（2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，
∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，
∴，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∆BAD~∆CAE，
∴，∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB=∠FGC，
∴∠BFC=∠BAC=30°；
（3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∆ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAM=45°，，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM，
∴∆BAD~∆CAM，
∴∠ABD=∠ACM，，
又∵BD=6，
∴CM==3，
∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90°
∴∠ABD+∠BCD=180°，
∴∠ACM+∠BCD=180°，
∴∠DCM=90°，
∴DM=，
∴AD=DM=2，
即A，D两点之间的距离是2．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．