2022-2023学年江苏省连云港市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省连云港市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一组数据，，，，的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，转盘中的各个扇形面积相等，任意转动转盘次，指针落在阴影区域的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  将二次函数的图象向上平移个单位，则平移后图象的函数表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一个扇形的半径是，面积为，那么这个扇形的圆心角是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高单位：的平均数与方差为：，，，则麦苗又高又整齐的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.  下列哪一个函数，其图形与轴有两个交点(    )

A.  B.
C.  D.

7.  一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中可以取的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，已知点、，其中，则下列函数的图象可能同时经过、两点的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  写出有一个实数根是的一元二次方程：______ ．

10.  如图，、、为上三点，若，则度数为______

11.  已知二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围为______ ．

12.  一个圆锥的侧面积为，底面圆半径为，则该圆锥的母线长为           ．

13.  如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点若，则度数为______

14.  以正五边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为______

15.  一种药品经过两次降价，药价从原来每盒元降至现在的元，则平均每次降价的百分率是______

16.  学校航模组设计制作的火箭升空高度与飞行时间满足函数表达式如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面______ 处打开．

17.  如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为______ ．

18.  如图，在中，，，为边上的一个动点，连接，以为直径作圆交于点，连接，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：
；
．

20.  本小题分
妈妈有白色、红色、灰色裙子各一条，有白色、灰色帽子各一顶，妈妈任意取出一条裙子和一顶帽子，请回答下列问题．
妈妈取出红色裙子的概率为______ ．
用画树状图或列表的方法求妈妈取出裙子和帽子恰好同色的概率．

21.  本小题分
为了解本学期全校学生阅读课外书的情况，第一次随机抽查名学生阅读课外书的册数，情况统计如表，请回答下列问题．

______ ；
第一次抽查中，人均读书______ 册，阅读课外书册数的中位数是______ 册；
第二次又随机抽查了几位同学，其中最少的读了册，将其与第一次抽查的数据合并后，发现阅读课外书册数的中位数没发生改变，则第二次最多抽查了______ 人

22.  本小题分
一个两位数，个位数字比十位数字大，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？

23.  本小题分
如图，直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为．
求证：为的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
已知二次函数的图象经过点，．
求二次函数的表达式；
点为二次函数图象上一点，点在轴正半轴上，将线段绕点逆时针旋转得到，点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标．

25.  本小题分
某养殖户利用一段围墙围墙足够长为一边，用总长为的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为．
______ ；
求与之间的函数关系式；
当为何值时，有最大值？最大值是多少？

26.  本小题分
某数学兴趣小组研究函数的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当时，；当时，然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图所示类似的，研究函数的图象时，他们已经画出了时的图象．

请你用描点法补全此函数的图象；
根据图象，直接写出当为何值时，随着的增大而减小？
当时，的最大值是，最小值是，请你直接写出的取值范围．

27.  本小题分
如图，是等边三角形的外接圆，过点作的垂线交于点．

若点是劣弧上一点不与点、重合，直线、交于点，连接，求证：平分；
在条件下，将绕点顺时针旋转得到线段．
若，求证：点落在射线上；
若，求线段与线段的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：这组数据中出现的次数最多，所以众数为．
故选：．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，众数就是这多个数据．

2.【答案】 

【解析】解：圆被等分成份，其中阴影部分占份，
指针落在阴影部分的概率为．
故选：．
首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在阴影部分的概率．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．

3.【答案】 

【解析】解：向上平移个单位得．
故选：．
根据二次函数图象的平移规律：“上加下减”进行解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，知道抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：设这个扇形的圆心角是，
由题意得，
，
这个扇形的圆心角为度．
故选：．
设这个扇形的圆心角是，根据，求出这个扇形的圆心角为多少即可．
此题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则．

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
，，
，
甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
麦苗又高又整齐的是丁．
故选：．
根据，，可得乙、丁的麦苗比甲、丙要高，再由，，可得甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，即可求解．
本题考查了方差和平均数的知识，掌握方差越小，越稳定是关键．

6.【答案】 

【解析】解：、，抛物线开口向上，顶点坐标为时与轴没有交点；
B、，抛物线开口向上，顶点坐标为时与轴没有交点；
C、，抛物线开口向下，顶点坐标为时与轴没有交点；
D、，抛物线开口向下，顶点坐标为时与轴有两交点．
故选D．
利用函数图形与轴有两个交点看图象的顶点坐标性质．
判断函数图形与轴的交点个数时可以根据系数的大小及顶点坐标来判断．

7.【答案】 

【解析】解：当时，方程为，解得不是整数，故A选项不符合题意；
当时，方程为，解得不是整数，故B选项不符合题意；
当时，方程为，解得或是整数，故C选项符合题意；
当时，方程为，解得不是整数，故D选项不符合题意；
解法二：，
由选项可知，，符合题意．
故选：．
分别代入数值解方程，逐一判断即可解题．
本题考查一元二次方程的整数根与有理根，解题的关键是利用特殊值法解决问题．

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
当时，随的增大而减小，
A、中，随的增大而增大，故A不可能；
B、中，开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大故B不可能；
C、中，，随的增大而增大，故C不可能；
D、中，开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故D有可能，
故选：．
根据一次函数的性质，二次函数的性质判断即可．
本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：要使一元二次方程的一个根是，
则此方程满足的形式，
当时，方程为：
．
故本题的答案可以是：．
本题是一道开放型题，答案不唯一，含有因式的一元二次方程都有一个根是．
本题考查的是一元二次方程的解，有一个根是的一元二次方程有无数个，写出一个就行．

10.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得的度数．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴有两个公共点，
，
即：，
解得：，
故答案为：．
当时，二次函数的图象与轴有两个公共点，解不等式即可得到的取值范围．
此题考查了抛物线与轴的交点，掌握当时，二次函数的图象与轴有两个公共点是解决问题的关键．

12.【答案】 

【解析】【分析】
设该圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面积公式得到方程，然后解方程即可求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【解答】
解：设该圆锥的母线长为，
根据题意得：，
解得，
即该圆锥的母线长是．
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】解：连接．
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据求出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出的度数是解此题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：正五边形的每一个外角都是，
将正五边形的点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转，可使得新五边形的顶点第一次落在直线上，
正五边形旋转的度数至少为，
故答案为：．
求出正五边形的外角即可．
本题主要考查了正多边形的外角及旋转的性质，明确任何正多边形的外角和是，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等，是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价的百分率是，则第二次降价后的价格为元，
根据题意得：，
即，
解得，舍去，．
所以平均每次降价的百分率是，即．
故答案为：
本题可设平均每次降价的百分率是，则第一次降价后药价为元，第二次在元的基础之又降低，变为即元，进而可列出方程，求出答案．
此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．

16.【答案】 

【解析】解：
，
点火升空的最高点距地面，
故答案为：．
把二次函数配方为顶点式，写出最大值解题即可．
本题考查二次函数的最值，运用配方法配成顶点式是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，
当的值最小时，的值最大，
时，最小，此时、两点重合，
，
即的最大值为，
故答案为：．
根据勾股定理求出，利用垂线段最短得到当时，最小，根据垂径定理计算即可．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：连接，取的中点，连接，，如图：

在中，，，
，
由勾股定理得：，
为的直径，
，
，
在中，为斜边上的中线，
，
根据“两点之间线段最短”得：，
，
即：．
的最小值为．
故答案为：．
连接，取的中点，连接，，现在中利用勾股定理求出，再证，利用直角三角形的性质得，然后根据“两点之间线段最短”得；，据此即可得出的最小值．
此题主要考查了圆周角，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，理解两点之间线段最短是解答此题的关键．

19.【答案】解：，
，
即；．
，
，
，
即． 

【解析】直接开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
移项，再因式分解，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．

20.【答案】 

【解析】解：妈妈取出红色裙子的概率为，
故答案为：；

列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中妈妈取出裙子和帽子恰好同色的有种结果，
所以妈妈取出裙子和帽子恰好同色的概率为．
直接根据概率公式求解可得答案；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数，再找出其中某一事件所出现的可能数，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率．

21.【答案】      

【解析】解：，
故答案为：；
第一次抽查中，人均读书，
中位数是，
故答案为：；
册和册的人数和为，中位数没有改变，
总人数不能超过，
第二次最多抽查了人．
故答案为：．
用总人数减去已知人数即可；
根据平均数和中位数的定义计算即可；
根据中位数的定义可判断总人数不能超过，从而得到最多补查的人数．
本题考查了平均数、中位数的计算，掌握平均数、中位数的概念是关键．

22.【答案】解：设个位数字为，那么十位数字是，这个两位数是，
依题意得：，
，
，，
或．
答：这个两位数是或． 

【解析】设个位数字为，那么十位数字是，这个两位数是，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可．
此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

23.【答案】证明：连接．
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是切线；

解：是直径，
，
，
，
． 

【解析】连接，证明即可；
证明，解直角三角形求出即可．
本题考查切线的判定，平行线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

24.【答案】解：二次函数的图象经过点，，
，
解得：，
二次函数的表达式为；
过点作轴于点，轴于点，如图，

线段绕点逆时针旋转得到，点恰好落在轴正半轴上，
，
．
作轴，轴，，
四边形为矩形，
，
，
．
在和中，
，
≌，
．
点的横纵坐标相等，
设，
点为二次函数图象上一点，
，
解得：，
点的坐标为． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
过点作轴于点，轴于点，利用全等三角形的判定与性质求得点的横纵坐标相等，设，代入二次函数的解析式，得到关于的方程，解方程即可得出结论
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标的特征表示出相应线段的长度是解题的关键．

25.【答案】 

【解析】解：三块矩形区域的面积相等，
矩形面积是矩形面积的倍，
，
，
故答案为：；
三块矩形区域的面积相等，
矩形面积是矩形面积的倍，
，
设，则，
，即，
，，
，
，
，
；
，且二次项系数为，
当时，有最大值，最大值是．
根据三个矩形面积相等，得到矩形面积是矩形面积的倍，故AE，从而可得答案；
设，则，可知，有，，即得；
由二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

26.【答案】解：当时，
，
当时，，当时，，当时，，
补全此函数的图象如下：

根据图象，当时，随着的增大而减小；
当时，，
解得或舍去，
的取值范围为． 

【解析】当时，得解析式为，即可补全此函数的图象；
根据函数图象，可以直接写出随的增大而减小时的取值范围；
当时，，解得，根据图象可得的取值范围．
本题考查函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

27.【答案】证明：如图，

是等边三角形，
，
，，
，
平分；
证明：如图，设直线交射线于点，

由旋转的性质得：，，
，
，
即，
，，
≌，
，
，
点与重合，
点落在射线上；
解：，理由如下：
如图，连接，设与交于点，

，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
垂直平分，
，
过作于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
． 

【解析】由等边三角形的性质得，再由圆周角定理得，，则，即可得出结论；
由旋转的性质得，，再证≌，得，则，点与重合，即可得出结论；
连接，证垂直平分，则，过作于点，再由含角的直角三角形的性质得，则，然后证≌，得，则是等腰直角三角形，得，即可解决问题．
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．