2022-2023学年吉林省长春市净月区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年吉林省长春市净月区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.式子 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥0B. x<0C. x≤2D. x≥2
2.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=55∘，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )
A. 15∘
B. 25∘
C. 35∘
D. 45∘
3.如图，在△ABC中，DE//BC，ADBD=2，若AE=6，则EC的值为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 9
4.若3a=2b，则ab=( )
A. 32B. −32C. 23D. −23
5.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=4，BC=3，则sin∠B的值为( )
A. 74B. 45C. 34D. 75
6.南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为( )
A. x2−60x−864=0B. x(x+60)=864
C. x2−60x+864=0D. x(x+30)=864
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是( )
A. x>−3
B. −3C. x<−3或x>1
D. x<1
8.如图，△ABC中，∠B=60∘，AB=6，BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9. 125=______.
10.若关于x的方程x2−4x+k−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______.
11.已知A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(5,y3)都在二次函数y=−x2+2x+k的图象上，则y1、y2、y3从小到大排序为______.
12.制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是______元．
13.如图，已知线段AB和线段CD是第一象限内以原点O为位似中心的位似图形，A点坐标为(8,12)，C点坐标(2,3)，则线段AB和线段CD的数量关系为______.
14.如图，把抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(−6,0)和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.计算： 2+2sin45∘+3tan30∘− 12.
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解方程：x2−7x+5=0.
17.(本小题6分)
一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13.
(1)求n的值；
(2)所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
18.(本小题7分)
某校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？
19.(本小题7分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点成为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，按下列要求作图．
(1)在图①中，在AC上找一点D，使S△ABD=S△BCD；
(2)在图②中，在AC上找一点E，使S△ABE：S△BCE=2：3；
(3)在图③中，在△ABC内部找一点F，使S△ACF：S△ABF：S△BCF=4：3：3.
20.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)连接AE，当△ABE为直角三角形时，AB=8，AD=6 3，AF=4 3，sin∠ABE=______.
21.(本小题8分)
图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条，AB=AC=50cm，∠ABC=47∘.
(1)求车位锁的底盒长BC；
(2)若一辆汽车的底盘高度为35cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？通过计算说明理由．(参考数据：sin47∘≈0.73，cs47∘≈0.68，tan47∘≈1.07)
22.(本小题8分)
【感知】如图1，正方形ABCD，AB=2 5，O是BC中点，点E为正方形内一点，且OE=2，连接AE、DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90∘得到EF，连接CF.
易证△AED≌△CFD(无需证明).
【探究】如图2，若将正方形ABCD变为矩形ABCD，AD=2AB=4 5，O是BC中点，点E为正方形内的一点，且OE=2，连接AE、DE，作DF⊥DE，且DF=12DE，连接CF.
求证：△AED∽△CFD.
【应用】如图2，在探究的结论下，直接写出点F到CD的最短距离d=______.
23.(本小题10分)
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−1,0)，(0,3)，(1,4).
(1)求二次函数的解析式；
(2)当−1≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值；
(3)当−1≤x≤m时，函数y的取值范围为0≤y≤4，求m的取值范围；
(4)点M的坐标为(n,2)，点N的坐标为(n+4,2)，若线段MN与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
24.(本小题12分)
在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是线段BD上的一个动点(不与点B、D重合)，过点P作PE⊥BD，交射线DC于E，连接BE.
(1)矩形对角线BD的长______；
(2)当点E与点C重合时，求DP的长；
(3)当直线BE与直线AD交于点F时，设PD=x，AF=y.
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②如果△BPE与△BAF相似，直接写出BP的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：依题意得
x−2≥0，
∴x≥2.
故选：D.
由二次根式的性质可以得到x−2≥0，由此即可求解．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出CD=BD，进而得到∠B=∠DCB=55∘，再根据∠ACB=90∘，即可得出∠ACD的度数．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，了解在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是本题的解题关键．
【解答】
解：∵△ABC中，∠ACB=90∘，点D是斜边AB的中点，
∴CD=BD=12AB，
∴∠B=∠DCB=55∘，
又∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=90∘−55∘=35∘，
故选C.
3.【答案】A
【解析】解：∵DE//BC，ADBD=2，
∴AEEC=ADBD=2，
∵AE=6，
∴6EC=2，
∴EC=3.
故选：A.
根据平行线分线段成比例定理即可求解．
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据性质得到对应线段成比例是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵3a=2b，
∴ab=23，
故选：C.
由比例的性质：内项之积等于外项之积，即可求解．
本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图：
∵∠C=90∘，AB=4，BC=3，
∴AC= 42−32= 7，
∴sin∠B= 74，
故选：A.
首先画出图形，然后再利用勾股定理计算出AC的长，再利用三角函数定义计算出sin∠B的值即可．
此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．
6.【答案】C
【解析】解：∵矩形田地的长为x步，矩形田地的长与宽的和是60步，
∴矩形田地的宽为(60−x)步．
依题意得：x(60−x)=864，
整理得：x2−60x+864=0.
故选：C.
由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为(60−x)步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，经过(−3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0).
∵抛物线在x轴的上方部分y>0，
∴当y>0时，x的取值范围是−3故选：B.
利用抛物线的对称性求得二次函数与x轴的另一个交点的坐标，结合图形中在x轴上方部分对应的x值即可得出结论．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标和利用数形结合的方法解答是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、∵∠C=∠C，∠DEC=∠B=60∘，
∴△DEC∽△ABC，
故A不符合题意；
B、∵∠C=∠C，∠CDE=∠B，
∴△CDE∽△CBA，
故B不符合题意；
C、由图形可知，BE=AB−AE=6−2=4，
BD=BC−CD=8−5=3，
∵BEBC=48=12，BDAB=36=12，
∴BEBC=BDAB，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，
故D符合题意，
故选：D.
根据相似三角形的判定逐一判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】15
【解析】解：∵152=125，
∴ 125=15，
故答案为：15.
根据算术平方根的定义即可求解．
本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
10.【答案】k<5
【解析】解：根据题意得△=(−4)2−4(k−1)>0，
解得k<5.
故答案为k<5.
根据判别式的意义得到△=(−4)2−4(k−1)>0，然后解一元一次不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．
11.【答案】y3【解析】解：∵y=−x2+2x+k=−(x−1)2+1+k，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∵a=−1<0，
∴x<−1时，y随x的增大而增大，
∵C(5,y3)的对称点为(−3,y3)，且−3<−2<−1<0，
∴y3故答案为：y3求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
12.【答案】1080
【解析】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9=1080(元).
故答案为：1080.
直接利用相似多边形的性质进而得出答案．
此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出多边形面积比是解题关键．
13.【答案】AB=4CD
【解析】解：∵线段AB和线段CD是第一象限内以原点O为位似中心的位似图形，A点坐标为(8,12)，C点坐标(2,3)，
∴线段AB和线段CD的相似比为4：1，
∴AB=4CD，
故答案为：AB=4CD.
根据点A、点B的坐标求出线段AB和线段CD的相似比，进而求出线段AB和线段CD的数量关系．
本题考查的是位似变换，根据点A、点B的坐标求出线段AB和线段CD的相似比是解题的关键．
14.【答案】272
【解析】解：如图，设PQ与x轴交于N，过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A(−6,0)，
∴平移后的抛物线对称轴为x=−3，得出二次函数解析式为：y=12(x+3)2+h，
将(−6,0)代入得出：
0=12(−6+3)2+h，
解得：h=−92，
∴点P的坐标是(−3,−92)，
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=|−3|×|−92|=272.
故答案为：272.
根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，然后求解即可．
本题主要考查了二次函数与几何变换问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．
15.【答案】解： 2+2sin45∘+3tan30∘− 12
= 2+2× 22+3× 33−2 3
= 2+ 2+ 3−2 3
=2 2− 3.
【解析】利用特殊角的三角函数值，算术平方根计算即可．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，算术平方根的定义．
16.【答案】解：x2−7x+5=0，
a=1，b=−7，c=5，
Δ=(−7)2−4×1×5=29>0，
x=−b± b2−4ac2a=7± 292×1，
所以x1=7+ 292，x2=7− 292.
【解析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)由概率的意义可得，
n2+n=13，解得，n=1，
经检验n=1是原方程的解，
答：n的值为1；
(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．
∴P(一白一黑)=49，
【解析】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
(1)根据摸到白球的概率为13，列方程求解即可；
(2)用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．
18.【答案】解：设道路的宽为xm，依题意有
(32−x)(20−x)=540，
整理，得x2−52x+100=0.
∴(x−50)(x−2)=0，
∴x1=2，x2=50(不合题意，舍去)
答：小道的宽应是2m.
【解析】本题可设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为(32−x)m，宽为(20−x)m.根据长方形面积公式即可求出道路的宽．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
19.【答案】解：(1)在图①中，点D即为所求；
(2)在图②中，点E即为所求；
(3)在图③中，点F即为所求．

【解析】(1)取AC的中点D即可；
(2)取格点M，N，连接MN交AC于点E，点E即为所求；
(3)利用数形结合的思想，判断出点F到AC的距离为45 2，到AB、BC的距离为65，取格点P，取BQ=2.5，连接PQ交AC的垂直平分线于点F，点F即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】34
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠B=180∘，∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180∘，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8，
∵△ADF∽△DEC，
∴ADAF=DEDC，
∴DE=AD⋅CDAF=12.
∵△ABE为直角三角形，
∴∠AEB=90∘，
∵AD//BC，
∴∠DAE=90∘，
∴AE=6，
∴sin∠ABE=AEAB=68=34.
故答案为：34.
(1)根据平行四边形的性质得到∠C+∠B=180∘，∠ADF=∠DEC，根据题意得到∠AFD=∠C，根据相似三角形的判定定理证明；
(2)根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算可得出DE的长，再根据勾股定理可得AE的长，最后根据三角形函数的定义可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过点A作AH⊥BC于点H，如图：
∵AB=AC，
∴BH=HC=12BC，
在Rt△ABH中，∠ABC=47∘，AB=50cm，
∴BH=AB×csB=50×cs47∘≈50×0.68=34(cm)，
∴BC=2BH=68cm；
(2)在Rt△ABH中，
∴AH=AB×sinB=50×sin47∘≈50×0.73=36.5(cm)，
∴36.5cm>35cm，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．
【解析】(1)过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
(2)根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义．
22.【答案】 5−1
【解析】【感知】证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADC=90∘，
由旋转得DE=DF，∠EDF=90∘，
∴∠ADE=∠CDF=90∘−∠CDE，
在△ADE和△CDF中，
DA=DC∠ADE=∠CDFDE=DF，
∴△ADE≌△CDF(SAS).
【探究】证明：如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，∠ADC=90∘，
∵AD=2AB，
∴DA=2DC，
∴DADC=2，
∵DF⊥DE，且DF=12DE，
∴∠EDF=90∘，DEDF=2，
∴DADC=DEDF，∠ADE=∠CDF=90∘−∠CDE，
∴△AED∽△CFD.
【应用】解：如图2，作FI⊥CD于点I，EG⊥AD于点G，OH⊥AD于点OH，
∵∠GDE=∠IDF，∠DGE=∠DIF=90∘，
∴△GDE∽△IDF，
∴EGFI=DEDF=2，
∴EG=2FI，
∵∠OHA=∠HAB=∠B=90∘，
∴四边形ABOH是矩形，
∴OH=AB=2 5，
∵EG+OE≥OH，且OE=2，
∴2FI+2≥2 5，
∴FI≥ 5−1，
∴FI的最小值为 5−1，
∴点F到CD的最短距离d= 5−1，
故答案为： 5−1.
【感知】由正方形的性质得DA=DC，∠ADC=90∘，由旋转得DE=DF，∠EDF=90∘，则∠ADE=∠CDF=90∘−∠CDE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ADE≌△CDF；
【探究】由矩形的性质得DC=AB，∠ADC=90∘，由DF⊥DE，得∠EDF=90∘，则∠ADE=∠CDF=90∘−∠CDE，而DADC=DEDF=12，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△AED∽△CFD；
【应用】作FI⊥CD于点I，EG⊥AD于点G，OH⊥AD于点OH，可证明△GDE∽△IDF，得EGFI=DEDF=2，所以EG=2FI，再证明四边形ABOH是矩形，则OH=AB=2 5，根据“垂线段最短”得EG+OE≥OH，所以2FI+2≥2 5，则FI的最小值为 5−1，所以点F到CD的最短距离d= 5−1，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、矩形的性质、旋转的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把点(−1,0)，(0,3)，(1,4)代入二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得，
a−b+c=0c=3a+b+c=4，
解得a=−1b=2c=3，
∴二次函数的关系式为y=−x2+2x+3；
(2)由于抛物线y=−x2+2x+3的开口方向向下，对称轴x=1，
∴当x=1时，y的最大，y最大=−1+2+3=4，
当x=−1时，y=−1−2+3=0，
当x=2时，y=−4+4+3=3，
∴−1≤x≤2时，函数y的最大值是4，最小值是0；
(3)∵函数y的取值范围为0≤y≤4，即函数图象位于x轴上方的部分所对应的函数值，
∴当y=0时，即−x2+2x+3=0，
解得x=3或x=−1，
∴−1≤m≤3；
(4)∵M(n,2)，N(n+4,2)，
∴MN//x轴，
当y=2时，即−x2+2x+3=2，
解得x1=1+ 2，x2=1− 2，
∴直线y=2与抛物线的两个交点分别为(1+ 2,2)，(1− 2,2)，
∴这两个交点之间的距离为|x1−x2|=2 2，
∵MN=4+n−n=4，
由直线y=2与我抛物线y=−x2+2x+3的图象可知，
当− 2−3≤n< 2−3或1− 2≤n≤1+ 2时，线段MN与抛物线恰有一个交点．
【解析】(1)根据待定系数法把点(−1,0)，(0,3)，(1,4)代入二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)求出a、b、c的值即可；
(2)根据抛物线的开口方向，对称轴以及最大值再结合函数的图象进行计算即可；
(3)结合图形，当函数y的取值范围为0≤y≤4，即函数图象位于x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围即可；
(4)由M(n,2)，N(n+4,2)可得MN=4，MN//x轴，再求出直线y=2与抛物线两个交点之间的距离，结合图象得出答案．
本题考查二次函数的图形和性质，待定系数法求二次函数的关系式，掌握待定系数法求二次函数关系式的方法以及二次函数的图象和性质是正确解答的前一天．
24.【答案】10
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10.
故答案为：10.
(2)∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=8，
∴CD=6，BC=8，BD=10，∠A=90∘，AD//CB，
∴∠ADB=∠CBP，
∵CP⊥BD，
∴∠CPB=∠A=90∘，
∴△CPB∽△BAD，
∴BPAD=BCDB，
∴BP8=810，
∴BP=325.
(3)①∵PE⊥BD，
∴∠DPE=∠DCB=90∘，
∵∠BDC=∠EDP，
∴△BDC∽△EDP，
∴DPDC=EDDB，
∵BP=x，DB=10，DP=10−x，CD=6，
∴10−x6=DE10，
∴DE=53(10−x)，
∵AB//DE，
∴ABDE=AFDF，
∴653(10−x)=yy+8，
∴y=14432−5x(0②∵∠FAB=∠BPE=90∘，且点F不可能在线段AD上，
∴△BPE与△BAF相似有两种可能：
a、点F在线段DA的延长线上(如图2中)，
∵∠PBE≠∠AFB，
∴∠PBE=∠ABF，
∵AB//DE，
∴∠ABF=∠DEB，
∴∠PBE=∠DEB，
∴DE=DB=10，
∴DP=DC=6，
∴BP=4.
b、点F在线段AD的延长线上(如图3中)，
∵∠ABF≠∠PBE，
∴∠ABF=∠PEB，
∵AB//CD，
∴∠ABF=∠CEB，
∴∠PEB=∠CEB，
∵∠BPE=∠BCE=90∘，
∴BP=BC=8.
综上所述，BP的值为4或8.
(1)利用勾股定理求解即可；
(2)证明△CPB∽△BAD，利用相似三角形的性质求解；
(3)①证明△BDC∽△EDP，可得DPDC=DEDB，推出DE=53(10−x)，由AB//DE，推出ABDE=AFDF，由此构建关系式，可得结论；
②分两种情形：a、点F在线段DA的延长线上(如图2中)，b、点F在线段AD的延长线上(如图3中)，分别求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．