2023-2024学年辽宁省六校协作体高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省六校协作体高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用交集的概念计算即可.
【详解】由题意可知：.
故选：D
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】由得且，所以且，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
3．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买m台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备（ ）
A．100台B．200台C．300台D．400台
【答案】B
【分析】由题意求出平均成本的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】由题意，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以应购买台，使得每台设备的平均成本最低.
故选：B
4．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，的定义域为，
由得，
则，解得，
所以的定义域为.
故选：D
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.
【详解】因为，所以，定义域为；
因为，所以，故，所以为奇函数，排除B，
当趋向于正无穷大时，、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快，
所以趋向于，排除D，
由，，则，排除C.
故选：A.
6．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断函数在各区间的正负，考虑和两种情况，将不等式转化为的正负，计算得到答案.
【详解】定义在R上的奇函数在上单调递减，故函数在上单调递减，
且，故，
函数在和上满足，在和上满足.
，
当时，，即；当时，，即.
综上所述：.
故选：A
7．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．1
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案.
【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中，
可知 ，且为的两根，且，
即，即 ，
所以，当且仅当时取等号，
故选:C.
8．对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据代数式和之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数的解析式，画出函数的图像，利用数形结合求出的取值范围.
【详解】由可得，由 可得，
所以根据题意得，
即，
做出函数的图像如图，

当时，开口向下，对称轴为，
所以当时，函数的最大值为，
函数的图像和直线有三个不同的交点．
可得的取值范围是.
故选：D
二、多选题
9．已知是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】CD
【分析】根据奇偶函数定义直接判断即可.
【详解】是奇函数，；
是偶函数，；
对于A，，
不是奇函数，A错误；
对于B，，
不是奇函数，B错误；
对于C，，是奇函数，C正确；
对于D，，是奇函数，D正确.
故选：CD.
10．下列命题正确的是（ ）
A．设，不等式的一个必要不充分条件是
B．“”是“”的充分不必要条件
C．设则“”是“”的必要不充分条件
D．命题“”是真命题的实数的取值范围为
【答案】BD
【分析】根据充分、必要条件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，由得，
所以是的充分不必要条件，所以A选项错误.
B选项，，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以B选项正确.
C选项，若“”，则；
若，则可能，不能得到；
所以“”是“”的充分不必要条件，所以C选项错误.
D选项，“”是真命题，即在区间上恒成立，
所以，解得，所以D选项正确.
故选：BD
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为6
C．若，则的最小值为
D．若，，则的最小值为2
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】对于A项，易知，
当且仅当，即时取得等号，故A正确；
对于B项，设，且，
所以
，当且仅当时取得等号，故B错误；
对于C项，由，
当且仅当时取得等号，故C正确；
对于D项，令，
则
，
当且仅当，即，时取得等号，故D正确.
故选：ACD
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A．在上是增函数B．是奇函数
C．的值域是D．的值域是
【答案】BC
【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD.
【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，
且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；
∵，，
∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
∵，∴，，，∴，
即，∴，故C错误，D正确.
故选：BC
三、填空题
13．函数的值域为 ．
【答案】
【分析】根据指数函数性质即可得到值域.
【详解】因为，所以，又因为，
所以，所以，
故值域为：．
14．已知函数是一次函数，满足，则 .
【答案】或
【分析】设，根据已知条件列方程组，由此求得，从而求得.
【详解】设，则
，
所以，解得或，
所以或.
故答案为：或
15．已知实数，，且，则的最小值是 .
【答案】
【分析】化简已知等式，结合基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，
由整理得，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
16．已知函数，为常数，若有最大值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出的图象，对进行分类讨论，根据有最大值求得的取值范围.
【详解】画出的图象，如下图所示，
由解得或，
当时，；当时，.
①对于二次函数，函数的图象开口向下，对称轴，
当时，；
②对于指数型函数，当时，.
对于函数，
当时，，
当时，，
当时，没有最大值.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：

【点睛】求解含参数的分段函数的最值问题，主要是要用数形结合的数学思想以及分类讨论的数学思想方法来进行求解.要注意参数的位置，可能参数在函数的解析式上，也可能参数在函数的自变量的范围上，画出函数的图象后，通过对参数进行分类讨论来求得参数的取值范围.
四、解答题
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0；
(2)6.
【分析】（1）根据指数的运算法则化简、运算即可求解.
（2）根据换底公式和对数的运算法则化简、运算即可求解.
【详解】（1）原式
（2）原式
18．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解分式不等式结合交集的定义计算即可；
（2）分类讨论B是否是空集，结合集合间的关系计算即可.
【详解】（1）由，解得：，所以，
当时，，
；
（2）因为，所以，由第一问可知，
当时，，
解得：，
当时，要满足题意需，解之得：，
综上：实数的取值范围为
19．已知二次函数.
(1)若，不等式对一切实数x恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，存在使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合根的判别式即可得解；
（2）分离参数，再根据基本不等式即可得解.
【详解】（1）若，则，，
因为不等式对一切实数x恒成立，
则，解得；
综上所述，实数的取值范围是；
（2）若，不等式即为：，
当时，可变形为：，即，
又，当且仅当，即时，等号成立，
，即，
实数的取值范围是：.
20．已知，是关于x的方程的两个实数根．
(1)若，求m的值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求m的范围，再利用韦达定理代入求解可得；
（2）先配方，利用韦达定理，结合二次函数性质可得.
【详解】（1）因为，是关于x的方程的两个实数根，
所以，即
所以，
所以，
整理得，解得（舍去）或，
所以.
（2）由（1）可得，
令，
因为在区间上单调递减，
所以，当时，取得最小值.
21．已知．
(1)判断函数的奇偶性和单调性（不必证明）；
(2)若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)函数是R上的奇函数，且在R上是严格增函数
(2)
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断，由指数函数的单调性及单调性的性质判断函数的单调性；
（2）依题意可得，再由函数的单调性可得对一切恒成立，令，设根据二次函数的性质求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
【详解】（1）解：因为定义域为，所以，所以为奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增；
即函数是R上的奇函数，且在R上是严格增函数．
（2）解：因为是R上的奇函数且为严格增函数，所以由，可得，即对一切恒成立．令，，设，所以，即，解得．
22．已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；
（2）令，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；
（3）令，若对，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）；函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析；（2）；（3）
【解析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性；
（2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可；
（3）由对任意的，都有恒成立，可得，求出，进而可求出的取值范围.
【详解】（1），且是奇函数，，
，解得，
．
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
函数在上单调递减.
同理可证明函数在上单调递增．
（2）函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得．
（3）由题意知，
令，，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
，
函数的对称轴方程为，
函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，.
所以，，
又对任意的，都有恒成立，
，
即，
解得，又，
的取值范围是．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.