2022-2023学年辽宁省辽南协作体高一上学期期末考试数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省辽南协作体高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用交集定义直接求解．

【详解】由集合，，

又∵，∴

∴实数a的取值范围为：．

故选：C

2．对任意实数，，，下列命题中真命题是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．“是无理数”是“是无理数”的充要条件

C．“”是“”的充分条件

D．“”是“”的充分条件

【答案】B

【分析】通过反例可知ACD错误；根据充要条件和必要条件的定义可知B正确.

【详解】对于A，当时，，此时可以，必要性不成立，A错误；

对于B，当为无理数时，根据为有理数，可知为无理数，充分性成立；

当为无理数时，根据为有理数可得为无理数，必要性成立；

“是无理数”是“是无理数”的充要条件，B正确；

对于C，当时， ，但是，

故“”不是“”的充分条件，C错误；

对于D，当时，，但是，

所以“”不是“”的充分条件，D错误.

故选：B.

3．若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，确定a,b,c的范围，即可比较大小，可得答案.

【详解】由函数为增函数可知，

由为增函数可得，

由由为增函数可得，

所以，

故选：D

4．某数学竞赛有5名参赛者，需要解答五道综合题，这五个人答对的题数如下：3，5，4，2，1，则这组数据的60%分位数为（    ）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5

【答案】B

【分析】首先将数据从小到大排列，求得，则第分位数为第个数与第个数的平均数，即可得解.

【详解】解：这五人答对的题数从小到大排列为：、、、、，

又，所以第分位数为.

故选：B

5．函数的反函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据反函数的定义域为原函数的值域，先求出原函数的值域，即可得出答案.

【详解】，

，

，

则的值域为，

反函数的定义域为原函数的值域，

反函数的定义域为，

故选：D.

6．在同一坐标系内，函数和的图象可能是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数的图象与性质，分和讨论，利用排除法，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，若时，函数在递增，此时递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即时，不合题意；

若时，函数在递减，又由递减可排除A，故选B.

【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由确定出1<a<2，再由转化可得b的取值情况而得解.

【详解】因则，a>1，此时，则有a<2，即1<a<2，

又，而，即，b<1，

所以.

故选：C

8．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得到，根据函数单调性得到，，得到不等式，求出实数的取值范围是.

【详解】若，，使得，

故只需，

其中在上单调递减，故，

在上单调递增，故，

所以，解得：，

实数的取值范围是.

故选：C

二、多选题

9．设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（    ）

A．若，则存在实数，使得.

B．若，则.

C．若，则，反向.

D．若，则，一定同向

【答案】ACD

【分析】根据向量加法的意义判断选项A，C；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B；根据平面向量平行的性质可判断选项D.

【详解】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且，

则存在实数，使得，故选项A错误；

对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，

则，故选项B正确；

对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误；

对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误；

综上所述：选项ACD错误，

故选：ACD.

10．某校组织全体高一学生参加了主题为“青春心向党，奋斗正当时”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ）（小数点后保留一位）

A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有20人

B．这100名学生的平均成绩为84分

C．估计全校学生成绩的中位数为86.7

D．估计全校学生成绩的样本数据的70%分位数为91.5

【答案】BC

【分析】由频率和为1可求解x，再由频率分布直方图的频率计算人数和中位数、平均成绩，根据百分数定义计算70%分位数，对选项逐个判断.

【详解】对于A，由，得，

所以成绩在区间内的学生人数为，故A不正确；

对于B，平均成绩为分，故B正确；

对于C，设中位数为，则，

得，故C正确；

对于D，设样本数据的70%分位数约为分，

则，解得.

故D不正确.

故选：BC.

11．在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（    ）

A．若点在上时，则

B．的取值范围为

C．若点在上时，

D．当在线段上时，的最小值为

【答案】AD

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.

【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，

因为，

所以，所以，

对于A，由题意可得线段的方程为，，

因为点在上，所以，

因为，所以，

所以，所以A正确，

对于B，因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以，所以B错误，

对于C，因为，所以，

因为，，

所以，

若，则，得，

因为，所以不满足，

所以不成立，所以C错误，

对于D，

，当且仅当时取等号，

所以当在线段上时，的最小值为，所以D正确，

故选：AD

12．已知函数，则（    ）

A．的定义域是

B．是偶函数

C．是单调增函数

D．若，则，或

【答案】AC

【分析】根据对数函数确定函数定义域即可判断选项A，利用函数奇偶性定义判断选项B，结合复合函数的单调性、函数单调性性质即可判断选项C，由单调性解不等式即可判断选项D.

【详解】解：函数的定义域满足，解得，则的定义域是，故A正确；

所以，且，故是非奇非偶函数，故B不正确；

由于函数，由复合函数单调性可得在上为单调增函数，

又函数，由复合函数单调性可得在上为单调增函数，

所以是单调增函数，故C正确；

由是上的单调增函数，且，所以可得：

，所以，解得或，故D不正确.

故选：AC.

三、双空题

13．已知的范围为,且每个随机变量对应概率相等，（1）______；（2）若，则______.

【答案】         

【分析】分析符合题意的取值情况再计算概率.

【详解】且即，故；

，则取值为16,36,46，故.

故答案为：，.

四、填空题

14．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】由已知，要想保证函数是定义在上的增函数，需满足分段函数两部分在各自区间上单调递增，然后再满足连续单增，即比较当时，左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值，列式即可完成求解.

【详解】由已知，函数是定义为在上的增函数，

则在上为单调递增函数，在上为单调递增函数，且，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

15．在中，，，若（，均大于0），则的值为______.

【答案】15

【分析】利用平面向量基本定理和向量三角形法则，可表示，进而求出，的值，即可求出结果.

【详解】如图所示，在中，，

因为，所以，所以，①

在中，，

因为，所以，所以，代入①，

得，

因为，所以，，

所以，

故答案为：.

五、双空题

16．已知函数，

（1）当方程有三个不同的实根，______，.

（2）当方程有四个不同的实根，且，，，，满足，则的值是______.

【答案】     0或2##2或0     12

【分析】（1）画出函数图像直接得到答案；

（2）从图像观察出分别是函数和自变量，是函数的两个自变量，代入化简求解.

【详解】当时，

画图为

观察图像发现当或时，有三个不同的实根；

观察图像发现当时，有个不同的实根，，并且

分别是函数和自变量，

所以

所以；

是函数的两个自变量，

又因为

所以

故

故答案为：0或2；12

六、解答题

17．（1）当时，求的值.

（2）化简求值：.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据指数的运算，代入计算即可得到结果；

（2）根据对数的运算，代入计算即可得到结果.

【详解】（1）因为，所以

（2）原式

18．为了更好了解新高一男同学的身高情况，某校高一年级从男同学中随机抽取100名新生，分别对他们的身高进行了测量，并将测量数据分为以下五组：，，，，进行整理，如下表所示：

(1)在答题纸中，画出频率分布直方图：

(2)若在第3，4两组中，用分层抽样的方法抽取5名新生，再从这5名新生中随机抽取2名新生进行体能测试，求这2名新生来自不同组的概率.

【答案】(1)作图见解析

(2)

【分析】(1)根据表中数据补全频率分布直方图即可求解；

(2)根据分层抽样先求出两组抽取的人员数并对这5名人员进行标记，然后列出所有的基本事件个数，根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：

（2）因为第3，4组共有50名新生，所以利用分层抽样从中抽取5名，每组应抽取的人数分别为：第3组：名，第4组：名，

设第3组抽取的3名新生分别为，，，第4组抽取的2名新生分别为，.

从这5名新生中随机抽取2名新生，有以下10种情况：，，，，，，，，，    

这2名新生来自不同组的情况有以下6种：，，，，，，故所求的概率.

19．已知向量，，当为何值时，

(1)求和

(2)与平行？平行时它们是同向还是反向？

【答案】(1)，

(2)平行，反向.

【分析】(1)直接由向量的数乘，坐标加减法运算，以及向量模的计算公式求解；

(2)利用向量平行的条件即可求出的值，再判断结论即可.

【详解】（1）向量，，

∴，，

∴，

.

（2）若与平行，

则存在实数，使得，因此，解之得，    

这时，

所以它们平行，且反向.

20．设函数（且）是定义域为的奇函数.

(1)求实数的值；

(2)若，，且在上的最小值为，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据奇函数求解即可；

（2）根据求出a的值，再求出，利用换元法得到，再分为时，和时两种情况求解即可.

【详解】（1）是定义域为的奇函数，

，

，即，

当时，，

即，符合条件.

故；

（2），

，（舍），

故，

令，

是单调递增函数，

，故，

，

函数图象的对称轴为，

①当时，，解得.

②当时，，

解得，不符合，

综上，.

21．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．

(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由

(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：

(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．

【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和；

(2)；

(3).

【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答.

(2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答.

(3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答.

【详解】（1）依题意，设为的不动点，即，于是得，解得或，

所以 是“不动点” 函数，不动点是2和.

（2）因是“次不动点”函数，依题意有，即，显然，解得，

所以实数的值是.

（3）设分别是函数在上的不动点和次不动点，且唯一，

由得：，即，整理得：，

令，显然函数在上单调递增，则，，则，

由得：，即，整理得：，

令，显然函数在上单调递增，，，则，

综上得：，

所以实数的取值范围.

【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.

22．已知函数（其中，且）的图象关于原点对称.

（1）求，的值；

（2）当时，

①判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；

②关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）①在区间上单调递增；②.

【分析】（1）由图象关于原点对称知：，结合函数解析式可得，即可求参数.

（2）由已知得，①为，的构成的复合函数，由它们在上均单调递增，即知的单调性；②由①整理方程得在区间上有两个不同的解，令，有，结合基本不等式求其最值，进而确定的取值范围.

【详解】（1）由题意知：，整理得，即，对于定义域内任意都成立，

∴，解得或.

（2）由知：，故

①，由，在上均单调递增，

∴在区间上的单调递增.

②由①知，可得，即在区间上有两个不同的解，令，

∴当且仅当时等号成立，而在上递减，在上递增，且时.

∴.

【点睛】关键点点睛：

（1）利用函数的对称性，结合解析式列方程求参数值；

（2）根据对数型复合函数的构成判断单调性，应用参变分离、换元思想，将方程转化为在上存在不同的对应相同的值，求参数范围.