辽宁省辽南协作体2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（A）

这是一份辽宁省辽南协作体2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（A），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
范围：集合与逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、平面向量、复数、数列、解三角形、立体几何
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数：满足（i为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题．1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立．哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ）
A．每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和
B．存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和
C．每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和
D．存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和
4．习近平总书记强调，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅．这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为：（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．已知，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的前n项和，正项等比数列满足，，则使成立的的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则向量，的夹角是
10．已知函数的最大值为2，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．是图象的一条对称轴D．在上单调递增
11．在正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线异面
B．直线与平面平行
C．三棱锥的体积是正方体体积的
D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形
12．已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为4B．的最小值为8
C．的最小值为D．的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13．已知等差数列的前项和为，若，则________
14．已知，，则________。
15．若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数________．
16．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为________
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）已知函数．
（1）求函数的对称中心和单调递减区间；
（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值。
18．（本题满分12分）已知数列满足，，满足，．
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列中满足的所有项的和．
19．（本题满分12分）中，有，其中、、分别为角、、的对边．
（1）求角的大小；
（2）设点是的中点，若，，求的面积．
20．（本题满分12分）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，．
（1）已知点为上一点，且，求证：与平面不平行；
（2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的长及四棱锥的体积。
21．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为，．已知点的纵坐标为，点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）记的内角，，的对边分别为，，．若，且，求周长的最大值．
22．（本题满分12分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
（1）求曲线在处的曲率的平方；
（2）求余弦曲线曲率的最大值；
高三数学答案：
一．单选题：1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C
二．多选题：9．BD 10．AD 11．ABD 12．BC
三．填空题：13．5 14． 15． 16．
四．解答题：
17．解：（1），---2
令，则，
故的对称中心为.-------------------------4分
令，
即的单调递减区间为---------------------------6分
（2）由题意，，----7分
故，，--------------9分
则.
故在上最小值为，最大值为2.--------------------------10分
18.解：（1）解：由，解得，-------------1分
因为，----------------------4分
数列是为首项，1为公差的等差数列.
数列的通项公式为，
所以.------------------------------------6分
（2）因为，，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，-----------------------------8分
因为，即得到，
又，
所以，解得，且，------------------10分
所以满足题意的为数列的前10项，记的前项和为，
则，
所以数列中满足的所有项的和为.-----12分
19．解：（1）在中，因为，
由正弦定理可得，-------2分
因为，则，
所以，，--------------4分
则，
所以，，故.-----------------------6分
（2）因为----------------8分
（3）所以---9分
所以①------------------10分
又②
由①，②得：，----------------11分
所以----------------12分
20．解：（1）证明：因为平面ABEF，AB，平面ABEF，
所以，，-----------------------1分
又，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，---2分
则、、、、，

所以，，，
设平面DCE的法向量为，则，
令，则，所以，-----------------4分
因为，且不存在使得与垂直，
所以BG与平面DCE不平行；------------------6分
（2）设（且），则，所以，---7分
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，
∴，-----------9分
化简得，解得或（舍去）；故．---10分
此时梯形ABEF的面积，故．------12分
21．解：（1）因为，是锐角，所以，在第一象限，
又因为，在单位圆上，点的纵坐标为，点的横坐标为，
所以，，-------------------------------------2分
所以，.--------------------4分
故.---------6分
（2）由（1）中结论可得，又，∴，------------7分
由余弦定理可得，即，-----------8分
∵，
∴，-------------10分
∴，当且仅当时，等号成立，------11分
∴，
即当为等边三角形时，周长最大，最大值为6.--------12分
22．解：（1），，，----------------------2分
所以，----------------3分
.----------------------------4分
（2），，，----------------6分
所以-----------------------7分
，--------------------------8分
令，则，，--------------------
设，则，-------------------10分
显然当时，，递减，-----------------------11分
所以．最大值为1，
所以的最大值为1．----------------------------12分