2023-2024学年辽宁省辽南协作体高一上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省辽南协作体高一上学期期中考试数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合M={x∣1≤x<5},N=x∣x-3≥0，则M∩N=( )
A. x∣1≤x≤3B. {x∣3≤x<5}C. x∣x≥1D. x∣x≥3
2.函数y= x+4+1x+1的定义域为
( )
A. -4,-1B. -4,-1∪-1,+∞
C. -1,+∞D. -4,+∞
3.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. fx= x2,gx= x2B. fx=1,gx=x0
C. fx=x,gx=3x3D. fx=x+1,gx=x2-1x-1
4.已知a,b,c是实数，则“a>b”是“ac2>bc2”的
( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
5.设函数fx=fx-1,x≥0,x3-1,x<0,则ff4=( )
A. -2B. -9C. -10D. -11
6.函数f(x)=2x-1+|x|的零点所在区间是
( )
A. 0,14B. 14,12C. 12,1D. (1,2)
7.已知偶函数fx在-∞,0上单调递减，则下列结论正确的是
( )
A. f-1>f5>f2B. f2>f-1>f5
C. f-1>f2>f5D. f5>f2>f-1
8.函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3在区间(-∞,4]上单调递增，则m的取值范围是
( )
A. [-3,+∞)B. [3,+∞)C. (-∞,5]D. (-∞,-3]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义在-3,3上的函数y=fx的图像如图所示.下述四个结论：
( )
A. 函数y=fx的值域为-2,2B. 函数y=fx的单调递减区间为-1,1
C. 函数y=fx仅有两个零点D. 存在实数a满足fa+f-a=0
10.已知集合A=x-1≤x<2，B=xx( )
A. -2B. -1C. 0D. 1
11.下列说法不正确的是( )
A. 不等式2x-11-x<0的解集为x∣12B. 已知命题p：对∀x∈0,+∞,1x2+1+1x2+2C. 若x∈R，则函数y= x2+4+1 x2+4的最小值为2
D. 当x∈R时，不等式kx2-kx+1>0恒成立，则k的取值范围是0,4
12.已知a>0，b>0，且a+2b=1，则( )
A. ab的最大值为19B. 1a+2b的最小值为9
C. a2+b2的最小值为15D. (a+1)(b+1)的最大值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合A=xx<3,x∈N*，则集合A的非空真子集的个数为________．
14.已知y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(-12)的值为________．
15.若函数f(x)的定义域为0,3，则函数y=f2x-1的定义域__________．
16.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2m+3x+m2=0的两个不相等的实数根，并且满足1x1+1x2=1，则实数m为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
求下列方程组及不等式组的解集．
(1)2x-y=0x2-y2+3=0；
(2)x-1≤25x+1>1．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|x≤4}，集合B={x|m-1≤x≤m+1,m∈R}．
(Ⅰ)当m=4时，求A∩B；
(Ⅱ)当A∩B=⌀时，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知二次函数fx=ax2+bx+3，且-1，3是函数fx的零点．
(1)求fx的解析式；
(2)解不等式fx<4．
20.(本小题12分)
已知一次函数fx满足f3-3f1=4，2f0-f-1=1．
(1)求这个函数的解析式；
(2)若函数gx=fx-x2，求函数gx值域．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x-1x．
(1)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)判断f(x)的奇偶性，并求f(x)在区间[-2,-1]上的值域．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2-5,x≥0x+6,x<0
(1)若f(m)=4，求m的值；
(2)若f-a2-1>1，求a的取值集合．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据集合的交运算即可求解．
解：由题意得 N=x∣x≥3 ，所以 M∩N={x∣3≤x<5} ．
故选：B
2.【答案】B
【解析】【分析】偶次开根根号下为非负，分式分母不为零，据此列出不等式组即可求解．
解：依题意 x+4≥0x+1≠0 ，解得 x≥-4x≠-1 ，
所以函数的定义域为 -4,-1∪-1,+∞ ．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】判断函数的定义域是否相同，再在定义域基础上，化解解析式是否一致即可．
解：对于A，fx= x2=xx∈R,gx= x2=xx≥0，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；
对于B，fx=1x∈R,gx=x0=1x≠0，定义域不同，故不为同一函数；
对于C，fx=xx∈R,gx=3x3=xx∈R，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：
对于D，fx=x+1x∈R,gx=x2-1x-1=x+1x≠1，定义域不同，故不为同一函数．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断．
解：由 a>b 得不到 ac2>bc2 ，如 c=0 ，故充分性不成立，反之，由 ac2>bc2 可以得到 a>b ，故必要性成立，则“ a>b ”是“ ac2>bc2 ”的必要不充分条件．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据解析式进行迭代可得 f4=f-1=-2 ，然后可得答案．
解：由解析式可得 f4=f4-1=f3=f2=f1=f0=f-1=-2 ，
所以 ff4=f-2=-23-1=-9 ．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．
根据函数零点存在性定理知满足 f(a)f<0 ，即零点在区间 (a,b) ．( )
【解答】
解： x>0 ， f(x)=2x-1+x=3x-1
所以 f(x) 在 (0,+∞) 单调递增，
因为 f(14)=34-1=-14<0
f(12)=32-1=12>0
所以由零点存在性质定理知， f(x) 的零点在 (14,12) ．
故选：B
7.【答案】D
【解析】【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性求解．
解：由于函数 fx 为偶函数，故 f5=f-5,f2=f-2 ，
且 fx 在 -∞,0 上单调递减，
所以 f-5>f-2>f-1 ，即 f5>f2>f-1 ，
故选：D．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
易知函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3图象的对称轴为x=-2(1-m)-2=1-m，由函数f(x)在区间(-∞,4]上单调递增可得1-m≥4，从而解出m的取值范围即可．
【解答】
解：函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3图象的对称轴为x=-2(1-m)-2=1-m，
∵函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3在区间(-∞,4]上单调递增，
∴1-m≥4，解得m≤-3．
所以m的取值范围是(-∞,-3]．
故选：D．
9.【答案】BD
【解析】【分析】直接根据图像，结合函数的值域、递减区间、零点与特殊点即可．
解：对A，由图，y=fx的最大值大于2，最小值小于2，故值域不为-2,2，故错误；
对B，函数y=fx的单调递减区间为-1,1，故正确；
对C，函数y=fx有三个零点，故错误；
对D，f0+f-0=0成立，故正确；
故选：BD
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查利用集合交集求参数范围，属于基础题．
先在数轴上表示出集合A，B，再观察图象即可得解．
【解答】
解：因为A=x-1≤x<2，B=xx作出图形如图，所以a>-1．
故选CD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】对于A，解出不等式2x-11-x<0的解集即可判断；对于B，根据全称命题的否定为特称命题，即可判断；对于C，令t= x2+4(t≥2)，根据对勾函数的性质即可判断；对于D，解出使不等式kx2-kx+1>0恒成立时k的取值范围，即可判断．
解：对于A，不等式2x-11-x<0的解集为{x|x∣x<12或x>1}，故错误；
对于B，命题p：对∀x∈0,+∞,1x2+1+1x2+2对于C，令t= x2+4(t≥2)，则原函数即为y=t+1t(t≥2)，由对勾函数的性质可知y=t+1t在[2,+∞)上单调递增，
所以y≥2+12=52，所以函数y= x2+4+1 x2+4的最小值为52，当x=0时，取最小值52，故错误；
对于D，因为不等式kx2-kx+1>0恒成立，
所以当k=0时，满足题意；
当k≠0时，则有Δ=k2-4k<0k>0，解得0综上，k的取值范围是[0,4)，故错误．
故选：ACD．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值的应用，以及二次函数的性质，属于中档题．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及二次函数的性质，逐项判断即可求解．
【解答】
解：∵a，b均为正数，且a+2b=1，
∴由基本不等式可得，1=a+2b≥2 2ab，解得ab≤18，当且仅当a=2b=12，即a=12，b=14时等号成立，故A选项不正确，
(1a+2b)=(1a+2b)(a+2b)=1+2ba+2ab+4 ≥5+2 2ba⋅2ab=9，当且仅当2ba=2ab，即a=b=13时等号成立，故B选项正确，
∵a=1-2b>0b>0，
∴0a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1，结合二次函数的性质可知，
当b=25时，a2+b2取得最小值15，故C选项正确，
已知a>0，b>0，且a+2b=1，
则a+1b+1=12a+12b+2⩽12a+1+2b+222=2，
当且仅当a+1=2b+2，即a=1,b=0时等号成立，
但b>0，故等号不成立，故D错误．
故答案选：BC．
13.【答案】2
【解析】【分析】求出集合A，列举出集合A的非空真子集，可得出结果．
解：因为A=xx<3,x∈N*=1,2，
所以，集合A的非空真子集有：1、2，共2个.
故答案为：2．
14.【答案】32或1.5
【解析】【分析】根据奇函数的定义求值．
解：由题意f(-12)=-f(12)=-(12-2)=32．
故答案为：32．
15.【答案】12,2
【解析】【分析】由题意函数fx的定义域为[0,3]，则对于函数f2x-1中，令0≤2x-1≤3，即可求解．
解：由题意函数fx的定义域为[0,3]，
则对于函数f2x-1中，令0≤2x-1≤3，
解得12≤x≤2，
即函数f2x-1的定义域为12,2，
故答案为：12,2．
16.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可．
【解答】
解：因为x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2m+3x+m2=0的两个不相等的实数根，
所以x1+x2=2m+3，x1x2=m2，所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m+3m2=1，
解得m=3或m=-1，
又因为Δ=2m+32-4m2=12m+9>0，得m>-34，
所以m=3．
故答案为：3．
17.【答案】解：(1)2x-y=0x2-y2+3=0⇒x2-2x2+3=0⇒x2=1,
从而解得x=1y=2或x=-1y=-2,
故解集为1,2,-1,-2．
(2)不等式x-1≤2等价于-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3，
不等式5x+1>1等价于5-x+1x+1=4-xx+1>0⇔4-xx+1>0，解得-1所以不等式组x-1≤25x+1>1的解集为-1,3．

【解析】【分析】(1)代入消元法求解即可；
(2)分别解出两个不等式，然后取交集．
18.【答案】解：(Ⅰ)当m=4时，集合B={x|m-1≤x≤m+1,m∈R}={x|3≤x≤5}，
又A={x|x≤4}，
所以A∩B={x|3≤x≤4}．
(Ⅱ)若A∩B=⌀，
则m-1>4，
解得m>5，
∴实数m的取值范围为{m|m>5}．
【解析】本题主要考查了集合交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
(Ⅰ)求出B集合，然后再求交集即可；
(Ⅱ)利用集合的运算，列出不等式即可求得m的取值范围．
19.【答案】解：(1)因为-1,3是函数fx的零点，
即x=-1或x=3是方程fx=0的两个实根，
所以x1⋅x2=-3=3a，从而a=-1，
x1+x2=2=-ba=b，即b=2，
所以f(x)=-x2+2x+3．
(2)由(1)得f(x)=-x2+2x+3，
从而fx<4，即-x2+2x+3<4，
即x-12>0，所以x≠1，
所以不等式fx<4的解集为xx≠1．

【解析】【分析】(1)利用韦达定理求解即可；
(2)解一元二次不等式即得解．
20.【答案】解：(1)设f(x)=kx+b,(k≠0)
由条件得：3k+b-3(k+b)=42b-(-k+b)=1，解得k=3b=-2,
故f(x)=3x-2．
(2)由(1)知g(x)=3x-2-x2，
即g(x)=-x2+3x-2=-x-322+14≤14，
所以值域为-∞,14．

【解析】【分析】(1)根据题意，由待定系数法，代入计算，即可得到结果；
(2)根据题意，由二次函数的值域，即可得到结果．
21.【答案】解：(1)f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，证明如下：
∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1有f(x1)-f(x2)=(x1-1x1)-(x2-1x2)=(x1-x2)+(1x2-1x1)=x1-x2x1x2(x1x2+1)．
因为x1，x2∈(0,+∞)，且x10，x1-x2<0．
于是x1-x2x1x2(x1x2+1)<0，即f(x1)故f(x)在区间(0,+∞)上单调递增．
(2)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)．
因为f(-x)=-x+1x=-f(x)，
所以f(x)为奇函数．
由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
结合奇偶性可得f(x)在区间(-∞,0)上单调递增．
又因为f(-2)=-32,f(-1)=0，
所以f(x)在区间[-2,-1]上的值域为[-32,0]．
【解析】本题主要考查了单调性定义在单调性判断中的应用，还考查了利用单调性求解函数的值域，属于中档题．
(1)设0(2)利用函数的单调性及奇偶性即可求解．
22.【答案】解：(1)当m≥0时，f(m)=m2-5=4，
解得m=3或m=-3(舍去)；
当m<0时，f(m)=m+6=4，
解得m=-2．
∴m的值为3或-2．
(2)对任意实数a∈R，-a2-1<0，
∴f-a2-1=-a2-1+6>1，a2<4，
解得-2∴a的取值集合是x-2
【解析】【分析】(1)结合分段函数解析式列方程，由此求得m的值．
(2)首先判断-a2-1的取值范围，然后解一元二次不等式求得a的取值集合．