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2023-2024学年宁夏回族自治区高二上学期期末测试数学训练卷（三）含答案
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这是一份2023-2024学年宁夏回族自治区高二上学期期末测试数学训练卷（三）含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用，结合充分必要条件的定义即可判断.
【详解】当是递增数列，则，则，
但是的符号不确定，故充分性不成立；
当时，则，故是递增数列，即必要性成立；
综上，“是递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，所以D错误.
故选：B.
3．已知等比数列满足,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C.
【解析】本题主要考查等比数列性质及基本运算.
4．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用导数的定义求得正确答案.
【详解】设，
故选：C
5．已知为等差数列的前项和，，则（ ）
A．240B．60C．180D．120
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可.
【详解】因为数列为等差数列，所以，
所以，
所以．
故选：D．
6．数列满足，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】由知为等差数列，即可求出，再代入知，再利用裂项相消求出，解不等式，即可得出答案．
【详解】因为，
由等差中项的概念可知为等差数列，
又其公差为，，
所以，
代入得
解得即n的最小值为13
故选:C
7．已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出和，作差，求出即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以.
故选：C.
8．等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，可得出的通项公式，再利用裂项相消法可求得.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以，，所以，，
因为，可得，所以，，
所以，，
所以，，即数列为等差数列，
所以，，
所以，，
因此，.
故选：B.
二、多选题
9．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列B．，，成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值D．时，的最大值为32
【答案】AC
【分析】先根据已知条件得出数列是等差数列，；再根据，的关系求出，根据等差数列的定义即可判断选项A；根据可求出，，即可判断选项B；利用二次函数性质可判断选项C；根据解不等式即可判断选项D.
【详解】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列.
则.
所以
对于选项A：
当时，；
当时，；
.
数列是等差数列，故选项A正确；
对于选项B：
，，
，
则，
所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误；
对于选项C：，
当或时，最大，故选项C正确；
对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误.
故选：AC
10．若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为．下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇数
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据数列递推关系以及特征，即可判断选项AB，利用累加法即可判断选项C，利用定义直接求解，表示出，即可判断选项D.
【详解】该数列为，所以，A正确；
由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数后一个为偶数，
且是奇数，B正确；
由，得：，
，，
累加得，C错；
由，
得：
，
所以，
，D对.
故选：ABD
11．记为数列的前n项和，为数列的前n项积， 已知 ，则下面正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．的通项公式
C．D．若且则
【答案】ABD
【分析】根据数列与其前前n项和，数列与其前n项积之间的等量关系求解，然后逐项判断即可.
【详解】由题为数列的前n项积，则，
又因为，
所以，
则，所以数列是以为公差为等差数列，A正确；
令，得，则，
则，也符合，
所以，所以C错误；
由题意知，
不满足上式，所以，所以B正确；
对于D，若且，
则，得，
累乘得
，所以D正确；
故选：ABD
12．已知函数是定义在上的偶函数，是上的导函数，若，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，由，可判定A正确；根据题意得到，和，两式相减得到，得到是周期为4的周期函数，再由为偶函数，得到，得出为奇函数，从而得到，所以是周期为4的周期函数，进而可判定B错误；结合函数的周期性和对称性，分别求得和的值，可判定C、D正确.
【详解】对于A中，由函数是定义在上的偶函数，且，
可得，所以A正确；
对于B中，由，令，得，所以，
又由，所以，，，
由，可得，故得，
两式相减得，所以函数是周期为4的周期函数，
所以，，
所以，
因为为偶函数，得，所以，
所以为奇函数，则，
因为，所以，且，
所以，又由，所以函数是周期为4的周期函数，
所以，
故，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D错误．
故选：AC．
三、填空题
13．若函数在点处的导数是，那么过点A的切线方程是 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】∵切线的斜率为.
∴点处的切线方程为，
即.
故答案为：.
14．已知，用数学归纳法证明时， ．
【答案】
【解析】写出和时的式子，相减即可得．
【详解】因为当时，，
当时，，所以．
故答案为：．
15．曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
【答案】/
【分析】求导，根据导数的几何意义可得，再结合齐次式问题运算求解.
【详解】因为，可得，
由题意可知：，
所以
，
即.
故答案为：.
16．已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题设易知是首项、公比都为2的等比数列，可得，进而得到，裂项相消法求，根据不等式恒成立求参数范围.
【详解】由题设，而，则是首项、公比都为2的等比数列，
所以，则，
所以，
则在上恒成立，
要使不等式恒成立，只需，所以实数k的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据基本初等函数的求导公式及求导法则运算即可得解.
【详解】（1）.
（2）
18．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构造方程组从而可求解；
（2）由（1）得，然后利用裂项相消求和.
【详解】（1）令，得，
当，则：，
得：，解得：，
当时，也满足上式.
综上，.
（2）证明：
由
所以:
故：.
19．已知函数.
(1)时，求证：是曲线的一条切线；
(2)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出结论；
（2）由题意可得，进而可得出答案.
【详解】（1）时，，
则，令，解得，
又，
所以曲线在处的切线方程为，即，
所以是曲线的一条切线；
（2），
因为曲线在点处的切线平行于轴，
所以，即，解得，
此时，
所以曲线在点处的切线为，符合题意，
所以.
20．设正项数列的前和为，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用和的关系结合等差数列的定义求解即可;
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，
所以，
，
所以，
当时，，
两式相减，得，，
当时，满足，
所以，即，
所以，
所以是等差数列．
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以．
21．国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费.从年秋季学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过元提高至不超过元，助学贷款偿还本金的宽限期从年延长到年.假如学生甲在本科期间共申请到元的助学贷款，并承诺在毕业后年内还清，已知该学生毕业后立即参加工作，第一年的月工资为元，第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，此后工资不再浮动.
(1)学生甲参加工作后第几个月的月工资达到元；
(2)如果学生甲从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，助学贷款的本金按如下规则偿还：前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，第个月偿还剩余的本金.则他第个月的工资是否足够偿还剩余的本金.
（参考数据：；；）
【答案】(1)；
(2)不能，理由见解析.
【分析】（1）设甲参加工作后第个月的月工资达到元，根据已知条件可得出关于的不等式，结合参考数据可求得结果；
（2）分析可知从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，计算出甲前个月偿还的本金，再由甲第个月的工资可得出结论.
【详解】（1）解：设甲参加工作后第个月的月工资达到元，
则，可得，，解得，
所以，学生甲参加工作后第个月的月工资达到元.
（2）解：因为甲前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，
所以，从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，
所以，前个月偿还的本金为，
因为第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，
所以，第个月的工资为元，
因为，因此，甲第个月的工资不能足够偿还剩余的本金.
22．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
已知数列的前项和为，，且满足______，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）若选①，可判断是首项为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；若选②，利用累加法可求出；若选③，可判断是首项为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）解：若选①，因为，
当时，，两式相减得，
当时，，即，
又，所以，故也满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故；
若选②，因为，
当时，
，故，
也满足，故对任意的，；
若选③，因为，当时，，
两式相减可得，即，
当时，，所以，也满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故.
（2）解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
所以，，所以，，即，
所以，，
，
上式下式可得
，故.
一、单选题
1．已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用，结合充分必要条件的定义即可判断.
【详解】当是递增数列，则，则，
但是的符号不确定，故充分性不成立；
当时，则，故是递增数列，即必要性成立；
综上，“是递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，所以D错误.
故选：B.
3．已知等比数列满足,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C.
【解析】本题主要考查等比数列性质及基本运算.
4．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用导数的定义求得正确答案.
【详解】设，
故选：C
5．已知为等差数列的前项和，，则（ ）
A．240B．60C．180D．120
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可.
【详解】因为数列为等差数列，所以，
所以，
所以．
故选：D．
6．数列满足，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】由知为等差数列，即可求出，再代入知，再利用裂项相消求出，解不等式，即可得出答案．
【详解】因为，
由等差中项的概念可知为等差数列，
又其公差为，，
所以，
代入得
解得即n的最小值为13
故选:C
7．已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出和，作差，求出即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以.
故选：C.
8．等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，可得出的通项公式，再利用裂项相消法可求得.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以，，所以，，
因为，可得，所以，，
所以，，
所以，，即数列为等差数列，
所以，，
所以，，
因此，.
故选：B.
二、多选题
9．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列B．，，成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值D．时，的最大值为32
【答案】AC
【分析】先根据已知条件得出数列是等差数列，；再根据，的关系求出，根据等差数列的定义即可判断选项A；根据可求出，，即可判断选项B；利用二次函数性质可判断选项C；根据解不等式即可判断选项D.
【详解】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列.
则.
所以
对于选项A：
当时，；
当时，；
.
数列是等差数列，故选项A正确；
对于选项B：
，，
，
则，
所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误；
对于选项C：，
当或时，最大，故选项C正确；
对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误.
故选：AC
10．若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为．下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇数
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据数列递推关系以及特征，即可判断选项AB，利用累加法即可判断选项C，利用定义直接求解，表示出，即可判断选项D.
【详解】该数列为，所以，A正确；
由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数后一个为偶数，
且是奇数，B正确；
由，得：，
，，
累加得，C错；
由，
得：
，
所以，
，D对.
故选：ABD
11．记为数列的前n项和，为数列的前n项积， 已知 ，则下面正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．的通项公式
C．D．若且则
【答案】ABD
【分析】根据数列与其前前n项和，数列与其前n项积之间的等量关系求解，然后逐项判断即可.
【详解】由题为数列的前n项积，则，
又因为，
所以，
则，所以数列是以为公差为等差数列，A正确；
令，得，则，
则，也符合，
所以，所以C错误；
由题意知，
不满足上式，所以，所以B正确；
对于D，若且，
则，得，
累乘得
，所以D正确；
故选：ABD
12．已知函数是定义在上的偶函数，是上的导函数，若，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，由，可判定A正确；根据题意得到，和，两式相减得到，得到是周期为4的周期函数，再由为偶函数，得到，得出为奇函数，从而得到，所以是周期为4的周期函数，进而可判定B错误；结合函数的周期性和对称性，分别求得和的值，可判定C、D正确.
【详解】对于A中，由函数是定义在上的偶函数，且，
可得，所以A正确；
对于B中，由，令，得，所以，
又由，所以，，，
由，可得，故得，
两式相减得，所以函数是周期为4的周期函数，
所以，，
所以，
因为为偶函数，得，所以，
所以为奇函数，则，
因为，所以，且，
所以，又由，所以函数是周期为4的周期函数，
所以，
故，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D错误．
故选：AC．
三、填空题
13．若函数在点处的导数是，那么过点A的切线方程是 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】∵切线的斜率为.
∴点处的切线方程为，
即.
故答案为：.
14．已知，用数学归纳法证明时， ．
【答案】
【解析】写出和时的式子，相减即可得．
【详解】因为当时，，
当时，，所以．
故答案为：．
15．曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
【答案】/
【分析】求导，根据导数的几何意义可得，再结合齐次式问题运算求解.
【详解】因为，可得，
由题意可知：，
所以
，
即.
故答案为：.
16．已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题设易知是首项、公比都为2的等比数列，可得，进而得到，裂项相消法求，根据不等式恒成立求参数范围.
【详解】由题设，而，则是首项、公比都为2的等比数列，
所以，则，
所以，
则在上恒成立，
要使不等式恒成立，只需，所以实数k的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据基本初等函数的求导公式及求导法则运算即可得解.
【详解】（1）.
（2）
18．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构造方程组从而可求解；
（2）由（1）得，然后利用裂项相消求和.
【详解】（1）令，得，
当，则：，
得：，解得：，
当时，也满足上式.
综上，.
（2）证明：
由
所以:
故：.
19．已知函数.
(1)时，求证：是曲线的一条切线；
(2)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出结论；
（2）由题意可得，进而可得出答案.
【详解】（1）时，，
则，令，解得，
又，
所以曲线在处的切线方程为，即，
所以是曲线的一条切线；
（2），
因为曲线在点处的切线平行于轴，
所以，即，解得，
此时，
所以曲线在点处的切线为，符合题意，
所以.
20．设正项数列的前和为，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用和的关系结合等差数列的定义求解即可;
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，
所以，
，
所以，
当时，，
两式相减，得，，
当时，满足，
所以，即，
所以，
所以是等差数列．
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以．
21．国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费.从年秋季学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过元提高至不超过元，助学贷款偿还本金的宽限期从年延长到年.假如学生甲在本科期间共申请到元的助学贷款，并承诺在毕业后年内还清，已知该学生毕业后立即参加工作，第一年的月工资为元，第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，此后工资不再浮动.
(1)学生甲参加工作后第几个月的月工资达到元；
(2)如果学生甲从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，助学贷款的本金按如下规则偿还：前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，第个月偿还剩余的本金.则他第个月的工资是否足够偿还剩余的本金.
（参考数据：；；）
【答案】(1)；
(2)不能，理由见解析.
【分析】（1）设甲参加工作后第个月的月工资达到元，根据已知条件可得出关于的不等式，结合参考数据可求得结果；
（2）分析可知从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，计算出甲前个月偿还的本金，再由甲第个月的工资可得出结论.
【详解】（1）解：设甲参加工作后第个月的月工资达到元，
则，可得，，解得，
所以，学生甲参加工作后第个月的月工资达到元.
（2）解：因为甲前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，
所以，从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，
所以，前个月偿还的本金为，
因为第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，
所以，第个月的工资为元，
因为，因此，甲第个月的工资不能足够偿还剩余的本金.
22．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
已知数列的前项和为，，且满足______，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）若选①，可判断是首项为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；若选②，利用累加法可求出；若选③，可判断是首项为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）解：若选①，因为，
当时，，两式相减得，
当时，，即，
又，所以，故也满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故；
若选②，因为，
当时，
，故，
也满足，故对任意的，；
若选③，因为，当时，，
两式相减可得，即，
当时，，所以，也满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故.
（2）解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
所以，，所以，，即，
所以，，
，
上式下式可得
，故.
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