四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期入学联考数学试题

2023~2024学年度上期高中2022级入学联考

数学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．

3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数，则的虚部为（    ）

A． B．1 C． D．

2．已知是非零向量，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．设的内角的对边分别为，已知，则（    ）

A． B． C．或 D．或

5．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

6．某中学校园内有一水塔，小明同学为了测量水塔的高度，在水塔底的正东方向的处测得塔顶的仰角为，在水塔底的南偏西方向的处测得塔顶的仰角为，已知，则水塔的高度为（    ）

A． B． C． D．

7．在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．的值为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．若集合，且，则实数的取值为（    ）

A．0 B．1 C．3 D．

10．已知，函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的初相是

B．是函数图象的一条对称轴

C．是函数图象的对称中心

D．函数的图象向左平移个单位后关于轴对称

11．如图，在四面体中，平面平面，，则下列结论正确的是（    ）

A．四面体的体积为 B．

C．二面角的余弦值为 D．四面体外接球的体积为

12．设的内角的对边分别为，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则外接圆的半径为

C．若，则

D．若，则为锐角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数，若，则______．

14．已知，则______．

15．已知等腰直角三角形的斜边长为，以该三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将该三角形旋转一周，所得的旋转体的侧面积为______．

16．在中，已知，则的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知．

（1）与的夹角为，求；

（2）若与垂直，求．

18．（12分）如图，在斜三棱柱中，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面．

19．（12分）如图，在四边形中，与互补，．

（1）求；

（2）求四边形的面积．

20．（12分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；

（2）若存在，使得不等式成立，求．

21．（12分）已知的内角的对边分别为．

（1）若，求角；

（2）求的取值范围．

22．（12分）图①是由矩形和梯形组成的一个平面图形，其中，，点为边上一点，且满足，现将其沿着折起使得平面平面，如图②．

（1）在图②中，当时，

（ⅰ）证明：平面；

（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）在图②中，记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

2023~2024学年度上期高中2022级入学联考

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．解：由题意得：，则，故选A．

2．解：当是非零向量时，，故选C．

3．解：由于函数为偶函数，故，且在上单调递减，所以，即，故选D．

4．解：由正弦定理得：，即，则．又，则，故选A．

6．解：如图：设水塔高为，则，则在中，，化简得：，即，故选A．

7．解：如图，连接交于点，连接，则（补角）是异面直线与所成角．设，在中，，为直角三角形，则，故选B．

8．解：由题意得：，故选C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．解：，又，当，则，当，则，当，则．故选ABD．

10．解：由题意得：，

易知函数的初相是不是对称轴，是其中一个对称中心，

对于D选项：为偶函数．

故选ACD．

11．平面平面，故平面，则，，A不正确，B正确；

二面角的平面角是，易得，C正确；

易得外接球的半径，故，D错误．故选BC．

12．解：由正弦定理，则，A正确；

由正弦定理得，，B错误；

由余弦定理，C正确；

由正弦定理，则为锐角，但不一定为锐角三角形，D错误．

故选AC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．   14．   15．

16．

解：由得，

即，

又由余弦定理得：，

化简得：，

，

有最小值，为锐角，故有最大值，最大值为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）解：（1），

，，

又；

（2），

与垂直，，

即，得．

18．（12分）解：（1）证明：设与交于点，连接，如图，

在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，则点为的中点，

点为的中点，点为的中点，，

平面平面平面；

（2）证明：四边形是菱形，，

又平面，

又平面平面平面．

19．（12分）解：（1）连接，如图，

与互补，与互补，

在中，，

即，得，

在中，，

即，得，

又与互补，，故；

（2）由（1）得，，

由（1）得，，

．

20．（12分）解：（1），

，

，，

的最小正周期为，

又，对称轴方程为；

（2），即，

又，

则，故，

．

21．（12分）解：（1），，

，，

或，

又，故，

，得；

（2）由正弦定理得：，即，

，

，

，

，

又，

．

22．（12分）解：（1）当时，即点为的中点，

（ⅰ）证明：由题意得：，则，，故，

又，则，

又平面平面，平面平面平面，

又平面，故平面；

（ⅱ）设点到平面的距离为，

过点作，则平面，如图，

又是等腰三角形，，，

由得，则，

故直线与平面所成角的正弦值为；

（2）延长交于点，连接，则平面平面，

过作平面，连接，过点作，连接，如图，

则为直线与平面所成角，即，

则为平面与平面的夹角，即，

又，则，

，故，即点重合，

又，即，由相似三角形得，

设，则，

，

即得，则或（舍去），

又，得，故存在使得．